2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第三章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問題

教材?高考?審題答題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問題

，三年真題考情

核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的2020?全國Il,21;2019?全國川，20;2018?全

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理

性質(zhì)國I,21;2018?全國Il,21

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的2020?全國I,20;2020?全國川,20(2);

數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象

零點(diǎn)2019?全國Il,20

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)2020?山東，21：2020?天津，20;2019?全國

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理

用I,20:2018?全國III,21

r教材鏈接高考

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

教材探究

(選修1-1P99習(xí)題3.3B組(3)(4))

利用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.

(3)ev>l+x(x≠0);

(4)lnΛ<x<e'(x>O).

【試題評析】

1.問題源于求曲線y=e，在(O,1)處的切線及曲線y=lnX在(1,0)處的切線，通過觀察函數(shù)

圖象間的位置關(guān)系可得到以上結(jié)論，可構(gòu)造函數(shù)兀c)=ex-χ-l與g(x)=χ-lnχ-?對以上

結(jié)論進(jìn)行證明.

2.兩題從本質(zhì)上看是一致的，第(4)題可以看作第(3)題的推論.在第(3)題中，用“Inx”替換“x”,

立刻得到Λ>l+lnΛ?(Λ>O且x#1),進(jìn)而得到一組重要的不等式鏈：eA>x+l>x-l>lnX(X>0且

x≠l).

3.利用函數(shù)的圖象(如圖)，不難驗(yàn)證上述不等式鏈成立.

【教材拓展】已知函數(shù)危)=x—Inx-

(1)求7(x)的最大值；

(2)試證明1+x3+523χ-./(x).

⑴解HX)=LInx—此，

定義域?yàn)?O,+∞),

.IeX(X-1)

則rlf(x)=1-------------p------

由ex^x+?>x,

利用不等式ex≥^?÷l

進(jìn)行放縮?從而判斷

出?-e?的正負(fù).

得y(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以火X)max=√U)=1—e.

⑵證明要證1+J?+￡23X—/(x),

即證/一2x+l?Inx,

考慮到心>0時(shí)，x—12InX(當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)，取等號).

33

欲證X—2x÷I≥lnx9只需證X—2x+I≥χ-1.

也就是證明X3—3x+220.(*)

利用Z—l≥lnJr(Jr>0)

進(jìn)行放縮，將問題轉(zhuǎn)化

為較為初等的函數(shù)問題.

設(shè)φ(x)=xi—3x+2(x>0),則/(x)=3x2-3,

令9'(X)=O,得X=L

當(dāng)XG(0,1)時(shí)，d(x)<O;當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，d(X)>0.

.?.當(dāng)X=I時(shí)，p(x)取到最小值￠(1)=0.

故(*)式成立，從而l+χ3+5>3χ->(x)成立.

探究提高1.本題涉及X,e。Inx組合型函數(shù)問題，求解的關(guān)鍵在于通過等價(jià)變形或合理拆

分，得到熟悉的基本初等函數(shù)，然后利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

2.聯(lián)想教材習(xí)題結(jié)論，在(1)中，利用e、2x+l>x,在⑵中活用》一12InX進(jìn)行合理的放縮，

這樣大大減少運(yùn)算量，降低思維難度.

【鏈接高考】(2017?全國川卷改編)已知函數(shù)於)=χ-l-Hnx.

(1)若y(x)?O,求α的值；

(2)證明：對于任意正整數(shù)〃,

(1)解yu)的定義域?yàn)?0,+∞),

①若“<0,因?yàn)門Q)=-/+αln2<0,所以不滿足題意.

②若a>0,由f(x)=1-2=L7”知，

當(dāng)x∈(0,”)時(shí)，F(xiàn)(X)V0；當(dāng)x∈(α,+8)時(shí)，f(χ)X);

所以y(x)在(O,α)單調(diào)遞減，在3，+8)單調(diào)遞增，

故X=〃是火x)在(0,+8)的唯一最小值點(diǎn).

因?yàn)榇?)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)α=l時(shí)，y(x)20,故α=l.

⑵證明由(1)知當(dāng)Xe(1,+8)時(shí)，χ-l-lnx>0.

令x=l+￡,得In(I+/)<9.

從而In(I+：)+In(I+g?∣-----Hn(I+￡)?+*H------F^=l-^<1.

+?

故U+1X12)",0+?)<e?

件教你如何審題---------------------

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

【例題】(2020?全國Il卷)已知函數(shù)。x)=21nx+l.

(1)若兀v)W2x+c,求實(shí)數(shù)C的取值范圍;

⑵設(shè)4>0,討論函數(shù)gd把三@的單調(diào)性.

審題路線

恒成立構(gòu)造函數(shù)Mx)分析求"O),判斷"U)符求Mx)

求參數(shù)卜寸⑴4工-/突破卜號.判斷單調(diào)性√∣最大值

變形,求g'(*)

研究

判斷I-￡+Ing的符號單

gM調(diào)

Ig(T)C()卜性

單調(diào)聯(lián)想(1)問結(jié)論.得

性

X≠1時(shí)，力(%)=lr+lnΛ<O

I自主解答］

解設(shè)〃(X)=y(x)—Ix—c,貝(X)=21nx—2x+l—c,

2

其定義域?yàn)?0,+°o),h,(x)=--2.

(1)當(dāng)0<x<l時(shí)，A,(Λ)>O;當(dāng)x>l時(shí)，Λ,(x)<O.

所以/Z(X)在區(qū)間(0,I)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減.

從而當(dāng)X=I時(shí)，∕J(X)取得最大值，最大值為∕?(I)=-I-c.

故當(dāng)且僅當(dāng)一I-CW0,即。》一1時(shí)，?∕(x)W2x+c.

所以C的取值范圍為［—1,+∞).

(X)—/(α)2(InX-Ina)

(2)g(x)='',X∈(0,4)U(4,+∞).

x-aχ-a

÷lna-?nx2(TI吸

g'(x)=(工一。)2(X—。)2

取C=-1得/Ia)=21nx—2x+2,A(I)=O,

則由⑴知，當(dāng)x≠l時(shí)，A(x)<O,BPl-χ+lnx<0.

故當(dāng)x∈(0,a)U(a,+8)時(shí)，l—f+lnfvθ,

從而g'(x)<0?

所以gθ)在區(qū)間(0,a),(a,+8)單調(diào)遞減.

探究提高1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，涉及的主要內(nèi)容：(1)討論

函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的極(最)值、極(最)值點(diǎn)；(3)利用性質(zhì)研究方程(不等式).考查數(shù)學(xué)

運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式恒成立求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是討論函數(shù)〃(X)與

g(x)的單調(diào)性，準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算是求解的前提條件.另外題目與教材2-2P32結(jié)論itχ-?

Nlnx”有效鏈接，因此在復(fù)習(xí)備考中要重視教材深化拓展.

【嘗試訓(xùn)練】(2020?北京卷)已知函數(shù)兀v)=12—

(1)求曲線y=∕(x)的斜率等于一2的切線方程；

(2)設(shè)曲線y=∕U)在點(diǎn)(r,1。)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(f),求S⑺的最小值.

解(IVK(X)=-2x,

令/(x)=-2,得一2犬=-2,解得x=l,穴1)=12—1=11,所以切點(diǎn)為(1,11),

切線方程為>-11=一2(χ-l),即2x+y-13=0.

(2)二次函數(shù)y(x)=12一/為偶函數(shù)，其圖象是開口向下的拋物線，且關(guān)于y軸對稱，故只需

考慮一側(cè)的情形即可.不妨考慮x>0時(shí)的情形.

設(shè)切點(diǎn)為(r,12—乃，r>0,可求得切線方程為

j-(12-z2)≈-2z(χ-r),得y=-2fx+z2+12,

所以切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(0,Z2+12),

11產(chǎn)+12?r4+24∕2+144

S(f)=tOAMo8∣=2?-^?(P+12)=-------5；---------

3產(chǎn)+24產(chǎn)―1443(產(chǎn)+12)(3一4)

S")=4?=4?'

t,S'(t),S⑺的變化情況如下表所示：

t(0,2)2(2,+8)

S")—0+

5(0極小值

故當(dāng)t=2時(shí)，Sa)取得最小值，為5(2)=32.

<滿分答題示范---------------------

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

x+1

【例題】(12分)(2019?全國H卷)已知函數(shù)段)=9X-二γ.

(1)討論./U)的單調(diào)性，并證明./U)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)沏是?r)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnX在點(diǎn)A(X0，InXO)處的切線也是曲線y=e”的切

線.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中A∈Z)

(1)解危)的定義域?yàn)?0,1)U(1,+∞).

12

因?yàn)镕(X)=1+J—])2>o,

所以yU)在(0,1),(1,+8)單調(diào)遞增2

ɑ-l-1e2+i—3

因?yàn)?左)=1一言<0,.他2)=2—目=N>0,

2

所以於)在(1,+8)有唯一零點(diǎn)χ1(e<x∣<e),

即y?)=0?4'

又°<(<1,代=-Inxi+告=-∕UD=O,

故y(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)

?l

綜上，y(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)7

(2)證明因?yàn)镴=e—Inxo,

所以點(diǎn)8(—lnxo,Tj在曲線y=ej上8

由題設(shè)知/Uo)=O,即InXo=

Xo-1

1xo+1

XoXo~1

故直線AB的斜率A=

-Inxo-沏?o+1

又曲線y=e'在點(diǎn)fif—皿沏，Tj處切線的斜率是曲線y=lnx在點(diǎn)AaO,In沏)處切線的

??θz?o

斜率也是:，

Xo

所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(X0,InXo)處的切線也是曲線y=e”的切線.12，

高考狀元滿分心得

?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分.如第(1)問中，求導(dǎo)正確，判斷單

調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；第(2)問中，由式Xo)=O定切點(diǎn)B,求切線的斜率.

?得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，如第(I)問中，求出7U)的定

義域，/(X)在(0,+8)上單調(diào)性的判斷；第(2)問中，找關(guān)系InXo=母，判定兩曲線在點(diǎn)B

XO1

處切線的斜率相等.

?得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第(1)問中，求導(dǎo)/(X)準(zhǔn)確，否則

全盤皆輸，判定U=—兀ω=o.第(2)問中，正確計(jì)算心B等，否則不得分.

構(gòu)建模板

叵強(qiáng)……求於)的定義域(O,1)U(1,+∞),計(jì)算f(x)

(Sm)……利用零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性，判斷7U)在(I,+8)有唯一零點(diǎn)M

ζilB)……證明七?)=0,從而式X)在(0,1)有唯一零點(diǎn)(

(I醺……由第(1)問，求直線AB的斜率上=；

國W2i.......求y=e'在點(diǎn)B處，y=lnX在點(diǎn)A處切線斜率IC=W

(IHB)……檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟

【規(guī)范訓(xùn)練】(2020?全國I卷)已知函數(shù)Lx)=O-α(x+2).

(1)當(dāng)α=l時(shí)，討論人x)的單調(diào)性；

(2)若y(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解(1)當(dāng)“=1時(shí)，J(x)=ev-χ-2,x∈R,則/(x)=e'-l.

當(dāng)XCO時(shí)，f(x)<O;當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0.

所以y(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

(2)f(x)^ex-a.

①當(dāng)a≤0時(shí)，/(x)>0,

所以4r)在(-8,+8)單調(diào)遞增.

故/U)至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

②當(dāng)。>0時(shí)，由/(x)=0,可得X=Inα.

當(dāng)X￡(—8,Ina)時(shí)，f(x)<O;

當(dāng)x≡(lna9+8)時(shí)，f(χ)>O.

所以外)在(一8,Ina)單調(diào)遞減,?(Ina,+8)單調(diào)遞增.

故當(dāng)X=In。時(shí)，/U)取得最小值，最小值為4nα)=-α(l+lnα).

(i)若0<a≤∕,則加α)20,加)在(一8,十8)至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

(ii)若a>-9則OInQ)V0.

因?yàn)?)=e-2>0,所以｛x)在(-8,Ina)存在唯一零點(diǎn).

由(1)知，當(dāng)心>2時(shí)，ex-χ~2>0.

所以當(dāng)x>4且x>21n(2α)時(shí)，段)=g?g-。(1+2)>卻犯仔+2)—〃。+2)=2〃>0.

故函數(shù)“￥)在區(qū)間(In〃，+8)存在唯一零點(diǎn).

從而犬無)在(一8,+8)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，若於)有兩個(gè)零點(diǎn)，

實(shí)數(shù)α的取值范圍是Q,+∞).

.熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練--------------------?

1.(2020?天津卷節(jié)選)已知函數(shù)Kt)=X3+6InX,√z(x)為y(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴求曲線y=yU)在點(diǎn)(1,y(i))處的切線方程；

O

(2)求函數(shù)g(x)=∕(x)—/(x)+;的單調(diào)區(qū)間和極值.

解(1求X)=X3+6InX,故/(X)=3X2+S?

可得式1)=1,〃1)=9,所以曲線y=Λx)在點(diǎn)(1,yu))處的切線方程為y—1=9(X—1),即9x

—y—8=0.

(2)依題意，g(x)=N-3x2+61nx+;,x∈(0,+∞).

從而可得((x)=3x2-6x+g—最，

τ≈-r∕B3(x-1)3(x+1)

整理可得/(X)=------------p--------------.

令g<x)=0,解得X=L

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1，+∞)

g'(x)——0+

g(χ)極小值

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);g(x)的極小值為g(l)=

I,無極大值.

2.(2021.百師聯(lián)盟考試)設(shè)函數(shù)段)=lnx+f("為常數(shù)).

(I)討論函數(shù)T(X)的單調(diào)性；

(2)不等式兀v)》l在x∈(0,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

解(1)函數(shù)./(X)的定義域?yàn)?0,+∞),

，xa

f”(χ)?=^,?+-=~-

當(dāng)αWO時(shí)，又x>0,.".χ-a>0,.,.f(x)>O,

.?√(x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，若x>〃，則/(x)>0,????￥)單調(diào)遞增；

若O<x<tz,貝IJJf(X)<0,..,/U)單調(diào)遞減.

綜上可知：當(dāng)α≤0時(shí)，y(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)〃>0時(shí)，火工)在區(qū)間(0,a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(小+8)上是增函數(shù).

(2)∕(x)≥1=W+InX21—lnx+l<≠>

a^-χ?nx+x對任意X￡(0,1］恒成立.

令g(x)=—xln∕+x,x∈(0,1］.

則/(X)=-InX-x±+I=-Inx20,x∈(0,1］,

.?.g(χ)在(0,1］上單調(diào)遞增，.?.g(χ)max=g(l)=l,

?,.β≥l,故4的取值范圍為［1,+o°).

3.已知函數(shù)fix)=e`-ax2.

⑴若a=l,證明：當(dāng)x20時(shí)，

(2)若《X)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。

(1)證明當(dāng)。=1時(shí)，Kr)=e?v-X2,則/(x)=e*-2x.

令g(x)=∕(x),則g'(x)-e'-2.

令((x)=0,解得X=In2.

當(dāng)x∈(0,In2)時(shí)，g,(x)<O;

當(dāng)XC(In2,+8)時(shí)，g<χ)>O.

二當(dāng)XNo時(shí)，g(x)^g(ln2)=2-2ln2>0,

.g)在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?J(χ)M∕(O)=l.

(2)解若兀V)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程砂一av2=0在(0,+8)上只有一個(gè)解,

由α=∣5,令0(X)=4,x∈(0,+∞),

e'(L2)

,令d(x)=O,解得x=2.

(p'(x)=X3

當(dāng)x∈(O,2)時(shí)，d(x)<O;

當(dāng)x∈(2,+8)時(shí),φ'(χ)>O.

O(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，其中XfO時(shí)，^(Λ)→+∞,Λ→+∞,°(X)

-÷o0,

2.2

且夕(X)min=p(2)=4e".??a=1e.

4.已知函數(shù)兀V)=I-x+alnx.

(1)試討論函數(shù)兀V)的單調(diào)性；

(2)設(shè)X∣,X2是7(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且X2>X∣,設(shè)f=y(Xl)一/(X2)—(a—2)(X|—X2)，試證明f>0.

⑴解火X)的定義域?yàn)?O,+∞),

①若OW2,則/(x)≤0,

當(dāng)且僅當(dāng)α=2,x=l時(shí)/(x)=0,

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

②若α>2,令/(x)=0得,

a-?∣a2~4Ua+?∣a2~4

X=2或X=2?

當(dāng)XG(0,+oo)?,/(χ)<0:

當(dāng)β±?≡4)?,/W>o.

所以∕ω在(0,普Ξi)g±