平面解析幾何（選擇題）-2023屆天津市高考數(shù)學二輪復(fù)習練習【2023高考模擬題】

08平面解析幾何（選擇題）-2023屆天津市高考數(shù)學二輪復(fù)

習專題練習【2023高考模擬題精選】

一、單選題

22

1.（2023?天津?三模）已知O為坐標原點，雙曲線C:「-2=l（0>O8>O）的左、右焦點

分別是Fl,F2,離心率為暗,點尸（%兇）是C的右支上異于頂點的一點，過心作/耳「鳥

的平分線的垂線，垂足是M,∣MO∣=√2,若雙曲線C上一點7滿足耳7=5,則點

T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）

A.2點B.2√3C.2√5D.2√6

2.（2023?天津?一模）圓C與X軸相切于7（1,0）點，與N軸正半軸交于A、8兩點，且

∣A8∣=2,則下列說法正確的有（）

①圓C的標準方程為（X-I）2+（y-√∑F=血：②圓C關(guān)于直線x+√Σy-3=0對稱；

③經(jīng)過點（g,*）與圓C相交弦長最短的直線方程為y=-*x+乎；④若P（χ,y）

是圓C上一動點，則（x+lY+（y+l）2的最大值為7+3人.

A.②③B.①@C.①③D.②④

22

3.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知雙曲線Ef=IgO*>0）的離心率為2,拋物線

丁=4》的焦點為F,過F過直線/交拋物線于AB兩點，若/與雙曲線的一條漸近線平

行，則I做=（）

A.16B.8√3C.8D.—

3

O2

4.（2023?天津和平?統(tǒng)考二模）設(shè)”、"分別為雙曲線,-方=1（。>0力>0）的左、右

焦點，拋物線V=20x的準線過點內(nèi)，若在雙曲線右支上存在點P,滿足IPKl=舊閭，

且點P2到直線PK的距離等于雙曲線的實軸長，則點F2到該雙曲線的漸近線的距離為

（）

A.3B.4C.2√7-1D.5

5.（2023?天津南開?統(tǒng)考一模）己知拋物線y2=16x上一點A（WM到準線的距離為5,F是

22

雙曲線工-匕=1的左焦點，P是雙曲線右支上的一動點，則∣PF∣+IPAl的最小值為（）

412

A.12B.11C.IOD.9

6.（2023?天津南開?統(tǒng)考一模）已知直線y=H-l與圓f+（y-1尸=16相交于AB兩點,

則AB的長度可能為（）

A.6B.7C.12D.14

22

7.（2023?天津河東?一模）已知雙曲線的實軸為4,拋物線

V=2px（p>0）的準線過雙曲線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為尸（4,機），則雙

曲線的漸近線方程為（）

?^2√6，色C,2

A.y=±-----XdB.y=±-------χC?y—i~^xd

>3J33?亭

8.（2023?天津?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C:￡-￡=Ka>0,6>0）的右頂點為A,以A為圓

心，方為半徑的圓與C的一條漸近線交于M,N兩點.若NMAN=I20,則C的離心率為

（）

_3

A.2B.WC.5D.??∕2

9.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）拋物線f=2p）,（p>0）的焦點為尸，其準線與雙曲線

5-*=1的漸近線相交于A、B兩點，若AAB尸的周長為4√i,則P=（）

A.2B.2√2C.8D.4

10.（2023?天津?統(tǒng)考一模）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望

烽火，黃昏飲馬傍交河詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬''問題，即將

軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路

程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為8（-2,0）,若將軍從點A，；,。］處出

發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.叵B,5C.叵D.3

333

11.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）已知直線/：”a-y-3m+1=0恒過點尸，過點尸作直線

與圓C（x-l）2+（y-2尸=25相交于A,B兩點,則IA同的最小值為（）

A.4√5B.2C.4D.2√5

12.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）已知雙曲線W-I=I（a>O,b>O）的一條漸近線與拋物線

a^b

9=4無交于點A,點3是拋物線的準線上一點，拋物線的焦點/為雙曲線的一個焦點,

試卷第2頁，共4頁

且AABF為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

?7/Iy27X2Iy1

3443

22

r3f4/7xIy

771216

13.（2023?天津和平?統(tǒng)考二模）由直線y=x+l上的點向圓（x-3f+∕=ι作切線，則切

線長的最小值為（）

A.1B.√7C.2√2D.3

14.（2023?天津?二模）已知直線/：*7=1與圓Cx2+∕-2x+2yT=0相交于AC兩點,

點B,O分別在圓「上運動,且位于直線/兩側(cè),則四邊形ABCD面積的最大值為（）

A.√30B.2廊C.后D.2√H

22

15.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考一模）拋物線/=4x的焦點到雙曲線￡-W=1（4>0/>0）的

漸近線的距離是立，則該雙曲線的離心率為

2

A.√2B.√3C.2D.3

22

16.（2023.天津河東.統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:烏-與=1（。>0/>0）的左焦點為尸，

ab-

以所為直徑的圓與雙曲線。的漸近線交于不同原點。的AB兩點，若四邊形AOB尸

的面積為g（4+b2）,則雙曲線C的漸近線方程為

A.y=±-χB.y=±y∣2xC.y=±xD.y=±2x

2

17.（2023?天津?一模）下列選項中說法正確的是

A.若非零向量°,〃滿足4力>0，則4與人的夾角為銳角

B.“切∈R,其-與々）”的否定是“心€-x2-x≥0,,

C.直線∕l:2ax+y+l=0,4"+2αy+2=0,∕∣∕∕q的充要條件是a=；

D.在AABC中，“若sinA>sin3,則/>夕的逆否命題是真命題

22

18.（2023?天津?二模）己知雙曲線「-斗?=l（a>6>0）的右焦點為尸，虛軸的上端點為

aIr

B,P為左支上的一個動點，若周長的最小值等于實軸長的3倍，則該雙曲線的

離心率為（）

A巫B.典C.MD.√2

25

■?2

19.（2023?天津河西?統(tǒng)考二模）己知雙曲線，-5=1（“>0,6>0）的一條漸近線方程是

y=√3.r,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上，則雙曲線的方程為

y2

A.B.

361089

C.D.-=,

108?f

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

I.A

【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程,

再設(shè)7(“/)，由雙曲線的方程求點到兩條漸近線的距離之和.

設(shè)半焦距為C,延長，W交PK于點N,由于PM是NKPg的平分線，F(xiàn)2MLPM,

所以NP乃是等腰三角形，所以IPM=IP段，且M是NF2的中點.

根據(jù)雙曲線的定義可知IP周-∣PR∣=2α,即M=2α,由于。是耳心的中點，

所以M。是乙的中位線，所以IMol=JN用=α=JΣ,

又雙曲線的離心率為亞，所以c=√5,b=?,所以雙曲線C的方程為工-V=]

22

所以與(-#,0),g(6,0),雙曲線C的漸近線方程為x±√Σy=0,

d

設(shè)7(〃#),T到兩漸近線的距離之和為S,則SJ"+P+∣"-*∣,

√36

由6T??T=(?-√3)(w+6)+/=/+/-3=5,即“2+F=&,

又T在三-y2=ι上，則，一/=1,即“2-2F=2,解得“2=6,V2=2,

22

由∣w∣>JΣ∣u∣,故S=患?=2α,即距離之和為2忘.

故選：A.

【點睛】由平面幾何知識，IPNl=IP用，依據(jù)雙曲線的定義，可將IMOI=√Σ轉(zhuǎn)化為用“表

示，進而的雙曲線的標準方程.

2.A

【分析】對于①：由已知得出圓C的圓心和半徑，即可寫出圓C的標準方程，判斷出①；對

于②：判斷直線是否過圓心，即可判斷出圓C是否關(guān)于直線x+四y-3=0對稱；對于③：

答案第1頁，共12頁

求出經(jīng)過點［于q-j與圓C相交弦長最短的直線方程，即可判斷③；對于④將

(x+l)?+(y+l)2轉(zhuǎn)化為圓上動點P到點(TT)距離最大值的平方，求出最大距離，即可判斷

④.

【詳解】對于①：過圓心C作α)LA8,垂足為。，

則3f>=l,CD=I,

所以產(chǎn)=BC?=CD1+BD1=12+12=2.即r=√∑,

又因為圓C與X軸相切于7(1,0)點，

所以圓心C的坐標為(l,√∑),

所以圓C的標準方程為：(x-l)2+(y-√Σ)2=2,故①錯誤;

對于②：因為圓心(1,√∑)在直線x+√Σy-3=0上,

所以直線x+√Σy-3=0是圓C的一條對稱軸，故②正確;

對于③：設(shè)點為E,

因為(g-ιy+√2)2<2,

所以點在圓C內(nèi)部,

當直線經(jīng)過點E與圓C相交弦長最短時，該直線垂直于CE,

因為《E=應(yīng)，所以該直線斜率4=-4

答案第2頁，共12頁

所以該直線方程為：y-克=一立(X-L),即y=_YIX+量I,故③正確；

22224

對于④：設(shè)點/(-1,-1),

貝JICF2=(χ+1)2+(y+1)2,

當(x+iy+(y+l)2取最大時，點戶位于直線CF上，且位于圓心C的右側(cè)，

因為CF=?/(?+1)2+(^+I)2=√7+2√2,

所以PF=J7+20+夜，

2

所以(x+1)2+(y+1/=PF?=(√7+2√2+√2)=9+2應(yīng)+2√7√2+4,故④錯誤,

所以正確的有②③，

故選：A.

3.D

【分析】現(xiàn)根據(jù)雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據(jù)點斜式求得直線AB的方程,

聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達定理和焦點弦公式，即可求解.

【詳解】解：由題意得e=￡==2,

故雙曲線的漸近線方程為y=±2χ=±底，

a

又/與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設(shè)直線/的斜率為白，又F(1,O),

故/的直線方程為：y=√3x-√3,聯(lián)立直線方程和拋物線方程得：3fToX+3=0，

所以所以IABl=XA+xzj+p=J+2=學.

??J

答案第3頁，共12頁

故選：D.

4.B

【分析】取P片的中點M，連接gM，分析可得c=5,F2MLPF1,利用雙曲線的定義結(jié)

合已知條件可得出/月M三邊邊長，利用勾股定理可求得”的值，進而可求得6的值，最后

利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】取PA的中點加，連接入例，如下圖所示：

易知拋物線V=20x的準線方程為X=-5,則耳(-5,0)、片(5,0),

因為雙曲線*?-g=l(α>O力>0)的右支上存在點P,使得IPEl=陽閭=10,

又因為M為尸片的中點，所以，F(xiàn)2MlPFt,

由雙曲線的定義可得IPMl=IP閭+2α=2c+2α,則IPM=JIP耳∣=c+”,

由題意可知，怩閭=2〃，

由勾股定理可得IP周2=?PM[+?F2Mff即(2C)2=(c+a『+(2”，

所以，(c+tz)2=4(c2-df2)=4(c-6z)(c+a),故c+α=4c-4Q,可得〃=,=3,

所以，b=Vc2-er=V52-32=4，

be

雙曲線的右焦點B(C,0)到漸近線y=2χ的距離為d=丁勺=6=4.

"上不

故選：B.

5.D

答案第4頁，共12頁

【分析】先根據(jù)題意求出點A的坐標，設(shè)K是雙曲線｝￡=1的右焦點，根據(jù)雙曲線的定

12

義可得?PF?+?PA?=?PA?+?PFt?+2a≥?AFt?+2a,從而可得出答案.

【詳解】拋物線V=16x的準線為x=-4,

則點人(利〃)到準線的距離為％+4=5,所以加=1,

貝∣J〃=±4,故A(I,±4),

22

設(shè)「是雙曲線?-5=1的右焦點，6(4,0)

則IPMTP用=2"=4,貝"尸尸I=IP制+4,

故IPFl+∣Λ4∣=∣Λ4∣+∣P4I+42∣A^∣+4=√9+16+4=9,

當且僅當A，P,K三點共線時取等號,

所以四1+1PAl的最小值為9.

故選：D.

6.B

【分析】由直線過定點可知圓心到直線的最大距離，從而可判定相交弦的最小長度，而最大

長度為直徑，可得結(jié)果.

【詳解】由條件可知：直線>=丘-1過定點(0,-1),圓心為(0,1),半徑r=4,

如下圖所示，則圓心到該直線的最大距離?=1-(-1)=2,而當該直線過圓心時，圓心到

該直線的距離最小為0；

由弦長公式可得：?AB?=2y∣r2-d2∈[4^,8].

故選：B

答案第5頁，共12頁

【點睛】本題考察直線與圓相交弦的取值范圍，屬于中檔題.關(guān)鍵在于找出圓心到過定點直

線的距離范圍，以及弦長公式要熟記.

7.A

【分析】求出α=2,。=4,將P(4,M代入雙曲線和拋物線，求出加=8p=32,b=蛔,

3

進而求出漸近線方程.

【詳解】由題意得加=4,a=2,故雙曲線左頂點坐標為(-。,0),

拋物線的準線為X=Y,故“=與，解得0=4,

22

點戶(4,，〃)為拋物線與雙曲線的一個交點，故〃?z=8p=32,9-r=1，

即4挈=1,解得從=弓，解得b=勺叵

b^33

4√6

故雙曲線的漸近線方程為b??J瓜.

y=±-x=±^-x=±------X

a23

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)已知條件及點到直線的距離公式，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】雙曲線C.J=l(α>O,b>O)的右頂點為Am0),以A為圓心，匕為半徑的圓與C

的一條漸近線交于M，N兩點.

當NM4N=120時，可得點A(4,0)到漸近線?r+“y=O的距離為6sin30=^b,

?ab?1,cc

即二力,整理可得上=2,即e=*=2

√J4~+=加2aa

所以C的離心率為2

故選：A.

9.A

【分析】利用雙曲線的漸近線、拋物線的焦點和準線以及兩點的距離公式進行計算求解.

答案第6頁，共12頁

【詳解】由題知，雙曲線4上1的漸近線為產(chǎn)±岳，

拋物線√=2py(p>0)的焦點尸［，?f］，準線方程為y=-g,

所以AF=BF=因為AAB尸的周長為4忘,

所以2'蕓+幺=4返’解得'=2.故B,C,D錯誤.

故選：A.

10.A

【分析】設(shè)B(-2,0)關(guān)于x+2y=3的對稱點為(x,y),列方程求對稱點坐標，再應(yīng)用兩點距

離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.

【詳解】設(shè)8(-2,0)關(guān)于X+2y=3的對稱點為(x,y),

H+2χ2=3rn/、

29r?=0(1\

所以Z,?,可得,，即對稱點為(0,4),又4-二,0

上XUb=4I3J

［x+2I2)

所以“將軍飲馬”的最短總路程為J(O+；J+(4-0)2=7p

故選：A

II.A

【分析】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關(guān)系，進而確定IABl最小時直線與直線CP

的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.

【詳解】由Mx-3)-y+l=0恒過P(3,l),

X(3-l)2+(l-2)2=5<25,即尸在圓C內(nèi)，

要使IA4最小，只需圓心Cd,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長最短,

由ICPl=有，圓的半徑為5,

答案第7頁，共12頁

所以∣AB∣=2xj25-5=4√^.

故選：A

12.A

【分析】根據(jù)題意得AB_U，設(shè)4:,f),列方程可得點A的坐標，然后求解得2=2叵，

4a3

再由C?=/+∕=ι,即可求出雙曲線的方程.

【詳解】由題意，點F(LO),拋物線的準線方程為戶-1,作AOL/,由拋物線的定義可知,

IAq=IA目，又AABF為等邊三角形,所以∣4B∣=∣AF∣,所以恒陽=|人力，即點民。重合，

/t=——=-?=2√3Lr

所以ABJj,設(shè)A(Lj),不妨設(shè)r>0,則tan30g,得f=2√J,所以43,2途)，

4T

所以2=2S又因為C2="+從=[,所以得42==,"=g,所以雙曲線的方程為

a377

2

7χiy1

34

故選：A

【分析】先求圓心到直線的距離，此時切線長最小，由勾股定理不難求解切線長的最小值.

【詳解】切線長的最小值是當直線y=χ+ι上的點與圓心距離最小時取得,

圓心(3,0)到直線的距離為〃=l3-θ+"=2√2,

答案第8頁，共12頁

圓的半徑為1,

故切線長的最小值為y∣d2-r2=后工=√7，

故選：B.

【點睛】本題考查圓的切線方程，點到直線的距離，是基礎(chǔ)題.

14.A

【分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到直線Lχ-y=i的距離d,再利用勾股定理結(jié)合圓

的性質(zhì)求出IABl的長，由圓的性質(zhì)可知當助9為弦AC的垂直平分線時(即為直徑時)，兩三

角形的面積之和最大，從而可求出面積的最大值.

【詳解】解：把圓「：V+y，-2x+2y-1=O化為標準方程(X-I)°+(y+1)-=3,圓心(LT),

半徑r=??∕3,

∣1×1-1×(-1)-1∣√2

直線與圓相交,由點到直線的距離公式的弦心距〃=

√l2+(-D22

弦長為MCl=2χ羋=JiG,

由勾股定理的半弦長為

又B,Zλ兩點在圓上，并且位于直線/的兩側(cè)，四邊形ABcD的面積可以看出是兩個三角形

ABC和..AS的面積之和，

如圖所示，當8,。為如圖所示的位置，即3。為弦AC的垂直平分線時(即為直徑時)，兩三

角形的面積之和最大，即四邊形ASCD的面積最大，

最大面積為S=^?AC?×?BE?+^?AC?×?DE?=^?AC?×?BD?=√30,

故選：A.

【點睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的內(nèi)接四邊形面積最大問題，考查了點到

直線的距離公式，屬于中檔題.

答案第9頁，共12頁

15.C

【解析】求出拋物線的焦點坐標以及雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離求出2的值,

a

再利用離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.

【詳解】拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),雙曲線的漸近線方程為y=士,χ,

b

ja√3

由題意得d=-p=:=?,解得2=√J,

因此，該雙曲線的離心率為e=￡==2.

a

故選：C.

【點睛】本題考查拋物線和雙曲線兒何性質(zhì)的應(yīng)用，在涉及利用雙曲線的漸近線方程求雙曲

線的離心率時，利用公式e=Jl+(2j計算較為方便，考查計算能力，屬于中等題.

16.C

【解析】根據(jù)題意，OALAF,雙曲線C的焦點尸到C的一條漸近線的距離為6,所以

?AF?=b,進而∣QA∣=α,四邊形面積為必，由H=g(ɑ?+y)可化簡得，=1,寫出漸近線

方程即可.

【詳解】根據(jù)題意，OALAF,雙曲線C的焦點F到C的一條漸近線y=±&x的距離為