高考數(shù)學象限必修4解答題220題

必修4解答題220題一、解答題1、設α是第二象限角,問eq\f(α,3)是第幾象限角？2、在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′、3、如圖所示,寫出終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合(用0°到360°間的角表示)．4、如圖所示,寫出終邊落在陰影部分的角的集合．5、已知一扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？6、已知一扇形的中心角是α,所在圓的半徑是R、(1)若α＝60°,R＝10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是一定值c(c>0),當α為多少弧度時,該扇形有最大面積？7、把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23,6)π；(3)－4、8、如何利用三角函數(shù)線證明下面的不等式？當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時,求證：sinα<α<tanα、9、在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2)、10、設θ是第二象限角,試比較sineq\f(θ,2),coseq\f(θ,2),taneq\f(θ,2)的大?。?1、求函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定義域．12、已知角α終邊上一點P(－eq\r(3),y),且sinα＝eq\f(\r(3),4)y,求cosα和tanα的值．13、求下列各式的值．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,3)π))＋taneq\f(17,4)π；(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°、14、已知角α的終邊上一點P(－15a,8a)(a∈R且a≠0),求α15、證明：(1)eq\f(1－cos2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,tan2α－1)＝sinα＋cosα；(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．16、求證：eq\f(1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)、17、已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個根(a∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tanθ＋eq\f(1,tanθ)的值．18、化簡：eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)、19、已知tan=3,求下列各式的值,,20、化簡：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－1,4)π－α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋1,4)π－α))(k∈Z)．21、是否存在角α,β,α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))),β∈(0,π),使等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin(3π－α)＝\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)),\r(3)cos(－α)＝－\r(2)cos(π＋β)))同時成立．若存在,求出α,β的值；若不存在,說明理由．22、若cos(α－π)＝－eq\f(2,3),求eq\f(sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π),cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π))的值．23、已知sin(α＋β)＝1,求證：tan(2α＋β)＋tanβ＝0、24、化簡：eq\f(sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ],sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ))(其中k∈Z)．25、求證：eq\f(tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα、26、在△ABC中,若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B),eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B),求△ABC的三個內(nèi)角．27、已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169),且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2),求sinα與cosα的值．28、已知函數(shù)（1）求f(x)的最大值與最小值；（2）若的值、29、已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（III）若30、如圖表示電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系式：I=在同一周期內(nèi)的圖象。（1）根據(jù)圖象寫出I=的解析式；（2）為了使I=中t在任意－段秒的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)的最小值是多少？31、2006年8月中旬,湖南省資興市遇到了百年不遇的洪水災害。在資興市的東江湖岸邊的O點處（可視湖岸為直線）停放著一只救人的小船,由于纜繩突然斷開,小船被風刮跑,其方向與湖岸成15°,速度為2、5km/h,同時岸上一人,從同一地點開始追趕小船,已知他在岸上追的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h,問此人能否追上小船？若小船速度改變,則小船能被此人追上的最大速度是多少？32、已知函數(shù)f(x)=4sin2(+x)-2cos2x-1(x∈R)（1）求的最小正周期、最大值及最小值；（2）求f(x)的圖象的對稱軸方程。33、函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|,x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點,求k的取值范圍．34、分別作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝|sinx|,x∈R；(2)y＝sin|x|,x∈R、35、利用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖：(1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝－1－cosx(0≤x≤2π)．36、求函數(shù)f(x)＝lgsinx＋eq\r(16－x2)的定義域．37、判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))cos(π＋x)；(2)f(x)＝eq\r(1＋sinx)＋eq\r(1－sinx)；(3)f(x)＝eq\f(esinx＋e－sinx,esinx－e－sinx)、38、已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù),且x∈[0,eq\f(π,2)]時,f(x)＝1－sinx,求當x∈[eq\f(5,2)π,3π]時f(x)的解析式．39、求出數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、40、判斷函數(shù)f(x)＝ln(sinx＋eq\r(1＋sin2x))的奇偶性．41、已知函數(shù)f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))),最大值為1,最小值為－5,求a和b的值．42、求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．(1)y＝1－sineq\f(x,2)；(2)y＝logeq\f(1,2)(cos2x)．43、求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間和對稱中心．44、判斷函數(shù)f(x)＝lgeq\f(tanx＋1,tanx－1)的奇偶性．45、怎樣由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象,試敘述這一過程．46、已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)上的一個最高點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\r(2))),此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)π，0)),若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))、(1)試求這條曲線的函數(shù)表達式；(2)用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在[0,π]上的圖象．47、已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))(x∈R)、(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)經(jīng)過怎樣的圖象變換使f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？(僅敘述一種方案即可)．48、已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對稱,且在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值．49、某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24,單位：小時)的函數(shù),下面是水深數(shù)據(jù)：t(小時)03691215182124y(米)10、013、09、97、010、013、010、17、010、0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似的看成正弦函數(shù)型y＝Asinωt＋B的圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線,求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情況下,船舶航行時船底與海底的距離不小于4、5米是安全的,如果某船的吃水度(船底與水面的距離)為7米,那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港,它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？(忽略離港所用的時間50、如圖,一個水輪的半徑為4m,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈,如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間．(1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；(2)點P第一次到達最高點大約需要多少時間？51、已知,求（1）；（2）的值。52、已知,求的值。53、化簡：54、已知是關(guān)于的方程的兩個實根,且,求的值．55、如右圖所示,函數(shù)y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤eq\f(π,2))的圖象與y軸交于點(0,eq\r(3)),且該函數(shù)的最小正周期為π、(1)求θ和ω的值；(2)已知點A(eq\f(π,2),0),點P是該函數(shù)圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當y0＝eq\f(\r(3),2),x0∈[eq\f(π,2),π]時,求x0的值．56、已知其中為銳角,求證：57、化簡:58、求值：59、求證：60、設和求的值、61、已知tanα＝2,求下列代數(shù)式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α、62、如圖,表示電流強度I與時間t的關(guān)系式在一個周期內(nèi)的圖象⑴試根據(jù)圖象寫出的解析式；⑵為了使中t在任意一段秒的時內(nèi)I能同時取最大值|A|和最小值－|A|,那么正整數(shù)的最小值為多少？63、已知函數(shù)f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值為0,最小值為－4,若實數(shù)a>0,求a、b的值．64、已知求的值。65、已知函數(shù)y＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3,x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最大值為4,求實數(shù)a的值．66、求函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、最值、67、已知α是第三象限角,f(α)＝eq\f(sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(－α－π),tan(－α)·sin(－π－α))、(1)化簡f(α)；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3,2)π))＝eq\f(1,5),求f(α)的值；(3)若α＝－1860°,求f(α)的值．68、在已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ),x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為eq\f(π,2),且圖象上一個最低點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))、(1)求f(x)的解析式；(2)當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))時,求f(x)的值域．69、已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0且ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分圖象,如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,3)))上有兩個不同的實根,試求a的取值范圍．70、已知α是第三象限角,f(α)＝eq\f(sin(α－\f(π,2))cos(\f(3π,2)＋α)tan(π－α),tan(－α－π)sin(－π－α))、(1)化簡f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3,2)π)＝eq\f(1,5),求f(α)的值．71、已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11),求下列各式的值．(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ、72、已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)、求：(1)sinα－cosα；(2)sin3α＋cos3α、73、已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)如何由函數(shù)y＝2sinx的圖象通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)f(x)的圖象,寫出變換過程．74、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤eq\f(π,2))在x∈(0,7π)內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值,且當x＝π時,ymax＝3；當x＝6π,ymin＝－3、(1)求出此函數(shù)的解析式；(2)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)是否存在實數(shù)m,滿足不等式Asin(ωeq\r(－m2＋2m＋3)＋φ)>Asin(ωeq\r(－m2＋4)＋φ)？若存在,求出m的范圍(或值),若不存在,請說明理由．75、已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24,單位：小時)的函數(shù),記作：y＝f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(米)1、51、00、51、01、51、00、50、991、5經(jīng)長期觀測,y＝f(t)的曲線,可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b、(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達式；(2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8∶00時至晚上20∶00時之間,76、求函數(shù)y＝3－4sinx－4cos2x的最大值和最小值,并寫出函數(shù)取最值時對應的x的值．77、角的終邊上的點與關(guān)于軸對稱,角的終邊上的點與關(guān)于直線對稱,求之值．78、求證：79、已知求的范圍。80、一個扇形的周長為,求扇形的半徑,圓心角各取何值時,此扇形的面積最大？81、求的值。82、已知,（1）求的值。（2）求的值。83、如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且＝a,＝b,＝c、(1)與a的模相等的向量有多少個？(2)與a的長度相等,方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請一一列出與a,b,c相等的向量．84、如圖,已知＝＝、求證：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)＝,＝、85、在如圖的方格紙上,已知向量a,每個小正方形的邊長為1、(1)試以B為終點畫一個向量b,使b＝a；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c,使|c|＝eq\r(5),并說出向量c的終點的軌跡是什么？86、如圖所示,△ABC的三邊均不相等,E、F、D分別是AC、AB、BC的中點．(1)寫出與共線的向量；(2)寫出與的模大小相等的向量；(3)寫出與相等的向量．87、如圖所示,在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點F,E,使BE＝DF、求證：四邊形AECF是平行四邊形．88、在水流速度為4eq\r(3)km/h的河中,如果要船以12km/h的實際航速與河岸垂直行駛,求船航行速度的大小和方向．89、一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛,船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實際速度．90、如圖所示,O為△ABC的外心,H為垂心,求證：＝＋＋、91、在平行四邊形ABCD中,＝a,＝b,先用a,b表示向量和,并回答：當a,b分別滿足什么條件時,四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形？92、如圖所示,O是平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點,設＝a,＝b,＝c,求證：b＋c－a＝、93、如圖所示,已知正方形ABCD的邊長等于1,＝a,＝b,＝c,試作出下列向量并分別求出其長度,(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c、94、兩個非零向量a、b不共線．(1)若A＝a＋b,B＝2a＋8b,C＝3(a－b),求證：A、B、D(2)求實數(shù)k使ka＋b與2a＋kb95、如圖所示,在?ABCD中,＝a,＝b,＝3,M為BC的中點,則＝______、(用a,b表示)96、已知a＝(－2,3),b＝(3,1),c＝(10,－4),試用a,b表示c、97、已知平面上三個點坐標為A(3,7),B(4,6),C(1,－2),求點D的坐標,使得這四個點為構(gòu)成平行四邊形的四個頂點．98、已知：、是不共線的向量,當ｋ為何值時,向量＝ｋ+與＝＋ｋ共線？99、當ｋ為何值時,向量＝４+２,＝ｋ＋共線,其中、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量。100、如圖所示,已知△AOB中,點C是以A為中點的點B的對稱點,＝2,DC和OA交于點E,設＝a,＝b、(1)用a和b表示向量、；(2)若＝λ,求實數(shù)λ的值．101、如圖所示,已知△ABC中,D為BC的中點,E,F為BC的三等分點,若＝a,＝b,用a,b表示,,、102、如圖所示,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN＝2NC,AM與BN相交于點P,求證：AP∶PM＝4∶1、103、已知點A（2,2）B（-2,2）C（4,6）D（-5,6）E（-2,-2）F（-5,-6）在平面直角坐標系中,分別作出向量并求向量的坐標。104、平面直角坐標系中,每一人個向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。105、若已知向量,的模,的方向與x軸正向的轉(zhuǎn)角為,由三角函數(shù)的定義可知,106、利用上題公式,若已知A（-2,1）,B（1,3）求線段AB中點的M的坐標107、求證：設線段AB兩端點的坐標分別為,,則其中點M（x,y）的坐標公式是：108、已知求坐標109、如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC與OB的交點P的坐標．110、已知a＝(1,2),b＝(－3,2),當k為何值時,ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？111、已知向量滿足求112、已知|a|＝1,|b|＝1,a,b的夾角為120°,計算向量2a－b在向量a＋b113、設為兩個互相垂直的單位向量,求114、已知|a|＝4,|b|＝3,當(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°時,分別求a與b的數(shù)量積．115、設n和m是兩個單位向量,其夾角是60°,求向量a＝2m＋n與b＝2n－3116、設是兩個垂直的單位向量,且（１）若（２）若的值。117、向量夾角為W/3,的值。118、已知|a|＝|b|＝5,向量a與b的夾角為eq\f(π,3),求|a＋b|,|a－b|、119、已知120、已知a與b同向,b＝(1,2),a·b＝10、(1)求a的坐標；(2)若c＝(2,－1),求a(b·c)及(a·b)c、121、已知三個點A(2,1),B(3,2),D(－1,4),(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標并求矩形ABCD兩對角線所成的銳角的余弦值．122、已知,當k為何值時,（1）垂直？（2）平行嗎？平行時它們是同向還是反向？123、求證：△ABC的三條高線交于一點．124、P是正方形ABCD對角線BD上一點,PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF、125、在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(－4,7),求∠A的平分線的方程．126、已知e1＝(1,0),e2＝(0,1),今有動點P從P0(－1,2)開始,沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運動,速度為e1＋e2；另一動點Q從Q0(－2,－1)開始,沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運動,速度為3e1＋2e2,設P、Q在t＝0s時分別在P0、Q0處,問當⊥時所需的時間t為多少？127、如圖所示,在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受到的拉力為F1、(1)求|F1|,|F2|隨角θ的變化而變化的情況；(2)當|F1|≤2|G|時,求角θ的取值范圍．128、如圖所示,兩根繩子把重1kg的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW＝150°,∠BCW＝120°,求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計,g＝10N/kg)．129、已知兩恒力F1＝(3,4),F2＝(6,－5),作用于同一質(zhì)點,使之由點A(20,15)移動到點B(7,0)．(1)求F1,F2分別對質(zhì)點所做的功；(2)求F1,F2的合力F對質(zhì)點所做的功．130、已知a,b,c在同一平面內(nèi),且a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5),且c∥a,求c；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2),且(a＋2b)⊥(2a－b),求a與b的夾角．131、如圖,ABCD為正方形,P是對角線DB上一點,PECF為矩形,求證：①PA=EF；②PA⊥EF、132、已知在△ABC中,,且△ABC中∠C為直角,求k的值、133、已知向量、、滿足條件＋＋＝0,||＝||＝||＝1、求證：△P1P2P3是正三角形．134、已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點,BE、CF交于點P、求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB、135、在平面直角坐標系xOy中,已知點A(－1,－2),B(2,3),C(－2,－1)．(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0,求t的值．136、已知向量,,,(1)求證：⊥；(2),求的值。137、已知|a|＝2,|b|＝3,a與b的夾角為60°,c＝5a＋3b,d＝3a＋kb,當實數(shù)k(1)c∥d；(2)c⊥d、138、已知、是夾角為60°的兩個單位向量,,[21世紀教育網(wǎng)(1)求;(2)求與的夾角、139、如圖所示,以向量＝a,＝b為邊作?AOBD,又＝eq\f(1,3),＝eq\f(1,3),用a,b表示、、、140、已知a,b的夾角為120°,且|a|＝4,|b|＝2,求：(1)(a－2b)·(a＋b)；(2)|a＋b|；(3)|3a－4b|141、已知a＝(eq\r(3),－1),b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))),且存在實數(shù)k和t,使得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb,且x⊥y,試求eq\f(k＋t2,t)的最小值．142、設＝(2,5),＝(3,1),＝(6,3)．在線段OC上是否存在點M,使MA⊥MB？若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．143、設兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2,|e2|＝1,e1、e2的夾角為60°,若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍．144、已知線段PQ過△OAB的重心G,且P、Q分別在OA、OB上,設＝a,＝b,＝ma,＝nb、求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3、145、已知|a|＝1,a·b＝eq\f(1,2),(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2),求：(1)a與b的夾角；(2)a－b與a＋b的夾角的余弦值．146、已知A(1,－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3),以、為一組基底來表示＋＋、147、已知A（1,0）,B（4,3）,C（2,4）,D（0,2）,試證明四邊形ABCD是梯形。（10分）148、設是兩個不共線的向量,,若A、B、D三點共線,求k的值、149、已知,的夾角為60o,,,當當實數(shù)為何值時,⑴∥⑵150、如圖,矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O,點P是圓周上任意一點,求證：、151、如圖,平面內(nèi)有三個向量、、,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||＝||＝1,||＝2eq\r(3)、若＝λ＋μ(λ,μ∈R),求實數(shù)λ、μ的值．152、設a,b是兩個不共線的非零向量,t∈R、(1)若a與b起點相同,t為何值時a,tb,eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在一直線上？(2)若|a|＝|b|且a與b夾角為60°,那么t為何值時,|a－tb|的值最??？153、在直角△ABC中,＝（2,3）,＝（1,k）,求實數(shù)k的值。（10分）21世紀教育網(wǎng)[來源:21世紀教育網(wǎng)]154、已知非零向量滿足,求證:155、已知α、β、γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))),sinα＋sinγ＝sinβ,cosβ＋cosγ＝cosα,求β－α的值．156、已知cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(1,9),sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(2,3),且eq\f(π,2)<α<π,0<β<eq\f(π,2),求coseq\f(α＋β,2)的值．157、已知cos(α－β)＝－eq\f(4,5),sin(α＋β)＝－eq\f(3,5),eq\f(π,2)<α－β<π,eq\f(3π,2)<α＋β<2π,求β的值．158、已知tanα＝4eq\r(3),cos(α＋β)＝－eq\f(11,14),α、β均為銳角,求cosβ的值．159、已知銳角三角形ABC中,sin(A＋B)＝eq\f(3,5),sin(A－B)＝eq\f(1,5)、(1)求證：tanA＝2tanB；(2)設AB＝3,求AB邊上的高．160、在△ABC中,tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3),且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB,試判斷△ABC的形狀．161、如圖,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊作兩個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為eq\f(\r(2),10),eq\f(2\r(5),5)、求tan(α＋β)的值．162、已知tan(α－β)＝eq\f(1,2),tanβ＝－eq\f(1,7),且α,β∈(0,π),求2α－β的值．163、證明：eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα)、164、已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4),cos(α－β)＝eq\f(12,13),sin(α＋β)＝－eq\f(3,5),求sin2α的值．165、求函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值時x的值．166、求值：tan70°·cos10°·(eq\r(3)tan20°－1)．167、求值：cos20°cos40°cos80°、168、求證：eq\f(3－4cos2A＋cos4A,3＋4cos2A＋cos4A)＝tan4A、169、若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(4,5),eq\f(5π,4)<x<eq\f(7π,4),求eq\f(sin2x－2sin2x,1＋tanx)的值．170、已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．171、已知向量m＝(cosθ,sinθ)和n＝(eq\r(2)－sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5),求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))的值．172、求函數(shù)f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．173、已知函數(shù)（1）當時,求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當且時,的值域是求的值、174、已知△ABC的內(nèi)角B滿足2cos2B－8cosB＋5＝0,若＝a,＝b且a,b滿足：a·b＝－9,|a|＝3,|b|＝5,θ為a,b的夾角．(1)求角B；(2)求sin(B＋θ)．175、若求的取值范圍。176、已知函數(shù)的定義域為,（1）當時,求的單調(diào)區(qū)間；（2）若,且,當為何值時,為偶函數(shù)．177、求值：。178、求值：179、已知函數(shù)（1）求取最大值時相應的的集合；（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸變換可以得到的圖象、180、求值：（1）；（2）。181、已知,求證：182、已知求的值、183、已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間[0,eq\f(π,2)]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5),x0∈[eq\f(π,4),eq\f(π,2)],求cos2x0的值．184、已知函數(shù)f(x)＝2cosxsinx＋2eq\r(3)cos2x－eq\r(3)、(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應的x的值；(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．185、已知0<α<eq\f(π,2)<β<π,taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2),cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10)、(1)求sinα的值；(2)求β的值．186、已知△ABC的內(nèi)角滿足,若,且滿足：,,為的夾角、求。187、已知函數(shù)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x、(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程f(x)－m＝2在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上有解,求實數(shù)m的取值范圍．188、已知向量a＝(3sinα,cosα),b＝(2sinα,5sinα－4cosα),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)),且a⊥b、(1)求tanα的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,3)))的值．189、已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx、(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．190、已知tanα,tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的兩根,且0<α<eq\f(π,2),π<β<eq\f(3π,2)、求：tan(α＋β)及α＋β的值．191、已知向量m＝(－1,cosωx＋eq\r(3)sinωx),n＝(f(x),cosωx),其中ω>0,且m⊥n,又函數(shù)f(x)的圖象任意兩相鄰對稱軸的間距為eq\f(3π,2)、(1)求ω的值；(2)設α是第一象限角,且f(eq\f(3,2)α＋eq\f(π,2))＝eq\f(23,26),求eq\f(sin(α＋\f(π,4)),cos(4π＋2α))的值．192、已知向量a＝(coseq\f(3x,2),sineq\f(3x,2)),b＝(coseq\f(x,2),－sineq\f(x,2)),且x∈[－eq\f(π,3),eq\f(π,4)]．(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|,求f(x)的最大值和最小值．193、求函數(shù)在上的最值、194、已知sin(α＋eq\f(π,2))＝－eq\f(\r(5),5),α∈(0,π)．(1)求eq\f(sin(α－\f(π,2))－cos(\f(3π,2)＋α),sin(π－α)＋cos(3π＋α))的值；(2)求cos(2α－eq\f(3π,4))的值．195、已知函數(shù)(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設,的最小值是,最大值是,求實數(shù)的值．196、已知,為銳角,求、197、已知,求證：198、已知函數(shù)（其中）,求：函數(shù)的最小正周期;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心．199、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋φ)(0<φ<π),其圖象過點(eq\f(π,6),eq\f(1,2))．(1)求φ的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2),縱坐標不變,得到函數(shù)y＝g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[0,eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．200、已知tanα＝－eq\f(1,3),cosβ＝eq\f(\r(5),5),α,β∈(0,π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．201、設函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,6)))－2cos2eq\f(π,8)x＋1、(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱,求當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))時,y＝g(x)的最大值．202、已知求的值。203、已知函數(shù)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π、(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2),縱坐標不變,得到函數(shù)y＝g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,eq\f(π,16)]上的最小值．204、已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2(x＋eq\f(π,4))－cos2x－eq\f(1＋\r(3),2)(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；(2)若A為銳角,且向量m＝(1,5)與向量n＝(1,f(eq\f(π,4)－A))垂直,求cos2A的值．205、已知a＝(sinx,－cosx),b＝(cosx,eq\r(3)cosx),函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2)、(1)求f(x)的最小正周期,并求其圖象對稱中心的坐標；(2)當0≤x≤eq\f(π,2)時,求函數(shù)f(x)的值域．206、已知x∈R,向量＝(acos2x,1),＝(2,eq\r(3)asin2x－a),f(x)＝·,a≠0、(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求當a>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當x∈[0,eq\f(π,2)]時,f(x)的最大值為5,求a的值．207、設函數(shù)f(x)＝a·b,其中向量a＝(2cosx,1),b＝(cosx,eq\r(3)sin2x),x∈R、(1)若函數(shù)f(x)＝1－eq\r(3),且x∈[－eq\f(π,3),eq\f(π,3)],求x；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間,并在給出的坐標系中畫出y＝f(x)在[0,π]上的圖象．208、已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)為偶函數(shù),其圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π、(1)求f(x)的解析式；(2)若α∈(－eq\f(π,3),eq\f(π,2)),f(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,3),求sin(2α＋eq\f(5π,3))的值．209、已知向量a＝(sinθ,1),b＝(1,cosθ),－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2)、(1)若a⊥b,求θ；(2)求|a＋b|的最大值．210、已知a＝(cosωx,sinωx),b＝(2cosωx＋sinωx,cosωx),x∈R,ω>0,記f(x)＝a·b,且該函數(shù)的最小正周期是eq\f(π,4)、(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值,并且求使f(x)取得最大值的x的集合．211、已知函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0,x∈(－∞,＋∞),0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)時取得最大值4、(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f(eq\f(2,3)α＋eq\f(π,12))＝eq\f(12,5),求sinα、212、如圖,以Ox為始邊作角α與β(0<β<α<π),它們終邊分別與單位圓相交于P,Q兩點,已知點P點的坐標為(－eq\f(3,5),eq\f(4,5))．(1)求eq\f(sin2α＋cos2α＋1,1＋tanα)的值；(2)若·＝0,求sin(α＋β)．213、已知向量a＝(sinθ,cosθ－2sinθ),b＝(1,2)．(1)若a∥b,求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π,求θ的值．214、已知0<x<eq\f(π,2),化簡：lg(cosx·tanx＋1－2sin2eq\f(x,2))＋lg[eq\r(2)cos(x－eq\f(π,4))]－lg(1＋sin2x)．215、已知向量a＝(sinx,eq\f(3,2)),b＝(cosx,－1)．(1)當a∥b時,求2cos2x－sin2x的值；(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－eq\f(π,2),0]上的最大值．216、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4cos4x－2cos2x－1,sin(\f(π,4)＋x)sin(\f(π,4)－x))、(1)求f(－eq\f(11,12)π)的值；(2)當x∈[0,eq\f(π,4))時,求g(x)＝eq\f(1,2)f(x)＋sin2x的最大值和最小值．217、已知向量a＝(sinθ,－2)與b＝(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,eq\f(π,2))．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3eq\r(5)cosφ,0<φ<eq\f(π,2),求cosφ的值．218、設向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ)．(1)若a與b－2c垂直,求tan(α＋β)(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16,求證：a∥b、219、已知向量a＝(cosα,sinα),b＝(cosx,sinx),c＝(sinx＋2sinα,cosx＋2cosα),其中0<α<x<π、(1)若α＝eq\f(π,4),求函數(shù)f(x)＝b·c的最小值及相應x的值；(2)若a與b的夾角為eq\f(π,3),且a⊥c,求tan2α的值．220、已知向量a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ),|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)、(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<eq\f(π,2),－eq\f(π,2)<β<0,且sinβ＝－eq\f(5,13),求sinα、以下是答案一、解答題1、解當α為第二象限角時,90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z,∴30°＋eq\f(k,3)·360°<eq\f(α,3)<60°＋eq\f(k,3)·360°,k∈Z、當k＝3n時,30°＋n·360°<eq\f(α,3)<60°＋n·360°,此時eq\f(α,3)為第一象限角；當k＝3n＋1時,150°＋n·360°<eq\f(α,3)<180°＋n·360°,此時eq\f(α,3)為第二象限角；當k＝3n＋2時,270°＋n·360°<eq\f(α,3)<300°＋n·360°,此時eq\f(α,3)為第四象限角．綜上可知eq\f(α,3)是第一、二、四象限角．2、解(1)因為－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與－150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角．(2)因為650°＝360°＋290°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角．(3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范圍內(nèi),與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角．3、解終邊落在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z},終邊落在y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z},于是終邊在y＝eq\r(3)x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°,n∈Z}．4、解設終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}．∴角α的集合應當是集合①與②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°,k∈Z}．5、解設扇形的圓心角為θ,半徑為r,弧長為l,面積為S,則l＋2r＝40,∴l(xiāng)＝40－2r、∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100、∴當半徑r＝10cm時,扇形的面積最大,最大值為100cm2,此時θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2rad、6、解(1)設弧長為l,弓形面積為S弓,∵α＝60°＝eq\f(π,3),R＝10,∴l(xiāng)＝αR＝eq\f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)扇形周長c＝2R＋l＝2R＋αR,∴α＝eq\f(c－2R,R),∴S扇＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)·eq\f(c－2R,R)·R2＝eq\f(1,2)(c－2R)R＝－R2＋eq\f(1,2)cR＝－(R－eq\f(c,4))2＋eq\f(c2,16)、當且僅當R＝eq\f(c,4),即α＝2時,扇形面積最大,且最大面積是eq\f(c2,16)、7、解(1)－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋eq\f(5π,3),∴－1500°與eq\f(5,3)π終邊相同,是第四象限角．(2)eq\f(23,6)π＝2π＋eq\f(11,6)π,∴eq\f(23,6)π與eq\f(11,6)π終邊相同,是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4),∴－4與2π－4終邊相同,是第二象限角．8、證明如圖所示,在直角坐標系中作出單位圓,α的終邊與單位圓交于P,α的正弦線、正切線為有向線段MP,AT,則MP＝sinα,AT＝tanα、因為S△AOP＝eq\f(1,2)OA·MP＝eq\f(1,2)sinα,S扇形AOP＝eq\f(1,2)αOA2＝eq\f(1,2)α,S△AOT＝eq\f(1,2)OA·AT＝eq\f(1,2)tanα,又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,所以eq\f(1,2)sinα<eq\f(1,2)α<eq\f(1,2)tanα,即sinα<α<tanα、9、解(1)圖1作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A、B,連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖1陰影部分),即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3),k∈Z}．(2)圖2作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D,連結(jié)OC、OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖2陰影部分),即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3),k∈Z}．10、解∵θ是第二象限角,∴2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z),故kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．作出eq\f(θ,2)所在范圍如圖所示．當2kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時,coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)、當2kπ＋eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)時,sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)、11、解由題意,自變量x應滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(\r(2),2)，,cosx≤\f(1,2).))則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示,∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))、12、解sinα＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y、當y＝0時,sinα＝0,cosα＝－1,tanα＝0、當y≠0時,由eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3)y,4),解得y＝±eq\f(\r(21),3)、當y＝eq\f(\r(21),3)時,Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(21),3))),r＝eq\f(4\r(3),3)、∴cosα＝－eq\f(3,4),tanα＝－eq\f(\r(7),3)、當y＝－eq\f(\r(21),3)時,P(－eq\r(3),－eq\f(\r(21),3)),r＝eq\f(4\r(3),3),∴cosα＝－eq\f(3,4),tanα＝eq\f(\r(7),3)、13、解(1)原式＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋(－4)×2π))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2×2π))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)、(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0、14、解∵x＝－15a,y＝8∴r＝eq\r((－15a)2＋(8a)2)＝17|a|(a≠0)．(1)若a>0,則r＝17a,sinα＝eq\f(8,17),cosα＝－eq\f(15,17),tanα＝－eq\f(8,15)、(2)若a<0,則r＝－17a,sinα＝－eq\f(8,17),cosα＝eq\f(15,17),tanα＝－eq\f(8,15)、15、證明(1)左邊＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,\f(sin2α,cos2α)－1)＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,\f(sin2α－cos2α,cos2α))＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(cos2α(sinα＋cosα),sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(cos2α,sinα－cosα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinα－cosα)＝sinα＋cosα＝右邊．∴原式成立．(2)∵左邊＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α,右邊＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左邊＝右邊,∴原式成立．16、證明左邊＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f((cos2x－sin2x)2,(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x))＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右邊．∴原等式成立．17、解(1)由韋達定理知：sinθ＋cosθ＝a,sinθ·cosθ＝a、∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ,∴a2＝1＋2a解得：a＝1－eq\r(2)或a＝1＋eq\r(2)∵sinθ≤1,cosθ≤1,∴sinθcosθ≤1,即a≤1,∴a＝1＋eq\r(2)舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝a(1－a)＝eq\r(2)－2、(2)tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,1－\r(2))＝－1－eq\r(2)、18、解原式＝eq\f((1－cos4α)－sin4α,(1－cos6α)－sin6α)＝eq\f((1－cos2α)(1＋cos2α)－sin4α,(1－cos2α)(1＋cos2α＋cos4α)－sin6α)＝eq\f(sin2α(1＋cos2α)－sin4α,sin2α(1＋cos2α＋cos4α)－sin6α)＝eq\f(1＋cos2α－sin2α,1＋cos2α＋cos4α－sin4α)＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α))＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋cos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α,3cos2α)＝eq\f(2,3)、19、分析：思路1,可以由tan=3求出sin、cos的值,代入求解即可；思路2,可以將要求值的表達式利用同角三角函數(shù)關(guān)系,變形為含tan的表達式．解：(1)原式分子分母同除以得,原式=(2)原式的分子分母同除以得：原式=(3) 用“1”原式=20、解原式＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))、當k為奇數(shù)時,設k＝2n＋1(n∈Z),則原式＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n＋1)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n＋1)π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝0；當k為偶數(shù)時,設k＝2n(n∈Z),則原式＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝0、綜上所述,原式＝0、21、解由條件,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，①,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ.②))①2＋②2,得sin2α＋3cos2α＝2,③又因為sin2α＋sin2α＝1,④由③④得sin2α＝eq\f(1,2),即sinα＝±eq\f(\r(2),2),因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))),所以α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4)、當α＝eq\f(π,4)時,代入②得cosβ＝eq\f(\r(3),2),又β∈(0,π),所以β＝eq\f(π,6),代入①可知符合．當α＝－eq\f(π,4)時,代入②得cosβ＝eq\f(\r(3),2),又β∈(0,π),所以β＝eq\f(π,6),代入①可知不符合．綜上所述,存在α＝eq\f(π,4),β＝eq\f(π,6)滿足條件．22、解原式＝eq\f(－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α),－cosα－(－cosα)cosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα(1－cosα),－cosα(1－cosα))＝－tanα、∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3),∴cosα＝eq\f(2,3)、∴α為第一象限角或第四象限角．當α為第一象限角時,cosα＝eq\f(2,3),sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3),∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2),∴原式＝－eq\f(\r(5),2)、當α為第四象限角時,cosα＝eq\f(2,3),sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3),∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2),∴原式＝eq\f(\r(5),2)、綜上,原式＝±eq\f(\r(5),2)、23、證明∵sin(α＋β)＝1,∴α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z),∴α＝2kπ＋eq\f(π,2)－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0,∴原式成立．24、解當k為偶數(shù)時,不妨設k＝2n,n∈Z,則原式＝eq\f(sin[(2n＋1)π＋θ]·cos[(2n＋1)π－θ],sin(2nπ－θ)·cos(2nπ＋θ))＝eq\f(sin(π＋θ)·cos(π－θ),－sinθ·cosθ)＝eq\f(－sinθ·(－cosθ),－sinθ·cosθ)＝－1、當k為奇數(shù)時,設k＝2n＋1,n∈Z,則原式＝eq\f(sin[(2n＋2)π＋θ]·cos[(2n＋2)π－θ],sin[(2n＋1)π－θ]·cos[(2n＋1)π＋θ])＝eq\f(sin[2(n＋1)π＋θ]·cos[2(n＋1)π－θ],sin(π－θ)·cos(π＋θ))＝eq\f(sinθ·cosθ,sinθ·(－cosθ))＝－1、∴上式的值為－1、25、證明左邊＝eq\f(tan(－α)·sin(－α)·cos(－α),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))))＝eq\f((－tanα)·(－sinα)·cosα,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))))＝eq\f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(sin2α,－cosα·sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα＝右邊．∴原等式成立．26、解由條件得sinA＝eq\r(2)sinB,eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB,平方相加得2cos2A＝1,cosA＝±eq\f(\r(2),2),又∵A∈(0,π),∴A＝eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π、當A＝eq\f(3,4)π時,cosB＝－eq\f(\r(3),2)<0,∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)),∴A,B均為鈍角,不合題意,舍去．∴A＝eq\f(π,4),cosB＝eq\f(\r(3),2),∴B＝eq\f(π,6),∴C＝eq\f(7,12)π、27、解sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))＝－cosα,coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sinα、∴sinα·cosα＝eq\f(60,169),即2sinα·cosα＝eq\f(120,169)、 ①又∵sin2α＋cos2α＝1, ②①＋②得(sinα＋cosα)2＝eq\f(289,169),②－①得(sinα－cosα)2＝eq\f(49,169),又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))),∴sinα>cosα>0,即sinα＋cosα>0,sinα－cosα>0,∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13), ③sinα－cosα＝eq\f(7,13), ④③＋④得sinα＝eq\f(12,13),③－④得cosα＝eq\f(5,13)、28、解析：（1）由f(0)=2a=2,得a∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=∴f(x)的最大值是,最小值是、（2）29、解析：（I） （2）當單調(diào)遞減,故所求區(qū)間為 （3）時 30、解析：（1）由圖知A＝300,由得（2）問題等價于即∴正整數(shù)的最小值為314。31、解析：如圖,設此人在岸上跑到A點后下水,在B處追上小船設船速為v,人追上船的時間為t,人在岸上追船的時間為t的k倍（0＜k＜1）,則人在水中游的時間為（1－k）t故｜OA｜＝4kt,｜AB｜＝2（1－k）t,｜OB｜＝vt由余弦定理得：OOAB整理得要使方程在0＜k＜1內(nèi)有