2024年中考數(shù)學必考考點總結(jié)題型專訓專題09四邊形綜合篇（原卷版+解析）

專題08四邊形綜合知識回顧知識回顧平行四邊形的性質(zhì)：①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等。②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補。③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合。⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。平行四邊形的判定：①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。∵AB∥DC，AB=DC，∴四邊行ABCD是平行四邊形②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。符號語言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四邊行ABCD是平行四邊形．③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形?！摺螦BC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四邊行ABCD是平行四邊形④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形。∵OA=OC，OB=OD，∴四邊行ABCD是平行四邊形矩形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②矩形的四個角都是直角。③矩形的對角線相等。④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的對稱。⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。矩形的判定：（1）直接判定：有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。（2）利用平行四邊形判定：①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②菱形的四條邊都相等。③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。菱形的判定：（1）直接判定：四條邊都相等的四邊形是菱形。幾何語言：∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形（2）利用平行四邊形判定：①定義：一組領邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。正方形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形。正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點的直線也是對稱軸。正方形的判定：（1）利用平行四邊形判定：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）（2）利用菱形與矩形判定：①有一個角是直角的菱形是正方形。②對角線相等的菱形是正方形。③鄰邊相等的矩形是正方形。④對角線相互垂直的矩形是正方形。中點四邊形的判定：①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。（菱形的中點四邊形是矩形）③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。（矩形的中點四邊形是菱形）④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。（正方形的中點四邊形是正方形）專題練習專題練習1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．2．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．3．如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．4．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，BF平分∠DBC，交CD于點F．（1）請用尺規(guī)作∠ADB的角平分線DE，交AB于點E（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)圖形猜想四邊形DEBF為平行四邊形．請將下面的證明過程補充完整．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．∴∠EDB＝∠DBF．∴DE∥．（）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴BE∥DF．∴四邊形DEBF為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．8．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．9．小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，＝m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）問題解決：如圖①，當∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則＝；（2）問題探究：如圖②，當∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；（3）拓展延伸：當∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連接AE，CF，已知①（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD＝30°；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解答，按第一個解答計分）11．下面圖片是八年級教科書中的一道題．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．設＝k，當k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．12．已知△ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒旤cP在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點，連接PG、PC．（1）如圖1，當點G在BC邊上時，寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長交射線BN于點F．（1）如圖1，當α＝90°時，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，過點E作EP⊥BN，垂足為P，請直接寫出PD的長（用含有m的式子表示）．15．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且∠EAF＝45°．（1）當BE＝DF時，求證：AE＝AF；（2）猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）連接AC，G是CB延長線上一點，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．專題08四邊形綜合知識回顧知識回顧平行四邊形的性質(zhì)：①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等。②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補。③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合。⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。平行四邊形的判定：①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形?！逜B∥DC，AB=DC，∴四邊行ABCD是平行四邊形②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。符號語言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四邊行ABCD是平行四邊形．③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形?！摺螦BC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四邊行ABCD是平行四邊形④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形?！逴A=OC，OB=OD，∴四邊行ABCD是平行四邊形矩形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②矩形的四個角都是直角。③矩形的對角線相等。④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的對稱。⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。矩形的判定：（1）直接判定：有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。（2）利用平行四邊形判定：①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②菱形的四條邊都相等。③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。菱形的判定：（1）直接判定：四條邊都相等的四邊形是菱形。幾何語言：∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形（2）利用平行四邊形判定：①定義：一組領邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。正方形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形。正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點的直線也是對稱軸。正方形的判定：（1）利用平行四邊形判定：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）（2）利用菱形與矩形判定：①有一個角是直角的菱形是正方形。②對角線相等的菱形是正方形。③鄰邊相等的矩形是正方形。④對角線相互垂直的矩形是正方形。中點四邊形的判定：①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。（菱形的中點四邊形是矩形）③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。（矩形的中點四邊形是菱形）④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。（正方形的中點四邊形是正方形）專題練習專題練習1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，再證AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠DEO，∵點O是邊AD的中點，∴AO＝DO，在△ABO和△DEO中，，∴△ABO≌△DEO（AAS），∴OB＝OE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：四邊形ABDE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵BD＝CD，∴AB＝BD，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴平行四邊形ABDE是菱形．2．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理證明△ABE≌△CDF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定定理證明AE∥CF，再根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．3．如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF，從而利用SSS證明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠DFE，從而可得AB∥DF，即可解答；（2）連接AD交BF于點O，利用平行四邊形的性質(zhì)可得OB＝OF，從而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥EC，然后證明四邊形ABDF是菱形，即可解答．【解答】證明：（1）∵EB＝CF，∴EB+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）連接AD交BF于點O，∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB﹣BE＝OF﹣CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四邊形ABDF是菱形，∴AB＝BD．4．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，BF平分∠DBC，交CD于點F．（1）請用尺規(guī)作∠ADB的角平分線DE，交AB于點E（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)圖形猜想四邊形DEBF為平行四邊形．請將下面的證明過程補充完整．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．∴∠EDB＝∠DBF．∴DE∥．（）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴BE∥DF．∴四邊形DEBF為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)作已知角的角平分線步驟作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定分別填空即可．【解答】解：（1）作圖如下：DE即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠DBC．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．∴∠EDB＝∠DBF．∴DE∥BF．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴BE∥DF．∴四邊形DEBF為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．故答案為：DBC，BF，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【分析】（1）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形AECD是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AD＝CD，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求AE＝BE＝CE＝2，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求BC，AC的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵E為AB中點，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中點的定義可得AE＝DE，從而證明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AF＝CD，再根據(jù)D是BC的中點，可得AF＝BD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得BD＝AD，從而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，再根據(jù)點D是BC的中點，可得△ABC的面積＝2△ABD的面積，進而可得菱形ADBF的面積＝△ABC的面積，然后利用三角形的面積進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，∵點D是BC的中點，∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，∴AB?AC＝40，∴×8?AC＝40，∴AC＝10，∴AC的長為10．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得∠BAE＝∠FDE，而點E是AD的中點，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，從而四邊形ABDF是平行四邊形，又∠BDF＝90°，即得四邊形ABDF是矩形；（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF?AF＝12，四邊形ABCD是平行四邊形，得CD＝AB＝3，從而S△BCD＝BD?CD＝6，即可得四邊形ABCF的面積S為18．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵∠BDF＝90°．∴四邊形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四邊形ABCF的面積S為18．8．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形EFGH是矩形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴FG＝BF＝tcm，∴EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）△BFC與△DCE能夠全等，理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°，∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，在Rt△CDH中，cos∠CDH＝，∴DH＝2×＝3，∵BF＝2tcm，∴EH＝tcm，∴DE＝（3﹣t）cm，∴當BF＝DE時，△BFC≌△DEC，∴2t＝3﹣t，∴t＝1．9．小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，＝m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）問題解決：如圖①，當∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則＝；（2）問題探究：如圖②，當∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；（3）拓展延伸：當∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得∠AEB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)點M在AD邊上，當AD＝AM時，m取得最小值，從而求解；（3）連接FM，設AN＝a，然后結(jié)合勾股定理分析求解．【解答】解：（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等邊三角形，∴AB＝AM＝BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ABN＝∠BAM＝60°，∵AN為BC邊上的高，∴＝＝，故答案為：；（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴∠MBC＝∠AMB＝45°，∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°，∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+45°）＝112.5°，∵AD∥NC，∴∠BAE＝∠ABN＝45°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，∵＝m，△AMB是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則AN＝AM，∵點M在AD邊上，∴當AD＝AM時，m取得最小值，最小值為＝2，（3）如圖，連接FM，延長EF交NC于點G，∵∠BAD＝30°，則∠ABN＝30°，設AN＝a，則AB＝2a，NB＝a，∵EF⊥AD，∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+90°）＝135°，∵∠EAB＝∠BAD＝30°，∴∠ABE＝15°，∴∠ABF＝30°，∵AB＝BM，∠BAD＝30°，∴∠ABM＝120°，∵∠MBC＝∠AMB＝30°，∴∠FBM＝90°，在Rt△FBM中，F(xiàn)B＝AB＝BM，∴FM＝FB＝2a，∴EG⊥GB，∵∠EBG＝∠ABE+∠ABN＝45°，∴GB＝EG＝a，∵NB＝a，∴AE＝EF＝MD＝（﹣1）a，在Rt△EFM中，EM＝＝（+1）a，∴AD＝AE+EM+MD＝2AE+EM＝（3﹣1）a，同理，當點F落在BC下方時，AD＝（3+1）a∴m＝＝3±1．10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連接AE，CF，已知①（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD＝30°；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解答，按第一個解答計分）【分析】（1）由等式的性質(zhì)得BF＝DE，由平行線的性質(zhì)得∠ABF＝∠CDE，從而利用AAS證明△ABF≌△CDE；（2）若選擇①，由（1）可說明AF∥CE，則四邊形AECF是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AE＝，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AF＝，則AE＝AF，從而?AECF是菱形；若選擇②連接AC交BD于點O，同理可得四邊形AECF是平行四邊形，利用等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即EF⊥AC，從而證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BE＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，∴BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：若選擇條件①：四邊形AECF是菱形，理由如下：由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠BAF＝90°，BE＝EF，∴AE＝，∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，∴AF＝，∴AE＝AF，∴?AECF是菱形；若選擇條件②：四邊形AECF是菱形，理由如下：連接AC交BD于點O，由①得：△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴?AECF是菱形．故答案為：①（答案不唯一）．11．下面圖片是八年級教科書中的一道題．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．設＝k，當k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)點E為BC的中點，可得答案；（2）取AG＝EC，連接EG，首先說明△BGE是等腰直角三角形，再證明△GAE≌△CEF，可得答案；（3）設BC＝x，則BE＝kx，則GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示EP的長，利用平行四邊形的判定可得只要EP＝FC，即可解決問題．【解答】（1）解：∵點E為BC的中點，∴BE＝CE，∵點G為AB的中點，∴BG＝AG，∴AG＝CE，故答案為：AG＝CE；（2）證明：取AG＝EC，連接EG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△GAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF；（3）解：k＝時，四邊形PECF是平行四邊形，如圖，由（2）知，△GAE≌△CEF，∴CF＝EG，設BC＝x，則BE＝kx，∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC＝45°，∴∠PEC+∠ECF＝180°，∴PE∥CF，∴PE＝（1﹣k）x，當PE＝CF時，四邊形PECF是平行四邊形，∴（1﹣k）x＝kx，解得k＝．12．已知△ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒旤cP在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理和軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；（2）連接PB，過點P分別作PE∥CB交AB于點E，PF⊥AB于點F，根據(jù)全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：連接BD，等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，∵點B、D關(guān)于直線AC對稱，∴DC＝BC，AD＝AB，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：當點P在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：∵將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處，∴PQ＝PD，等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，連接PB，過點P分別作PE∥CB交AB于點E，PF⊥AB于點F，如圖則∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴AP＝EP＝AE，而PF⊥AB，∴∠APF＝∠EPF，∵點B，D關(guān)于直線AC對稱，點P在線段AC上，∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，∴PQ＝PB，∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，∴∠PDA＝∠PQB∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；（3）解：在滿足（2）的條件下，線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系是AQ＝CP，證明如下：∵AC＝AB，AP＝AE，∴AC﹣AP＝AB﹣AE，即CP＝BE，∵AP＝EP，PF⊥AB，∴AF＝FE，∵PQ＝PB，PF⊥AB，∴QF＝BF，∴QF﹣AF＝BF﹣EF，即AQ＝BE，∴AQ＝CP．13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點，連接PG、PC．（1）如圖1，當點G在BC邊上時，寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．【分析】（1）延長GP交DC于點E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，得到CE＝CG，CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，利用正切函數(shù)即可求解；（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明△PED≌△PGF，再證明△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解；（3）延長GP到H，使PH＝PG，連接CH，CG，DH，作EF∥DC，先證△GFP≌△HDP，再證△HDC≌△GBC，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解．【解答】解：（1）PG＝PC；如圖1，延長GP交DC于點E，∵P是DF的中點，∴PD＝PF，∵△BGF是正三角形，∴∠BGF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠BGF＝∠ABC，∴AB∥GF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴CD∥GF，∴∠CDP＝∠PFG，在△PED和△PGF中，，∴△PED≌△PGF（ASA），∴PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是正三角形，∴FG＝BG，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的垂直平分線，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC；（2）猜想：PG＝PC，證明如下：如圖2，延長GP交DA于點E，連接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF是等邊三角形，∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△PED和△PGF中，，∴△PED≌△PGF（ASA），∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，在△CDE和△CBG中，，∴△CDE≌△CBG（SAS），∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°，∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC；（3）猜想：PG＝PC，如圖3，延長GP到H，使PH＝PG，連接CH，CG，DH，過點F作EF∥DC，∵P是線段DF的中點，∴FP＝DP，∴∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，點A，B，G，在同一直線上，∴∠GBC＝120°，∵四邊形BEFG是菱形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC（SAS），∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°，∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC．14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長交射線BN于點F．（1）如圖1，當α＝90°時，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，過點E作EP⊥BN，垂足為P，請直接寫出PD的長（用含有m的式子表示）．【分析】（1）連接AF，先根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再證明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出結(jié)論；（2）連接AF，先說明∠EAC＝∠BAD，然后根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再證明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)α＝60°，AB＝AC，得出△ABC為等邊三角形，再按照∠BAD的大小分三種情況進行討論，得出結(jié)果即可．【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：連接AF，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ABF與Rt△ACF中，，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），∴BF＝CF，故答案為：BF＝CF；（2）成