第09講 空間的平行關(guān)系（人教A版2019必修第二冊）（原卷版）

第09講空間的平行關(guān)系【人教A版2019】·模塊一空間中的平行關(guān)系·模塊二平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間中的平行關(guān)系1.直線與直線平行(1)基本事實(shí)4

①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.

③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.(2)空間等角定理

①自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).

②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2.直線與平面平行(1)判定定理①自然語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質(zhì)定理①自然語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質(zhì)定理的作用①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.3.平面與平面平行(1)判定定理①自然語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語售.該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語言.(3)性質(zhì)定理①自然語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個平面平行的其他性質(zhì)①兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應(yīng)成比例.

⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.【考點(diǎn)1證明線線平行】【例1.1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【例1.2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【變式1.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，則A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【變式1.2】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥A．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB【考點(diǎn)2直線與平面平行的判定】【例2.1】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2.2】（2023下·重慶沙坪壩·高一校考期末）過四棱錐P-ABCD任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面PBD平行的直線有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【變式2.1】（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）在四棱錐P-ABCD中，AD//BC，AD=2BC，則下列結(jié)論中不成立的是（A．平面PAB內(nèi)任意一條直線都不與CD平行B．平面PCD內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAB平行C．平面PCD和平面PAB的交線不與底面ABCD平行D．平面PBC和平面PAD的交線不與底面ABCD平行【變式2.2】（2023下·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿足AB//平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)3平面與平面平行的判定】【例3.1】（2023下·河南信陽·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線l,m，平面α,β，則下列條件能推出α//β的是（

）A．l?α,m?α，且l//β,m//β B．l⊥α,m⊥β，且l//mC．l?α,m?β，且l//m D．l//α,m//β，且l//m【例3.2】（2023下·江西·高一?？计谀┰谡襟wABCD-A'B'A．BDC'與B'D'C．B'D'D與BDA【變式3.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個正方體中，A、B、C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【變式3.2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③模塊二模塊二平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用1.平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質(zhì)定理.

⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.

⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線不平行，然后推出矛盾，進(jìn)而得出兩條直線是平行的.(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn).

②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時，一定要說明“平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內(nèi)找一條直線b，使得a∥b，從而達(dá)到證明的目的，這三個條件缺一不可.

③利用面面平行的性質(zhì)：若平面∥平面，直線a，則a∥.

④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內(nèi)”和“直線與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線與平面平行”的結(jié)論，在這一點(diǎn)上往往容易出錯，應(yīng)引起重視.(3)平面與平面平行的判定方法

①根據(jù)定義：證明兩個平面沒有公共點(diǎn)，但有時直接證明非常困難.

②根據(jù)判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

③根據(jù)判定定理的推論：在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則這兩個平面平行.

④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.

⑤利用反證法.(4)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，如圖所示.【考點(diǎn)1線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例1.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長均為1，M，N分別是棱BC，A1B1上的點(diǎn)，且CM=2B1A．34 B．23 C．12【例1.2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若直線a//平面α，A?α，且直線a與點(diǎn)A位于α的兩側(cè)，B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC=4，CF=5，AF=3，則EF的長為（

A．3 B．32 C．34 D【變式1.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，下列條件不能證明EH//FG的是（）A．E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)B．AEEB=C．BD//平面EFGHD．BEEA=【變式1.2】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是矩形，D是

A．13 B．12 C．23【考點(diǎn)2面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例2.1】（2023下·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且α∩γ=m，β∩γ=n則“m//n”是“α//β”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2.2】（2023上·北京·高二?？茧A段練習(xí)）已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α/平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A',B',CA．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25【變式2.1】（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【變式2.2】（2023下·江蘇無錫·高一錫東高中校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，P為SD上一點(diǎn)，且SD=3PD，Q為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）.若PQ//平面SEF，則Q的運(yùn)動軌跡的長度為（

A．42 B．32 C．22【考點(diǎn)3平行問題的綜合應(yīng)用】【例3.1】（2023下·浙江金華·高一?？计谥校┰谡襟wABCD-A1B1C1D

(1)MN//C(2)MN//平面CC(3)平面MNP//平面CC【例3.2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面MNQ//平面PAD；(2)求證：BC//l．【變式3.1】（2023下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G分別為棱

(1)證明：B1E∥平面(2)在線段CC1是否存在一點(diǎn)N，使得平面NEF∥平面【變式3.2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在正四面體S-ABC中，AB=4，E，F(xiàn)，R分別是SB，SC，SA的中點(diǎn)，取SE，SF的中點(diǎn)M，N，Q為平面SBC內(nèi)一點(diǎn)．

(1)求證：平面MNR//平面AEF(2)若RQ//平面AEF，求線段RQ模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定2．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2023下·青海西寧·高一?？计谥校┮阎矫姒?/平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a、b的位置關(guān)系是（

A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定4．（2023上·江蘇南京·高三?？茧A段練習(xí)）在空間中，直線l/平面α的一個充要條件是（

A．α內(nèi)有一條直線與l平行 B．α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行C．任意一條與α垂直的直線都垂直于l D．存在一個與α平行的平面經(jīng)過l5．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AFFC的值為（

A．1 B．2 C．12 D．6．（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┮阎猰,n是兩條不同的直線，α,β,γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若α⊥β,β⊥γ，則α/B．若m?α,n?β,m//n，則α//βC．若m,n是異面直線，m?α,m//β,n?β,n//α，則α//βD．平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α//β.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體AC1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 D8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CA．Q為CC1的三等分點(diǎn) B．Q為C．Q為CC1的四等分點(diǎn) D．Q與C9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D，①直線BC1∥平面A1DC；

②③直線A1D∥平面B1EC；

④其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4