數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法(九年級)-第10講-二次函數(shù)與二次方程

第十講二次函數(shù)與二次方程知識縱橫方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題。在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等問題時，常將問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡捷的解答。二次函數(shù)，令，那么得，這是一個關(guān)于的一元二次方程，它們的聯(lián)系表現(xiàn)在：方程實(shí)根的個數(shù)、拋物線與軸交點(diǎn)的個數(shù)的探討都可以轉(zhuǎn)化為由根的判別式來討論，特別地，設(shè)，為拋物線與軸的兩個不同交點(diǎn)，那么〔1〕，；〔2〕例題求解：【例1】〔1〕在直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)。假設(shè)點(diǎn)A、B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且滿足，那么的值為?！踩珖踔袛?shù)學(xué)競賽題〕〔2〕直線〔為實(shí)數(shù)〕與函數(shù)的圖象至少有三個公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是?！埠Ｄ鲜「傎愵}〕思路點(diǎn)撥：對于〔1〕，設(shè)，，把OA、OB用、的式子表示，建立的方程，解題關(guān)鍵是判斷、正負(fù)性；對于〔2〕，作出函數(shù)圖象，借助圖象解題?！纠?】設(shè)關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，且，那么的取值范圍是〔〕A、B、C、D、思路點(diǎn)撥：；在根的表達(dá)式復(fù)雜，故把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，即求對應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)滿足的的值，注意判別式的隱含制約?！纠?】關(guān)于的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔1，0〕。〔1〕求的值；〔2〕求的取值范圍；〔3〕該二次函數(shù)的圖象與直線交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點(diǎn)P，記的面積為，的面積為，當(dāng)時，求證：常數(shù)，并求出該常數(shù)?！?011年廣州市中考題〕思路點(diǎn)撥：對于〔2〕，由判別式建立的不等式；對于〔3〕，將轉(zhuǎn)化為易求出或易表示的三角形的面積差。【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。連接，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，且點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)?！?〕假設(shè)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時，求的取值范圍；〔2〕點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)B，直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，請判斷形狀，并說明理由?！矎B門市中考題〕【例5】拋物線?！?〕，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕，且當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍；〔3〕假設(shè)，且時，對應(yīng)的；時，對應(yīng)的，試判斷當(dāng)時，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？假設(shè)有，請證明你的結(jié)論；假設(shè)沒有，闡述理由?！蔡旖蚴兄锌碱}〕三個兩次【例6】設(shè)為正整數(shù)，且，如果對一切實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點(diǎn)間的距離不小于，求的值?！踩珖踔袛?shù)學(xué)聯(lián)賽題〕思路點(diǎn)撥：由，得，由條件得，因此不等式對任意實(shí)數(shù)都成立，故將問題轉(zhuǎn)化為判別式結(jié)合正整數(shù)求解。學(xué)力訓(xùn)練根底夯實(shí)：1、二次函數(shù)的局部圖象如下圖，那么關(guān)于的一元二次方程的解為?！步魇≈锌碱}〕2、拋物線的局部圖象如下圖，假設(shè)，那么的取值范圍是。〔新疆建設(shè)兵團(tuán)中考題〕3、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，該圖象與軸的另一個交點(diǎn)為，那么長為?！?011年舟山市中考題〕4、以下表格是二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值，判斷方程〔、、為常數(shù)〕的一個解的范圍是〔〕。6.176.186.196.20－0.03－0.010.020.04A、B、C、D、〔蘭州市中考題〕5、如圖，拋物線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，那么關(guān)于的不等式的解集是〔〕。A、B、C、D、〔2011年無錫市中考題〕6、函數(shù)，且使成立的值恰好有三個，那么的值為〔〕A、0B、1C、2D、3〔2011年黃岡市中考題〕7、函數(shù)〔是常數(shù)〕。〔1〕求證：不管為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn)；〔2〕假設(shè)該函數(shù)的圖象與軸只有一個交點(diǎn)，求的值?！?011年南京市中考題〕8、使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)。例如，對于函數(shù)，令，可得，我們說1是函數(shù)的零點(diǎn)。函數(shù)〔為常數(shù)〕?！?〕當(dāng)時，求該函數(shù)的零點(diǎn)；〔2〕證明：無論取何值，該函數(shù)總有兩個零點(diǎn)；〔3〕設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為和，且，此函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B〔點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)〕，點(diǎn)M在直線上，當(dāng)MA+MB最小時，求直線AM的函數(shù)解析式?！?011年長沙市中考題〕9、關(guān)于的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，且滿足?！?〕證明：；〔2〕證明：；〔3〕對于二次函數(shù)，假設(shè)自變量取值為，其對應(yīng)的函數(shù)值為，那么當(dāng)時，試比擬與的大小。能力拓展：10、設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，那么?！踩珖踔袛?shù)學(xué)聯(lián)賽題〕11、二次函數(shù)〔其中是正整數(shù)〕的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，并且與軸有兩個不同的交點(diǎn)，那么的最大值為。〔全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕12、設(shè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A，與軸交點(diǎn)為、，當(dāng)為等邊三角形時，的值為。〔太原市競賽題〕13、假設(shè)方程的一個根大于1，另一個根小于1，那么的值為〔〕。A、不大于1B、大于1C、小于1D、不小于1〔2011年“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕14、方程的解的個數(shù)為〔〕。A、1個B、2個C、3個D、4個〔2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〕15、假設(shè)對所有的實(shí)數(shù)，恒為正，那么〔〕。A、B、C、或D、〔第21屆江蘇省競賽題〕16、拋物線上有一點(diǎn)位于軸的下方?！?〕求證：此拋物線與軸交于兩點(diǎn)；〔2〕設(shè)此拋物線與軸的交點(diǎn)為，且，求證：?！蔡旖蛸悈^(qū)選拔賽試題〕17、拋物線與動直線有公共點(diǎn),且，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！踩珖踔袛?shù)學(xué)競賽題〕綜合創(chuàng)新：18、如圖①，拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn)?！?〕拋物線的解析式；〔2〕設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)?，F(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線上。假設(shè)平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；〔3〕如圖②將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時，過作不平行于軸的直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)。問在軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使的內(nèi)心在軸上？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由。