2021-2022學(xué)年浙江省紹興市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

2021-2022學(xué)年浙江省紹興市普通高校對口

單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

?設(shè)/(x)的一個原函數(shù)是(x+l)SinX,則，/(x-Ddx=

A.A.sinlB.-sinlC.0D.1

設(shè)“(X)是可導(dǎo)函數(shù)，且U(X)≠(),則UnU2(幻］'=

?)O

9

U

A.u

U/

√

JrD.

2u

C.u

D2〃/

3.

若/,(X)<O(α<xWb)且f(b)>O,則在(atb)內(nèi)必有

A./(x)>OB./(x)<0C./(x)=0D./(x)符號不定

4.當(dāng)x?→2時，下列函數(shù)中不是無窮小量的是()。

A.√-8

B.sin（x2-4）

C.e∕-5

D.In（3r）

5.

2/G）的一個原函數(shù)為∣n*,則/'（工）等于（）.

6.曲線y=χ3的拐點坐標(biāo)是()。

A.(-l,-1)B.(O,0)C.(l,1)D.(2,8)

已知/是/(幻的一個原函數(shù),則/(1)=()

7.A??÷CB.x2

廣義積分廣

設(shè)U(X)是可導(dǎo)函數(shù)，且U(X)≠0,則［lnιΛχ)f=

A.u

B.

D.2UU'

10.曲線y=α-(x-b)ιz3的拐點坐標(biāo)為

A.A.(a,0)B.(a,-b)C.(a,b)D.(b,a)

設(shè)函數(shù)/Q)在點所處連續(xù).則下列結(jié)論懺定正確的是()

Λ.Iim"三七"必存在

Hhmyw=O

C當(dāng)?r~.r,時./0)—八四)不是無窮小憤

??I).'l1.r-*j時》/(1)一/JC)必為無窮小版

12若/(H?y)=Jjy+:，則/,(2.1)=.

13E巢在區(qū)間內(nèi)?M故，“滿足，””.「，，73則再收CN*川？

A.單調(diào)遞增且曲線為凹的B.單調(diào)遞減且曲線為凸的C.單調(diào)遞增且曲

線為凸的D.單調(diào)遞減且曲線為凹的

14.定積分/C"工等于().

A.0B.2(e-1)C.e-1D.l∕2(e-1)

15.若事件A與B為互斥事件，且P(A)=0.3,P(A+B)=0.8,則P(B)

等于().

A.A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

16.設(shè)函數(shù)/C)=Jg-麗則/3有()A.極大值1/2B.極大值-1/2C.極小

值1/2D.極小值-1/2

”對函數(shù)/(χ,y)=A7B7,原點(0,0)C

A.是駐點，但不是極值點B.是駐點且是極值點C.不是駐點，但是極大

值點D.不是駐點，但是極小值點

18.

設(shè)八H)=一工,則工=］是八外在［-2,21上的

A.極小值點,但不是最小值點

B.極小值點，也是最小值點

C.極大值點，但不是最大值點

D.極大值點，也是最大值點

19設(shè)函數(shù)/(?)=4工一√TT7^ɑ≠o)則/(H)等于()

4ZTTT

A.A.

4?J2+1

B.7-ΓTΓ

4?-?J?÷?

C.

設(shè)小V都是可導(dǎo)函數(shù)，?v≠0,!l?j(-)'=

20.V

A.A.v

uv-uv,

B.V2

uv^uv,

C.V2

UV^UV

D.一

當(dāng)工T時,??與sin?比較是()

A.較高階的無窮小量

B.等價的無窮小量

C.同階的無窮小量

21.D.較低階的無窮小量

22.

.sin(?-2)

1ll???2Λ等于

L2爐一4

1

A.0BdD.1

C.T

SinJ+ei*j-I

X≠0.

設(shè)/(?)=<1在工=0處連續(xù),則a

23.%J=O

24已知/(x)是可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，則f∕'(3x)<k=

A./⑶~/(1)

B.∕(9)√(3)

∣[<<3)-?(l)]

C.3

1(/(9)-/(3)]

D.3

25.5人排成一列，甲、乙必須排在首尾的概率P=Oo

A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

26.不定積分

27.設(shè)函數(shù)K'以則）.

A.2x+3y

B.2x

C.2x+3

3

D.W+χ-y3

2

若刀=-1和刀=2都是函數(shù)/（幻=（。+刀把”的極值點，則小力分別為

28.A.l,2B.2,lC?—2，—1D?—2，1

29.把兩封信隨機地投入標(biāo)號為1,2,3,4的4個郵筒中，則1,2號郵筒

各有一封信的概率等于【】

A.l/16B.l/12C.l/8D.1/4

?v=j^ln'r在點才=1處的切線方程是.

二、填空題(30題)

31.

..5+1)(〃+2)(〃+3)

Iim--------------------------=.

"→~n

32.

設(shè)Z=Zly+犬，則蕓+言=.

33.

-10123

設(shè)隨機變軌的分布列為7αW2αα則α=

IOIo-101010

34.由曲線y=x和y=x2圍成的平面圖形的面積S=

35.

LdX_π

貝

'β4+x2^8IJa-

36.

37.

設(shè)/(x)二階可導(dǎo),y=e,則)■"=

38.設(shè)函數(shù)y=e2x,則y"(0)=

∣xd(cosx)=_________________

39.j

40.

4產(chǎn)網(wǎng)代d?33——?

42.設(shè)：y=y(x)由x2+2xy-y2=2x確定，且

y?=0.則》'=.

.5+1)5+2)(〃+3)

1Iim-----------=______________.

FITB，/

43.

44.

.X2÷2x÷5dx=----------------,

45.

設(shè)函數(shù)Z=COS(Z2+y2),則富=.

?χ----------------

46.

曲線＞=x3-3x2-5x+6的凸區(qū)間為.

f'(^-τ+l)d?≡.

ΛΠj-'1+X2-----------------

48.曲線y=x3-3x2+5x-4的拐點坐標(biāo)為

XX≥0,2

設(shè)/(x)="

。'則也=

49.β^XVJ-J(X)

?ftIim光=

.■τ'÷5

已知廠上TdX=1,則/=

51.j+X

52.

已知3(工)=?arccos，dt,貝!]φ,(x)=.

53.

Γ?=r則。

54.

設(shè)z=∕(x,則票

y?x

設(shè)/(x)=(ln(t'l)d/,W∣J∕,(x)=

55.

下列由數(shù)中為奇函Jk的是

A.,y≡co**xB.y-J+Sitvr

Dk圖

57.

58.

?X1-HZdH=.

59.

∣x∕(x2)∕(x2)dx=?

6θle-^dx=---------1

三、計算題(30題)

61計算定根分

巳知曲線y?I二成求，

<1)曲線在點”?1)處的切蚊方程與法線方程；

62.(2)曲線上騫一點處的切撥與直線y=4x-l早行？

63.

計算二重積分I=UVd工dy?其中D為由曲線y=1-??與y=*'—1所圍成的區(qū)域.

?≡r-In(?+H)?第.

巳知函數(shù)N-=?(?r)由參數(shù)方程.確定,求#

64.y=arctan∕

65.

巳知參數(shù)方程＜

66.[y

67.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖所示)，其周長為

12m,為使窗戶的面積A達到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少?

68.設(shè)函數(shù)y=y(H)由方程y=(Inx)'確定,求y'.

69.求徵分方程J?l∏J?dy÷(y—IrLr)(Lr=O濡足y=1的特解.

求1??(ɑ>0).

70.j√？r+^r

'-Q)d∕d》,其中D為尸+?2≤L

71.

M設(shè)="NO)是由方程*2+y2-e*=O所確定的Bft函數(shù),求更

//??*

s∕xl÷?rd?.

74.求函數(shù)f(x,y)=χ2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

求極限Iim「"-e：)號空4+dsin~V.

75.T?

76.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x.

①求曲線y=f(x)與X軸所圍成的平面圖形面積S；

②求①的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積Vx.

77求不定積分JhIa+√TT7Dd?r?

JrSin-≡??≠0?

H?*Λ∕(χ)/在?r=o處連續(xù)性與可導(dǎo)性.

78.0?X?。

79.設(shè)y=y(x)由方程e,"e'=sin(Xy)所確定.求*I.

求極限Iim―L—「-√-dr

80,TH-SiarJo√?！?7

計算二重積分(>+y)dxdy,其中D為曲線y=/與工=/所圉成的區(qū)域.

81.

CC設(shè)/(?r)是連續(xù)函數(shù)，且［‘∕ɑ)d∕=?r?求/?⑺.

82.J。

83.設(shè)函數(shù)y=χ3cosx,求dy

計算J-(L?dy,其中D為圈環(huán)區(qū)域≤∕+y≤4.

84.

求］sin(ln?)d?.

求不定積分j----------r(ix?

86.(l+x*)÷

求極限IimS存「，

87.

E'」與0求定積分「/8也

設(shè)函數(shù)/(?)

?<0?

88.

89計算定積分，∕2x?d?-

90.求定積分cU^dx

四、綜合題（10題）

證明：方程I-*一］0在區(qū)間（0.1）內(nèi)有唯一的實根?

91.

i殳函數(shù)/（?）β?2arctan^.

（1）求雨散/（.D的雌兩區(qū)間和極值，

92.''K曲蝶,”』I的凹凸MM和拐3.

93笊語敷》=1?的單詞區(qū)間,極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點和漸近鰻.

94.

設(shè)函數(shù)FCr）=二/"，（工>0），其中/（外在區(qū)間［Q,+8）上連續(xù)./（工）在

<α?+oo）內(nèi)存在且大于零.求證:FQ）在（α.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

95.討論函數(shù)/（?）=3」/的單調(diào)性?

96.

過曲線.vkj?"<r>0）上一點M（l.l）作切線/.平面圖形D由曲線、，=/.切線/及

■I軸圍成.

求：（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D燒?r軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

c”求曲線V=G—Dbr的凹凸區(qū)間及拐點.

證明：方程［??d/=?tf（O.l）內(nèi)恰有一實根.

99.證明方程/-??-1=O在1與2之間至少有一個實根.

證明I當(dāng)工>0時，ln(lI?)>-4-.

100.I+?

五、解答題(10題)

101.設(shè)y=2"x,求y'。

102.設(shè)函數(shù)f(x)=l+sin2x,求f,(0).

計算「品二女.

103.

104.

計算J；等也?

討論/(X)=「牝-'也的單調(diào)性、極值和拐點.

105.J°

106.

求曲線y=ln(l+d)的凹凸區(qū)間和拐點.

已知函數(shù)/(x)=OX3-bx2+cx在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)是奇函數(shù)，且當(dāng)

Al時，/(X)有極小值-?∣,求另一個極值及此曲線的拐點.

108.

某班有黨員10人，其中女黨員有6人，現(xiàn)選3人組成黨支部.設(shè)

事件A=｛黨支部中至少有1名男黨員).

求P(A).

109.

4汀10分)設(shè)函數(shù)＞=0/+和+「在點￥=|處取得帙小值-I.且點(o.∣)為一

W三三出拐點.試求1frl?α.6.c.

IIn設(shè)/Or)=Xl∏2x,且/'(x0)=l,求/(x0).

JLJLU?

六、單選題(0題)

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件A和6的關(guān)系一定是

A.對立事件B.互不相容事件

ULCAUBD.AnB

參考答案

1.C

由原函數(shù)的定義可得J∕(x)dx=(x+Dsinx÷C.

則∫θ∕(x-l)dx=∫θ∕(x-l)d(x-l)=xsin(x-l)∣θ=0.

2.C

(lnu2),=(2InM)Z=

u

1解析］因為f'(x)<OXG(a,b)

所以/(X)單調(diào)減少XG(a,b)

,A又f(b)X)所以f(x)>Oxe(a,b)

3.A

4.C

【解析】根據(jù)無窮小量的定義:若Iim/(X)=O,則當(dāng)zτ/時J(Z)為無窮小量.因此可根據(jù)

-0

定義計算其極限值,知選C.

5.B

答應(yīng)選B.

提示本JS考查的是原函數(shù)的梃念及導(dǎo)數(shù)的計算,因此有

/(?)=(ln?)*=-i-,∕,(*)-(?)=-/，

年以選B.

6.B

解愿指導(dǎo)本題考查的知識點是曲線上拐點的概念及拐點坐標(biāo)的求法.

令

由于是單項選擇題,所以當(dāng)求得y*=6"1=0得X==O時，可知y=0,此時無需驗證當(dāng)X<0

時y”<0∕>0時y”>0,即可確定正確選項必為B.

7.C

2x2x

因為?*e41tdx=?∫8-----L--de=?(aretane)P~=?

8.A解析：JO1+/2jɑl+(e2x)22I。8

9.C

10.D

函數(shù)的定義域為(-叫+8).

當(dāng)x=b時，y不存在.因為函數(shù)/G)在x=b點處連續(xù)，且

當(dāng)x<b時，y"<0,曲線y為凸：當(dāng)x>b時，y”>0,曲線y為凹.

所以x=b是曲線y的拐點橫坐標(biāo)，y(b)=α.

故曲線的拐點為(b,α).

11.D

12.1/2

13.C

14.B本題的關(guān)鍵是去絕對值符號，分段積分.

若注意到被積函數(shù)是偶函數(shù)的特性，可知

?e'"dx=??e,dx=2c'∣?≡2(e-I),

無需分段積分.

15.C

本題考查的知識點是互斥事件的概念和加法公

事件4與B互斥，則4B=0,因此P(4B)=0.

由于P(4+8)=P(A)+P(B)-P(4B),

式.即0.8=0.3+P(8),得P(B)=O.5.故選C.

16.D本題主要考查極限的充分條件.

本題可以先積分,求出然后再求其極值.最簡捷的方法是利用變上限定積分先求出

∕,(χ)=χ-∣J^(*)=1>0,所以/(X)有極小值/(1)=-l)d<=?(j-D,Γ=-^■,所

以冼D.

17.D

λ

由于y)=■l.1√?f；(x，y)=-Tji

也2+V/

顯然，/；(0,0)、￡'(0,0)均不存在.

在原點的某鄰域內(nèi)，當(dāng)(x,y)w(O,0)時，總有/3y)=+丁>0=/(0,0)

所以，原點(0,0)不是駐點，但是極小值點.

18.B

19.B

分析：用換元法求M設(shè)5=".工■:

則有/(U)=±-Λ∕ΓΓT

4+1

?TIUI

所以人力一5一筆尹?

20.B

21.A

22.B

23.-1

24.D

,,

∫jf(3x)dx=?∫I7(3X)d(3x)=(3x“；=；[/⑼-/(3)]

25.C

甲乙排在首尾的方法為2!,另外3人排在中間的方法是3!,

所以，甲乙必須排在頭尾的概率為2∣箸3>=A1.

X?

In+Cln÷C

26.l+x1÷x

27.B此題暫無解析

［解析］

,—.—.b~xi—bx—ab

因La為j/z(x)=ex+(α+x)ex(--^)=e4

XX5

由于X=T,x=2是函數(shù)f(x)的極值點。

所以J

4-2?-αb=0

28.B解得α=2,b=I

29.C

【應(yīng)試指導(dǎo)】因兩封信投向四個郵篇共有的投法(可重要排列)為"=4'=】6,滿足1.2號郵筒各有

投法為&==2,故所求概率為P=上?=3=!?

30.x-y-l=0

31.11解析：

Iim5+DS*2)5+3)=Hm(I+1)(1+-)(1+-)=1

^→∞∏i”T8nnn

32.

工+、+312

z+y+3?χ2

因為色+也+”+且+也=1,所以α=l.

33.11解析：10101010IO

34.應(yīng)填1/6

畫出平面圖形如圖2-3—2陰影部分所示，則

ffi2d2

35.

2

1解析］因為［***-?L.=1arctan—=?(--arctan—)=—

J。4+V22β2228

aπ

arctan—=—

24

所以—=1?a=2

36.2

/(o7

37.Cf叫Lra)JZ+/"(χ)}c{Lr(x)J+∕7Λ)I解析

y,=efω-fXx)

zz,2

∕=e∕∞√7x).∕7x)+e∞∕*ω=e∞{［∕(x)∣+/?)

38.

因為y'=2e",y"=4e”,則/(O)=4.

xcosx-sinx+C

［解析］由分部積分公式，得

Jxd(COSx)=XCOSX-Jcosxdx=XCOSX-Sinx+C

39?

40.

41.

42.-l∕2χ2+2xy-y2=2x兩邊對求導(dǎo)（注意y是X的函數(shù)），因2x+2y+2xy'

2yy,=2,故y,=(2-2x-2y)∕(2x-2y)=(l-x-y)∕(x-y)令x=2,且

y=0.則=--≡".

Jt-2X-Z4

1

3心1.(〃+1)(〃+2)(〃+3)..l.2..3.,

［解析］Iim?-----------------------=??m(l+-)z(ι1+-)(1t+-)=1

43"→wn"→~nnn

44.

1+?+1,,

—arctan---------?-Cr

乙乙

dxdxarctan+c

1/+；工+5業(yè)=∫√+2J+1+4=?(ΓΓ?+4=IΨ?

45.

—2xsin(x2÷3∣2)

46.(-∞,1)

47.2

48.

填(∣,-1)?因為y"=6x-6=0,得X=I,此時y(i)=-1,所以拐點坐標(biāo)為(［._1).

3-e

u

20,2O?

fr2,,

［解析J∫ι∕(x)dx=fιedx+∫oxdx=e+-X=(1-e^)+2=3-e^

49.-I2

50.

或

51.1∕π

52.-arcosx2

53.

r+8dχ1χ1πa、π

因為-----z-=—arctan—=—(z——arctan—)=—

IA2

4+X2202228

aπ

arctan—=—

24

所以—=1,α=2

54.

y

設(shè)v=—,則z=/(x,v)

y

3z?f,?f3v?fι1ef

3x?v????y?v

55.In(x2+l)

56.應(yīng)填2

【解析】計算極限時一定要注意極限的不同類型，當(dāng)XTo時，本題不是“號”型，所以直接

利用極限的四則運算法則計算即可.但當(dāng)工-1時，本題是“當(dāng)”型，可用因式分解約去零因式等

方法求解.

Z9

,

(l+la>γ-[(l-la)-∣-1a]γ=

[：1著7“…=

[卬-J-：|∏a??r]f=

n?p?'??"rp."

〔：1片一：廿?*=

[?rP∕J-1'產(chǎn)??]f=

n?p???=?rPr"J

ιaxp

=^β∣?=?*7

*09

□+(^)√γ

?6S

91Λ,8S

GLS

<1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.曲線y=?r'在點（Ll）處切線的斜率為

,=2

>∣,.l?

曲線y=z'在點（1.D處法線的斜率為

k≡^?*

所以切線方程為y-l=2（x-l）,

即

2x-丫—1≡0?

則法線方程為y-l=-∣（x-l）.

即

X÷2y—3=Oi

（2）設(shè)所求的點為M.（網(wǎng).”）,曲線y=d在點（工。?W）處切線的斜率為

y'I=≡z?i=2J?.

切線與直線V=。一I平行時,它們的斜率相等，即2入=4.所以4=2,此時M=4,故在

點M,（2.4）處的切線與直線y=4?r-l平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.曲線y=在點（l?D處切線的斜率為

yL-=2-

曲線N=/在點（1.】）處法線的斜率為

k≡-?*

所以切線方程為y-l=2（x-l）,

即

2工一y-1=0.

則法線方程為y-l—-?∣√z-l）?

即

?+2?—3=0∣

<2）設(shè)所求的點為MJNQ,%）.曲線y-在點處切線的斜率為

yI≡2JI=2Mo.

11,?0

切線與直線Y=。一1平行時.它們的斜率相等,即2q=4?所以》=2.此時M=4,故在

點M“（2.4）處的切線與直線y=41—1平行.

原式J=?∫,,dj

uri

=l∫,l—X-X+1)clr

5-2√)dr

,,

4-2x3,14,3

=fΓ?.Jη=Tu-3^j-'8

63.8L

原式同二d/

r

=-∣-∫'(1-X-√+DdX

=U(2-2/出

OJI

3r.2J,,-I3.

［?。?-1)=A.8=1.

=9??383

1____2t_

由求導(dǎo)公式.得案「U-In(I+,”=ΓT?

(arctan∕)1

ΓT7

…立」(】一，)叮

_oz.

(arctanrΓ1一〃"十〃?

Γ+7

64.

y

由求導(dǎo)公式.得需=".二In(I+f：)了==Fn=(一,)，

(arctan∕>1ɑl,,

TTti

于是.j?=gy

=3(；-八=2(∕-l)(f÷l).

?r(arctan∕)

Γ+?

用換元積分法.令］=tan/.則

「一1——-dr=F-√—ser/d/

JIj?z.J?+J?2Jftan^z?sec/

=?:esc/?cotzd∕

.93√2-2√3

=-csα=------------------.

\3

65.

用換元積分法.令”=tan/?M1J

產(chǎn)IJ戶17

----------==zdτ=—5-----------ser/ɑ/

JI/2?yJ?+—Jftant?sec/

3√2-2√3

3'

dy__d/_αsinf=SirU

CLrd?α(1—cosZ)1—cos/

(Fy=co”?(1-COSZ)—sin.Z1

CLr2(1—cos/)2d?

d7

cos/—1I

=''.?■?■∣"?∣"

(1-COSl)2a(]—COS/)

1____11t

■ι■SSι■■—■CCi,,■,

a

66.(l-cosf)24a2*

?

?

dr

=一asin∕=sirU

ird.rα(1—cos，)1-cos，

d7

d2y=co”?(1-COSZ)—sin，?

(Lr2(1—cost)2d?

石

≡≡cos/.-1?■一1，

(1-COsZ)2<2(1—COS/)

11_1r

z?β≡■.ss——CSCl——

a(1—cos/);Aa2*

67.

窗戶的面積/∣=∕A+骨.

/和A滿足2A+3∕=12,得人=6-六].代人4,則有

4=6'尹+夕，

貨6-3/+爭工0.

得/=凈豆.

由于實際問題只有唯一的駐點，可知/=等浮(m)為所求

tu

y=[(ln?)?*?J+(InJ尸?Uf

h,l,k,χ,

=[e??~γ.J?*+(ln?)*?(e'?>

=e**wι,u,rIn(Inx)+x?亡?+dn?)??el**i?Zlnx?―

68=(lru?)j?pn(ln?)■+亡]?xbu+2(l∏?r)f?χta*~,.

y=[(ln?)']'?Jrbu÷(l∏j)*.(U

]?Xbu+(llir)r?(心?

ln(?n?)十*??-?*∣?Xlnz+(ln?)??eu；1?21fir??

ln??JX

[In(Inx)+亡卜工*~+2(∣∏J),*'?xlw^'.

11

原微分方程可化為y'4------：—y――.

jr?in??

于是.方程的通解,y=[JN；i<tr+C]?e.心■

"[∫7,ln?eLr+C*l??-

ln?

,nr

=(?,-CL

+I)?Γln?

將初始條件y∣=1代人,有C=I?.故滿足條件的特解為:

lnx+

>=ι∣αr+ι?≡?(i?)?

J22Irtr

原微分方程可化為y'+fp=j

于是，方程的通解中=[J北?b<U+C]?e

?[11?-]?土

=(?l^÷c)?i?

將初始條件y∣≡?代人.有C=故橫足條件的特解為:

y=?*nj÷??≡?(laf+?)?

70.

令H=αtan∕(一手VY]).作輔助三角形,如圖所

示.則

CLr=usee;/<k.

+了=?∕ɑ2tan*Z÷α'=a√?tarr7^+ΠΓ=αsec∕.

由輔助三角形，如圖所示，則SeCr=0王尤.tan/

于是

d?

sec∕d∕

√r2+√

=InIsec/+tan/∣+G

FI代

&I二+0±尤+C

Iaa1

=ln(?÷√Cr"+α?)÷C1-Ina

=ln(?+>∕JΓ2+u2)÷C(C=(,∣—lnα).

令Z=αtan∕(一?∣?V/V學(xué))，作輔助三角形,如圖所

示.則

CLr=dsec'∕d∕?

√Grr-Fατv∕u2tan^/+αi=a?∕tan2/+1=αsec∕.

由輔助三角形，如圖所示,則SeCr=t√,tan∕=三.

aa

于是

f-TZ===.=f--c?d∕=[sec∕d∕

J√rτ+ατJαseczJ

=InIsecz+ta∏r∣÷C∣

雪叱+罕斗G

=ln(?+√Crr^÷0τ)÷C∣—Ina

=ln(?+√Z+Tr)+C(C=g-ln").

71.

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點?該二重積分用極坐標(biāo)計算比用直角坐標(biāo)計

算簡便.

積分區(qū)域D由/+/≤1化為1.0≤8≤2*?故

(√jr?3r-?v)<Lrdy(rr?coj√h*iπ0)rdrdβ

=?de?(ri-r,cosβsintf)dr

=P[?-ycosβsintfJ]de

?c-?rSinftiSine

≈jκ.

根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點.該二重積分用極坐標(biāo)計算比用直角坐標(biāo)計

算簡便.

枳分區(qū)域心由一+/≤?化為r≤l?0≤8≤2ιr?故

(√Grr÷3r—Xy)<Lrdy(r■/coMSind)rd尸此

=?de?3-r1cosβsin∕Z)dr

=P[彳一：CoMSinqJdd

=Tel-??sinMsinβ

-∣π-ψi∏l^∣y=∣π.

72.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

"=_衛(wèi)=絲

根據(jù)題意，先做出積分區(qū)域?如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進行計算.

IMQ√τ∏vd?r=j>j:

根據(jù)題意.先做出積分區(qū)域.如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進行計算.

G√χi+√dx

=-?-L=-

23.6,

74.解設(shè)F(x,y>λ)=X2+y2+λ(2x+3y-1),

E=2x+2A&O,

F；=2y+3A===O,

%=2x+3y-I??θ

消去A,解得x=Q=?則相，奇4為極值?

75.

由于當(dāng)HfO時,d是無窮小j??且卜in￡I≤1.故可知Ii呼ISin.=0.

當(dāng)”fO時?1—e"3^~3x2,故

∣?(1-e\")sin2j∣.3J??sin2j∣.3sin2xQ

Iim-----------\----------=Iim--------：=Iim=—=3.

一。XΛ→OX√→oX

所以lim?！阬__U》in%+工，Mn??］=3.

3L??J

由于當(dāng)HfO時,工'是無窮小量，且卜in,∣≤1.故可知Ii呼Isin/=0.

當(dāng)才―O時,l-eT''~3〉,故

P(1-e^")sinjj∣.3J?,?SinZ_r..3sin2x

Iim-----------；----------=Iim---------：------=Iim≡-=3.0

一。Xz→oX√→oJr

所以陽［小二爐血三十dsin土］=3.

76.

由F="+2x，得交點(OQ)與(2.0).

Iy=O.

=

(DS=((-/?2x)dχ=(_=?/)Ioy?

②匕=?π(-x：÷2x)2dx=TrjJ(X4-4xi÷4x2)dx

=ιr(r^χ4Φ,)lo=?ιτ

77.

?ln(?+Ml+>>d?=?ln(?÷，I+“，)—??d(?n(?÷√I+??))

=?ln(?+√zT+"?)—Lr?------1------I/?人”.?d?

Jx+√Γ+Pr?√Γ+7∕

=?ln(?+√T+"xr)—f-?-d?

J√rΓ+xr

=?ln(?+√Γ+7r)一??(l+??)-?d(l+√)

=?ln(?+√zT+xr)—，I+/+C

?ln(?+√zl÷xi)dr=?ln(?÷√1÷?2)—??d(ln(?÷√1+?2))

dr

=xln(x÷√Γ+7)-P.7ψ;z?=r(?+7f?)

r

=?ln(?+√T-Fx)—[■-?d?

J√Γ+7Γ

=?ln(?+√T+-τr)—??(I÷??)-?d(1+??)

=??n(?+√T+^rr)—√1+√+C.

因為Iim/(1)=lim?sinL=O=/(0),

/?*0r→0Jr

所以/(?)在Z=O處連續(xù).

1

但人工)-J(O)=A￡1=——三=Sin1.

Jr-OXXJr

而IimSin-不存在,即lim∕(?r)一八°)不存在.

L。?f*0