《3.4 實際問題與一元一次方程》課件（5 課時）

3.4實際問題與一元一次方程第1課時產(chǎn)品配套問題和工程問題

問題1：之前我們通過列方程解應用問題的過程中，大致包含哪些步驟？1.審：審題，分析題目中的數(shù)量關(guān)系；2.設：設適當?shù)奈粗獢?shù)，并表示未知量；3.列：根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列方程；4.解：解這個方程；5.答：檢驗并作答.知識回顧

問題2：應用回顧的步驟解決以下問題.

例1某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？創(chuàng)設情境，引入新知列表分析：產(chǎn)品類型生產(chǎn)人數(shù)單人產(chǎn)量總產(chǎn)量螺釘x1200螺母20001200x2000(22－x)人數(shù)和為22人22﹣x螺母總產(chǎn)量是螺釘?shù)?倍自主預習

解：設應安排x名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.

依題意得：2000(22－x)＝2×1200x.

解方程，得：5(22－x)＝6x，

110－5x＝6x，

x＝10.22－x＝12.

答：應安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.自主探究

問題3：以上問題還有其他的解決方法嗎？

例如：解：設應安排x名工人生產(chǎn)螺母，(22－x)名工人生產(chǎn)螺釘.

依題意得：2×1200(22－x)＝2000x.

問題4：應用回顧的步驟解決以下問題.

例2整理一批圖書，由一個人做要40h完成.現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應該先安排多少人工作？列表分析：人均效率人數(shù)時間工作量前一部分工作x4后一部分工作x＋28工作量之和等于總工作量1

解：設安排x人先做4h.

依題意得：解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，

4x＋8x＋16＝40，12x＝24，

x＝2.

答：應先安排2人做4h.歸納：用一元一次方程解決實際問題的基本過程有幾個步驟？分別是什么？實際問題一元一次方程設未知數(shù)，列方程解方程一元一次方程的解（x=a）實際問題的答案檢驗知識梳理

練習1：一套儀器由一個A部件和三個B部件構(gòu)成.用1m3鋼材可以做40個A部件或240個B部件.現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器，應用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，恰好配成這種儀器多少套？

解：設應用xm3鋼材做A部件，(6－x)m3鋼材做B部件.依題意得：3×40x＝240(6－x).

解方程，得：

x＝4.

答：應用4m3鋼材做A部件，2m3鋼材做B部件,配成這種儀器160套.隨堂練習

練習2：一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？

解：設

x多少天可以鋪好這條管線.

依題意得：，解方程，得：

x＝8.

答：兩個工程隊從兩端同時施工，要8天可以鋪好這條管線.1.一件工作，若甲單獨做2小時完成，那么甲單獨做1小時完成全部工作量的

.2.一件工作，若甲單獨做a小時完成，則甲單獨做1小時，完成全部工作量的

,m小時完成全部工作量的

.a小時完成全部工作量的

.探究1：工程問題3．一件工作，若甲單獨做7天完成，乙單獨做5天完成，甲、乙合做一天完成全部工作量的

.甲、乙合作2天完成全部工作量

,甲、乙合作x天完成全部工作量的

.4．工程問題中涉及三個量：工作量、工作效率與工作時間．它們之間存在怎樣的關(guān)系？工作量=工作效率×工作時間甲、乙合做例1

一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成．現(xiàn)在先由甲單獨做4小時，剩下的部分由甲、乙合做，需要幾小時完成？甲解：設甲、乙合做x小時后完成該項工作，依題意可得

解得：x=6答：剩下的部分由甲、乙合做6小時完成該項工作。分析：甲獨做20小時完成該項工作，則甲每小時可做總工作量的1/20，而乙獨做12小時完成該項工作，則乙每小時可做總工作量的1/12。這就是甲、乙兩人的工作效率。等量關(guān)系是：甲效×甲做的時間+甲、乙合做效率×合做時間＝1例2

整理一批圖書,由一個人做要40小時完成.現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時,再增加2人和他們一起做8小時,完成這項工作.假設這些人的工作效率相同,具體應先安排多少人工作?人均效率(一個人做1小時完成的工作量)為

.由x人先做4小時,完成的工作量為

.再增加2人和前一部分人一起做8小時,完成的工作量為

.這項工作分兩段完成,兩段完成的工作量之和為

.分析：例2

整理一批圖書,由一個人做要40小時完成.現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時,再增加2人和他們一起做8小時,完成這項工作.假設這些人的工作效率相同,具體應先安排多少人工作?解：設具體應先安排x人工作，則依題意可得：

解得：x=2答：應先安排2人工作。工作量＝1人效率×人數(shù)×時間

行程問題中的基本關(guān)系量有哪些？它們有什么關(guān)系？=路程時間速度×路程時間速度=÷速度路程時間=÷探究2：行程問題例1

甲、乙兩地相距1500千米，兩輛汽車同時從兩地相向而行，其中吉普車每小時行60千米，是另一輛客車的1.5倍．②若吉普車先開40分鐘，那么客車開出多長時間兩車相遇？①幾小時后兩車相遇？甲乙丙40分鐘相遇分析：若兩車同時出發(fā)，則等量關(guān)系為：吉普車的路程+客車的路程＝1500例1

甲、乙兩地相距1500千米，兩輛汽車同時從兩地相向而行，其中吉普車每小時行60千米，是另一輛客車的1.5倍．①幾小時后兩車相遇？分析：若兩車同時出發(fā)，則等量關(guān)系為：吉普車的路程+客車的路程＝1500解：設兩車x小時后相遇，依題意可得

60x+（60÷1.5）x=1500

解得：x=15答：15小時后兩車相遇。例1

甲、乙兩地相距1500千米，兩輛汽車同時從兩地相向而行，其中吉普車每小時行60千米，是另一輛客車的1.5倍．②若吉普車先開40分鐘，那么客車開出多長時間兩車相遇？①幾小時后兩車相遇？甲乙丙40分鐘相遇分析：若吉普車先出發(fā)40分鐘(即2/3小時)，則等量關(guān)系為：吉普車先行的路程+吉普車后行路程+客車的路程＝1500例1

甲、乙兩地相距1500千米，兩輛汽車同時從兩地相向而行，其中吉普車每小時行60千米，是另一輛客車的1.5倍．②若吉普車先開40分鐘，那么客車開出多長時間兩車相遇？分析：若吉普車先出發(fā)40分鐘(即2/3小時)，則等量關(guān)系為：吉普車先行的路程+吉普車后行路程+客車的路程＝1500解：設客車開出x小時后兩車相遇，依題意可得

60×+60x+（60÷1.5）x=1500

解得：x=14.6答：14.6小時后兩車相遇。32行程問題-——相遇問題關(guān)系式：甲走的路程+乙走的路程＝AB兩地間的距離例2

甲、乙兩名同學練習百米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經(jīng)過幾秒可以追上乙？A起點BC相遇6.5米6.5x米7x米分析：等量關(guān)系：乙先跑的路程+乙后跑的路程＝甲跑的路程例2

甲、乙兩名同學練習百米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經(jīng)過幾秒可以追上乙？解：設甲經(jīng)過x秒后追上乙，則依題意可得

6.5×（x+1）＝7x

解得：x=13答：甲經(jīng)過13秒后追上乙。行程問題-——追及問題關(guān)系式：（快行速度－慢行速度）×追及時間＝相距路程例3

一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時，已知水流速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度．順水航行速度=

水流速度+靜水航行速度．逆水航行速度=靜水航行速度－水流速度．解：設船在靜水中的平均速度為x千米/小時，則船順水的速度為(x+3)千米/小時，而逆水的速度為(x-3)千米/小時。則依題意可得：

2（x+3）=2.5（x-3）解得：x=27答：該船在靜水中的速度為27千米/小時。行程問題-——航行問題例4、A、B兩站間的路程為448千米，一列慢車從Ａ站出發(fā)，每小時行駛60千米，一列快車從Ｂ站出發(fā)，每小時行駛80千米，問：（１）兩車同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)后多少小時相遇？（２）兩車相向而行，慢車先開28分鐘，快車開出后多長時間相遇？（３）兩車同時、同向而行，如果慢車在前，出發(fā)后多長時間快車追上慢車？例4、A、B兩站間的路程為448千米，一列慢車從Ａ站出發(fā)，每小時行駛60千米，一列快車從Ｂ站出發(fā)，每小時行駛80千米，問：（１）兩車同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)后多少小時相遇？分析：此題屬于相遇問題，等量關(guān)系為：慢車路程+快車路程＝相距路程解：設出發(fā)后x小時兩車相遇，則依題意可得：

60x+80x=448解得：x=3.2答：出發(fā)3.2小時后，兩車相遇。例4、A、B兩站間的路程為448千米，一列慢車從Ａ站出發(fā)，每小時行駛60千米，一列快車從Ｂ站出發(fā)，每小時行駛80千米，問：（２）兩車相向而行，慢車先開28分鐘，快車開出后多長時間相遇？分析：此題屬于相遇問題，等量關(guān)系為：慢車先行路程+慢車后行路程+快車路程＝相距路程相遇AB先走28分鐘解：設快車開出x小時后兩車相遇，則依題意可得：

60×+60x+80x=448解得：x=3答：快車開出3小時后，兩車相遇。6028畫圖分析例4、A、B兩站間的路程為448千米，一列慢車從Ａ站出發(fā)，每小時行駛60千米，一列快車從Ｂ站出發(fā)，每小時行駛80千米，問：（３）兩車同時、同向而行，如果慢車在前，出發(fā)后多長時間快車追上慢車？畫圖分析相遇AB快車行駛路程慢車行駛路程相距路程分析：此題屬于追及問題，等量關(guān)系為：相距路程+慢車路程＝快車路程解：出發(fā)x小時后快車追上慢車，則依題意可得：

448+60x＝80x解得：x=22.4答：出發(fā)22.4小時后快車追上慢車。例5、甲騎自行車從A地到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進。已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米。求A、B兩地間的路程。（活頁P102）解法1：設兩地相距x千米，則二人的速度和可表示為千米/小時，或千米/小時，可列方程得

解得：x=108答：A、B兩地的路程相距108千米。2x-364x+362x-364x+36=解法2：設甲、乙兩人的速度和為x千米/小時，則A、B兩地間路程為(2x+36)千米，而10時到12時，兩人的路程和為2×36＝72千米，故可得2x=72

解得：x=36

所以，2x+36=108答：A、B兩地相距108千米。36AB10時10時36AB12時12時1、期中考查，信息技術(shù)課老師限時40分鐘要求每位七年級學生打完一篇文章．已知獨立打完同樣大小文章，小寶需要50分鐘，小貝只需要30分鐘．為了完成任務，小寶打了30分鐘后，請求小貝幫助合作，他能在要求的時間打完嗎?練一練解：設小寶打完30分鐘后，請小貝合作x分鐘后，打完全文，則依題意可得：

501×30+(+)x=1501301解得：x=7.5故小寶總共用了：30+7.5=37.5分鐘<40分鐘。答：小寶能在要求的時間內(nèi)打完。2、運動場的跑道一圈長400m，甲練習騎自行車，平均每分騎350m，乙練習跑步，平均每分跑250m．兩人從同一處同時同向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？解：設經(jīng)過x分鐘首次相遇，則依題意可得

350x-250x=400解得：x=4答：經(jīng)過4分鐘甲、乙相遇。分析：圓形跑道中的規(guī)律：快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝1圈(第1次相遇)

快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝2圈(第2次相遇)

快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝3圈(第3次相遇)……….3、某船從A碼頭順流而下到B碼頭，然后逆流返回C碼頭（C碼頭在AB之間），共行9小時，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流速度是2.5千米/時，A、C兩碼頭相距15千米，求A、B之間的距離．分析：船在順水中的速度為（7.5+2.5）千米/小時，船在逆水中的速度為（7.5-2.5）千米/小時，等量關(guān)系：船從A到B花的時間(順水)+船從B到C的時間(逆水)＝9解：設A、B之間的距離為x千米，則依題意可得：

7.5+2.5x7.5-2.5x-15+=9解得：x=60答：A、B之間的距離為60千米。ABC15千米順水逆水3.4實際問題與一元一次方程第2課時銷售中的盈虧

你能根據(jù)自己的理解說出它的意思嗎？標價、售價、進價、利潤利潤率知識回顧A.盈利B.虧損C.不盈不虧

問題1：你估計盈虧情況是怎樣的？創(chuàng)設情境，引入新知

一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%

，另一件虧損25%

，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?60

問題2：銷售的盈虧決定于什么？

總售價？總成本(兩件衣服的成本之和)120＞總成本120＜總成本120＝總成本（盈利）（虧損）（不虧不盈）自主預習

問題3：兩件衣服的成本各是多少元？

設：盈利25%的衣服進價是x元，依題意得

x＋0.25x＝60

解得

x＝48盈利的一件：

設：虧損25%的衣服進價是y元，依題意得

y－0.25y＝60

解得

y＝80虧損的一件：自主探究兩件衣服總成本：48＋80＝128元；因為120－128＝－8元；所以賣這兩件衣服共虧損了8元.這個結(jié)論與你的猜想一致嗎？

設：這件衣服的進價是x元，則提價后的售價是(1＋25%)x元，促銷后的售價是(1＋25%)x×0.8元，依題意得(1＋25%)x×0.8＝60解得x＝60.練習1：一件服裝先將進價提高25%出售，后進行促銷活動，又按標價的8折出售,此時售價為60元.請問商家是盈是虧，還是不盈不虧？隨堂練習

設：這該電視機的標價是x元，則打折后的售價是0.8x元，依題意得0.8x＝(1＋10%)×2000解得x＝2750答：該電視機的標價為2750元.練習2

一臺電視機進價為2000元，若以8折出售，仍可獲利10%，求該電視機的標價.隨堂練習高于進價50%高于進價100%進價x元y元標價(1＋50%)x(1＋100%)x方程(1＋50%)x＝600(1＋100%)x＝600方程的解x＝400x＝300盈利價400(1＋20%)＝480300(1＋20%)＝360練習3：據(jù)了解個體商店銷售中售價只要高出進價的20%便可盈利，但老板們常以高出進價50%~100%標價，假若你準備買一雙標價為600元的運動鞋，應在什么范圍內(nèi)還價？隨堂練習這節(jié)課我們復習了商品利潤、利潤率、利息等等問題，有以下要求：商品利潤率＝商品利潤商品進價1、熟悉利息、本金、利率、利潤、利潤率、折扣等概念。2、掌握公式：利息=本金×利率×期數(shù)商品利潤=商品售價－商品進價商品售價=商品標價×折扣數(shù)隨堂練習3.4實際問題與一元一次方程第3課時球賽積分表問題隊名比賽場次勝場負場積分前進1410424東方1410424光明149523藍天149523雄鷹147721遠大147721衛(wèi)星1441018鋼鐵1401414某次籃球聯(lián)賽的積分榜創(chuàng)設情境，引入新知問題1：你能從表格中了解到哪些信息？

問題2：你能從表格中看出負一場積多少分嗎？

問題3：你能進一步算出勝一場積多少分嗎？

設：勝一場積x

分，依題意,得10x＋1×4＝24解得：

x＝2所以，勝一場積2分.自主預習問題4：用式子表示總積分與勝、負場數(shù)之間的關(guān)系.若一個隊勝m場，則負(14–

m)場，總積分為：

2m+(14–m)=m+14即勝m場的總積分為

m+14分問題5：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？

設一個隊勝x場，則負(14－x)場，依題意得：

2x＝14－x解得：x＝想一想，x表示什么量？它可以是分數(shù)嗎？由此你能得出什么結(jié)論？2000賽季籃球甲A聯(lián)賽部分球隊積分榜：

(1)列式表示積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；(2)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎?隊名比賽場次勝場負場積分八一雙鹿2218440北京首鋼2214836浙江萬馬2271529沈部雄獅2202222隨堂練習

答案：觀察積分榜,從最下面一行可看出,負一場積1分.

設勝一場積x分的話,從表中其他任何一行可以列方程,求出x的值.例如,從第一行得出方程:18x＋1×4＝40．由此得出

x＝2.

用表中其他行可以驗證,得出結(jié)論:負一場積1分,勝一場積2分.

(1)如果一個隊勝m場,則負(22－m)場,勝場積分為2m,負場積分為22－m,總積分為

2m＋(22－m)＝m＋22.

（2）設一個隊勝了x場，則負了(22－x)場,如果這個隊的勝場總積分等于負場總積分,則有方程

其中，x(勝場)的值必須是整數(shù),所以不符合實際.由此可以判定沒有哪個隊伍的勝場總積分等于負場總積分.

回顧本課的學習過程，回答以下問題：1.你能讀懂球賽積分表嗎？

2.如何通過積分表了解球賽的積分規(guī)則？

3.借助方程解決實際問題，為什么要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義？知識梳理3.4實際問題與一元一次方程第4課時電話計費問題現(xiàn)在手機非常普及，你有手機嗎？你的手機是如何收費的？你家里有幾臺手機？你知道手機的收費標準嗎？創(chuàng)設情境，引入新知認真閱讀課本第104頁至第105頁的內(nèi)容，完成下面練習，并體驗知識點的形成過程.探究3下表中有兩種移動電話計費方式.月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費（元/min）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費研讀課文

（1）設一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）.根據(jù)上表，列表說明：當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費.

（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？

考慮下列問題研讀課文分析：(1)由上表可知，計費與主叫

相關(guān)，計費時首先要看主叫是否限定時間.因此，考慮

的取值時，兩個主叫限定時間150min和350min是不同時間范圍的劃分點.

(2)觀察(1)中的表，可以發(fā)現(xiàn)：主叫時間超出限定時間越長，計費越多.隨著主叫時間的變化，可以選擇省錢的計費方式.時間研讀課文當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，方式一和方式二的計費如下表：主叫時間t/min方式一計費/元方式二計費/元t小于1505888t=1505888t大于150且小于35058+0.25（-150）88t=35088t大于35058+0.25（350-150）=10858+0.25(t-150)88+0.19（t-350）研讀課文①當t小于或等于150時，按方式一的計費少.②當t從150增加到350時，按方式一的計費由58元增加到

元，而方式二的計費一直是88元.試想：當t大于150并且小于350時，可能在某主叫時間按方式一和方式二的計費相等.列方程得：________________解得：________________________因此，當

=270min時，兩種方式的計費______.10858+0.25(t-150)=88t=270相等研讀課文當150min<t<270min時，方式____計費少.當270min<t<350min時，方式____計費少.③當t=350時，方式____計費少.④當t大于350時，方式____計費少.綜合上述分析，可以發(fā)現(xiàn)：當

時，選擇方式一省錢；當

時，選擇方式二省錢.一二二二t<270t＞270歸納：在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常遇到一些問題，如通話方式.為了達到最佳的經(jīng)濟效益，我們要用數(shù)學的眼光透視世界，用數(shù)學的思想思考問題.研讀課文1、下表是某校七至九年級某月課外興趣小組活動時間統(tǒng)計表，期中各年級同一興趣小組每次活動時間相同.課外小組活動總時間/h文藝小組活動次數(shù)科技小組活動次數(shù)七年級12.543八年級10.533九年級7請將九年級課外興趣小組活動次數(shù)填入上表22練一練2、用A4紙在某謄印社復印文件，復印頁數(shù)不超過20時，每頁收費0.12元；復印頁數(shù)超過20時，超過部分每頁收費降為0.09元.在某圖書館復印同樣的文件，不論復印多少頁，每頁收費0.1元，復印張數(shù)為多少時，兩處的收費相同？解：設復印y張的時候兩處的收費相同20×0.12+0.09（y—20）=0.1×y解得：y=60答：復印張數(shù)為60時，兩處的收費相同練一練請回顧電話計費問題的探究過程，并回答以下問題：（1）電話計費問題的核心問題是什么？（2）探究解題的過程大致包含哪幾個步驟？（3）我們在探究過程中用到了哪些方法，你有哪些收獲？知識梳理綜合應用商品利潤＝商品進價×利潤率商品售價=商品進價×（1＋利潤率）商品售價＝標價×折扣數(shù)10商品利潤=商品售價—商品進價銷售中的盈虧

例1：某商店將某涼鞋按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）優(yōu)惠賣出，此時每雙可獲利15元，這種涼鞋每雙的成本是多少元？分析：設這種涼鞋每雙的成本是x元．則按成本價提高40%后的價格是：這種涼鞋的售出價是：每雙鞋所得的利潤＝售出價－成本價．（1＋0.4）x0.8×（1＋0.4）x解：設這種涼鞋每雙的成本是x元．列方程0.8×（1＋0.4）x＝15解，得x＝128答：這種涼鞋每雙的成本是128元．

例2：某商店某種電器的進價是2000元，售價是3000元，由于銷售情況不好，商店決定降價出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店最多可打幾折出售此電器？商品利潤＝商品進價×利潤率商品售價=商品進價×（1＋利潤率）商品售價＝標價×折扣數(shù)10答:商店最多可以打7折出售此商品．解:設商店最多可以打x折出售此商品,根據(jù)題意得:解，得x＝7

例3：某文具店有兩個進價不同的計算器都賣45元，其中一個盈利20%，另一個虧本10%．這次交易中的盈虧情況？解：設盈利50%的那個計算器進價為x元，它的利潤是0.5x元，則

x+0.5x＝45x=30

設虧本10%的那個計算器進價為y元，它的利潤是－0.1y元，則

y–0.1y=45y=50

所以兩個計算器進價為:30＋50＝80（元），而售價為：45＋45＝90元，進價大于售價，因此兩個計算器總的盈利情況為:虧損90－80＝10（元）．

當利潤值為正數(shù)時是盈利,此時利潤率的值為正；當利潤值是負數(shù)時是虧損，此時利潤率的值是負．歸納1．填空：（1）某商品原來每件的零售價是50元，現(xiàn)每件降價10%，降價后每件零售價是_______元．（2）某品牌電視漲價10%后，每臺售價為3850元，則該品牌電視每臺原價為________元．（3）某商品按標價的7折銷售，實際售價為21.7元，則此商品的標價為_________元．45350030練一練

解：設盈利20%的那臺鋼琴進價為x元，它的利潤是0.2x元，則

x+0.2x=960得x=800

設虧損20%的那臺鋼琴進價為y元，它的利潤是－0.2y元，則

y＋(－0.2y)=960得y=1200

所以兩臺鋼琴進價為2000元，而售價1920元，進價大于售價，因此兩臺鋼琴總的盈利情況為虧本80元．

2．隨州某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元．其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%．這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？解：設在2005年漲價前的價格為x元．（1+0.3）×（1－0.7）x=a

解得

x=

3．我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2005年漲價30%后，2007降價70%至a元，則這種藥品在2005年漲價前價格為多少元．答：在2005年漲價前的價格為元．蘇步青

蘇步青，數(shù)學家．1902年9月23日出生于浙江平陽．1931年獲日本東京大學理學博士學位．1931—1952年任浙江大學數(shù)學系教授，系主任，教務長．復旦大學教授、校長、名譽校長．1955年選聘為中國科學院士．

例4：當代數(shù)學家蘇步青教授在法國遇到一個很有名氣的數(shù)學家，這位數(shù)學家在電車里給蘇教授出了幾個題目：問題1：“有A，B兩地相距50km．甲在A地、乙在B地，兩人同時出發(fā)，相對而行，甲每小時走3km，乙每小時走2km，那么他倆幾小時可以碰到呢？”蘇教授一下子便回答了，你能回答出上述問題嗎？

分析：設甲、乙相遇他們的時間為x．此時相等關(guān)系：甲行走的路程+乙行走的路程＝50km．即甲行走的速度×甲行走的時間x+乙行走的速度×乙行走的時間=50km．則可得方程：______________．，

3km/h2km/h解：設他倆x小時后相遇，列方程

解，得

x＝10答：他倆10小時后能相遇．

接著法國數(shù)學家又說“一只小狗每小時跑5km，它同甲一起出發(fā)，碰到乙時它就返身往甲這邊跑，碰到甲時它就返身往乙這邊跑，問小狗在甲、乙相遇時一共跑了多少千米？3km/h2km/h

所以小狗所跑的路程為：

5×10＝50（千米）答：小狗在甲、乙相遇時，一共跑了50千米．

分析：小狗走的路程＝小狗走的速度×小狗走的時間．因為小狗往返跑直到甲、乙相遇時才停下來，故小狗跑的時間就是甲、乙相遇前走的時間．

例5：甲乙兩站的路程為450千米，一列慢車從甲站開出，每小時行駛65千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛85千米．求:（1）兩車同時開出，相向而行，多少小時相遇？（2）快車先開30分鐘，兩車相向而行，慢車行駛了多少小時兩車相遇？總路程＝慢車的路程＋快車的路程

解：（1）設兩車同時開出，相向而行，x小時后相遇.

根據(jù)題意，得65x＋85x＝450

解，得x＝3

答：兩車同時開出，相向而行，３小時后相遇.

（2）快車先開30分鐘，兩車相向而行，慢車行駛了x小時兩車相遇.30分鐘＝0.5小時根據(jù)題意，得65（x＋0.5）＋85x＝450

解，得

x＝答：快車先開30分鐘，兩車相向而行，慢車行駛了小時兩車相遇.

例6：A、B兩地相距230千米，甲隊從A地出發(fā)兩小時后，乙隊從B地出發(fā)與甲相向而行，乙隊出發(fā)20小時后相遇，已知乙的速度比甲的速度每小時快1千米，求甲、乙的速度各是多少？甲走總路程+乙走路程=230230千米甲隊乙隊

ＡＢ解：設甲的速度為x千米/時，則乙的速度為（x+1）千米/時，根據(jù)題意，得

答：甲、乙的速度各是5千米/時、6千米/時．2x+20x+20(x+1)=2302x+20x+20x+20=23042x=210x=5所以乙的速度為x+1=5+1=6（千米/時）

例7：從甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十時，一艘輪船從甲地駛往乙地，下午1時一輛汽車從甲地駛往乙地，結(jié)果同時到達終點．已知輪船的速度是每小時24千米，汽車的速度是每小時40千米，求甲、乙兩地水路、公路的長，以及汽車和輪船行駛的時間？解：設水路長為x千米，則公路長為（x+40）千米，列方程答：水路長240千米，公路長為280千米，汽車行駛時間為7小時，輪船行駛時間為10小時．公路長：x+40=280（千米）；解，得x=240還有其他的解法嗎？40x－24（x+3）=40解，得x＝7

所以輪船的行駛時間為：7+3=10（小時）公路長：40×7=280（千米）水路長：24×10=240（千米）答：汽車行駛時間為7小時，船行時間為10小時，公路長為280千米，水路長240千米．

解：設汽車行駛時間為x小時，則輪船行駛時間為（x+3）小時．列方程得

1．兩地相距28千米，甲以15千米/小時的速度，乙以30千米/小時的速度，分別騎自行車和開汽車從同一地前往另一地，甲先出發(fā)1小時，乙?guī)仔r后才能追上甲？練一練28千米甲（15千米/小時）乙（30千米/小時）15×1解：設乙開車x小時后才能追上甲，列方程

30x=15（x+1）解，得

x=1

因為兩地相距28公里，所以在兩地之間，乙亮追不上甲.則甲共走了2小時，共走了2×15=30公里答：在兩地之間，乙追不上甲．

2．甲、乙兩人環(huán)繞周長是400米的跑道散步，如果兩人從同一地點背道而行，那么經(jīng)過2分鐘他們兩人就要相遇．如果2人從同一地點同向而行，那么經(jīng)過20分鐘兩人相遇．如果甲的速度比乙的速度快，求兩人散步的速度？答：甲速為每分鐘110米，乙速為每分鐘90米．

解：設甲的速度為每分鐘x米，則乙的速度為每分鐘米．甲20分鐘走了20x米，乙20分鐘走了米.解，得：x=110答：小王能在指定時間內(nèi)完成任務．

解：設小王追上連隊需要x小時，則小王行駛的路程為14x千米，連隊所行路程是千米解，得：4．一列客車和一列貨車在平行的軌道上同向行駛，客車的長是200米，貨車的長是280米，客車的速度與貨車的速度比是5:3，客車趕上貨車的交叉時間是1分鐘，求各車的速度；若兩車相向行駛，它們的交叉時間是多少分鐘？

3．某連隊從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務，行軍速度是6千米/小時，18分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必須在一刻鐘內(nèi)把命令傳達到該連隊，小王騎自行車以14千米/小時的速度沿同一路線追趕連隊，問是否能在規(guī)定時間內(nèi)完成任務？依題意得：5x–3x=280+200x=2405x=1200，3x=720設兩車相向行駛的交叉時間為y分鐘．依題意得：1200y+720y=280+200y=0.25解：設客車的速度是5x米/分，則貨車的速度是3x米/分．

行程問題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問題，其基本關(guān)系是：路程=時間×速度相遇問題的等量關(guān)系：甲行距離+乙行距離=總路程

追擊問題的等量關(guān)系：（1）同時不同地：慢者行的距離+兩者之間的距離=快者行的距離（2）同地不同時：甲行距離=乙行距離或慢者所用時間=快者所用時間+多用時間歸納

例8：某家電城為促銷A牌洗衣機，2019年“五·一”期間，購買該洗衣機可分兩期付款，在購買時先付一筆款，余下部分及它的利息（年利率為6%），在2020年“五·一”付清．該洗衣機每臺售價3688元．若兩次付款金額相同，問每次應付多少錢？（精確到個位）．分析：設每次應付x元．第一次付完x元后，還剩下（3688－x）元．這部分錢加上它的利息到第二年應付(3688－x)(1＋6%)．解：設第一次應付x元，可列方程x＝(3688－x)(1＋6%)．解，得x≈1898答：每次應付1898元．

例9：某企業(yè)向銀行貸款，商定歸還期為兩年，年利率為6%（不計復利），該企業(yè)立即用這筆貸款購買一批貨物，以高于本金37%的價格出售，兩年內(nèi)售完，用所得收入還清代款本利后，還余5萬元．這筆貸款是多少元？分析：假設這筆貸款為x萬元．兩年后的本利共：x(1＋2×6%)萬元；所得收入為：x(1＋37%)萬元；所得收入－兩年后的本利＝5萬元．解：設這筆貸款為x萬元．列方程x(1＋37%)－x(1＋2×6%)＝5解，得x＝20答：這筆貸款是20萬元．1．如果存款利息為:存期1年2年3年年利率2.25%2.48%2.70%小李有20000元，想存入銀行3年．（1）可以有多少種不同方法存這些錢？（2）哪種存法更合算？練一練

提示：（1）方法一：存滿一年后本息和再存滿1年后本息和再存1年；方法二:存滿1年后本息和再存2年；方