2.2等差數(shù)列的前n項和8種常見考法歸類

2.2等差數(shù)列的前n項和8種常見考法歸類課程標準學習目標1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．2．能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程．(邏輯推理、數(shù)學運算)2．掌握有關(guān)a1，an，d，n，Sn的基本運算．(數(shù)學運算)3．能利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式解決最值問題、實際問題等．(數(shù)學建模、數(shù)學運算)知識點01等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數(shù)列的前n和公式的推導對于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項和Sn？設(shè)其首項為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過程實際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項的和相等．我們不妨將上面的推導方法稱為倒序相加求和法.今后，某些數(shù)列求和常常會用到這種方法．(2)公式的結(jié)構(gòu)①Sn＝na②Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?(3)等差數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當d≠0時，Sn關(guān)于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點．且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.【即學即練1】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．(1)已知，，求；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【解析】(1)等差數(shù)列中，，，，解得，．．(2)等差數(shù)列中，，，，即得，解得．(3)等差數(shù)列中，，，，解得，，．(4)等差數(shù)列中，，，，，成等差數(shù)列，，即，解得．【即學即練2】設(shè)是等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以，故答案為：2知識點02等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項)；②.等差數(shù)列中，,則,.注：在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數(shù)列，且前項和分別為與，則.（5）若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；【即學即練3】在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前項和（

）A．15 B．20 C．30 D．35【解析】.故選：D【即學即練4】在前n項和為的等差數(shù)列中，，，則______．【解析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，故.故答案為：27【即學即練5】等差數(shù)列中，，前項和為，若，則______.【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：【即學即練6】已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，記，分別為，的前n項和，且，則=（

）A． B． C． D．【解析】由，.故選：D知識點03等差數(shù)列的前n項和的最值(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值．在等差數(shù)列{an}中，當，時，有最大值(即所有非負項之和)；，時，有最小值(即所有非正項之和)；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數(shù)使得取最大值，當，時，滿足的項數(shù)使得取最小值.(2)利用等差數(shù)列的前n項和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數(shù),))，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值,通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)等，將等差數(shù)列的前n項和最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解.注：當a1>0，d>0時Sn有最小值S1，當a1<0，d<0時Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一．【即學即練7】在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為______．【解析】由題意，=21，解得，，屬于二次函數(shù)，對稱軸為，故當n=5或6時取得最大值，，，的最大值為66；故答案為：66.【即學即練8】【多選】已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以，，故等差數(shù)列首項為負，公差為正，所以，，故A正確，B錯誤；由，可知，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確．故選：AD【即學即練9】已知等差數(shù)列的前n項和為．若，且，則滿足的最大正整數(shù)的n的值為________．【解析】因為，所以，因為，且，所以，，故要使，則需．故答案為：33.題型一：等差數(shù)列前n項和的基本運算例1．（2024上·寧夏固原·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和公式將題干條件中的等式轉(zhuǎn)化成基本量和，然后聯(lián)立方程組解出和，最后根據(jù)公式求解即可.【詳解】為等差數(shù)列，，，，解得..故選：A.變式1．（2024上·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，，其前項和為，若，則.【答案】100【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，進而得，故，進而得，再計算即可.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又，解得：，又∵，∴，即∴故答案為：.變式2．（2024上·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為，且，則.【答案】4【分析】先利用關(guān)系式，求出公差，進而用等差數(shù)列的通項公式和求和公式得到方程組，即可求出答案.【詳解】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.變式3．（2024上·江西·高三校聯(lián)考開學考試）等差數(shù)列的前n項和為，若，，則．【答案】7【分析】方法一：設(shè)出公差，利用題干條件得到，進而求出公差，再求出首項，利用求和公式進行求解；方法二：利用題干條件得到，再利用求和公式的性質(zhì)進行求解.【詳解】方法一：設(shè)公差為d，由，∴，又，∴，，∴．方法二：由已知得，∴，又，所以．故答案為：7變式4．（2024·河南開封·高三校考階段練習）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則．【答案】【分析】因為是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.變式5．（2024·江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.【方法技巧與總結(jié)】a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程組求解，在求解過程中要注意整體思想的運用．題型二：利用Sn求an例2．（2024下·內(nèi)蒙古·高二?？茧A段練習）若是數(shù)列的前項和，若，則是（）A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D．既非等比數(shù)列，也非等差數(shù)列【答案】B【分析】當時，；當時，.【詳解】當時，;當時，又時，，滿足通項公式，所以此數(shù)列為等差數(shù)列.故選B.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列前n項和求數(shù)列通項，注意檢驗時的公式對是否適用.變式1．（2024上·江蘇·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】C【分析】利用的關(guān)系可判定數(shù)列為等差數(shù)列，求出首項，公差再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性判定選項即可.【詳解】由知，顯然時，，所以，易知，即數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，有最小項，無最大項.故選：C變式2．（2024·高二課時練習）已知一個數(shù)列的前項和．(1)當時，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用可得答案．【詳解】（1）當時，，令，，所以時，，所以，此時，所以，所以，可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2），令，得，所以時，，所以，所以，可得時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以．【方法技巧與總結(jié)】利用Sn求an的方法已知數(shù)列{an}的前n項和求通項公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必須注意它成立的條件是n≥2，除此之外還要注意以下幾點：(1)求a1時不能使用an＝Sn－Sn－1，因為S0在數(shù)列前n項和中無意義，而應(yīng)該是a1＝S1;(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時，若恰好a1＝S1，則an＝Sn－Sn－1就是其通項公式；(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時，若a1≠S1，則數(shù)列的通項公式就用分段的形式來表示，S題型三：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列前n項和與中項性質(zhì)例3．（2024下·黑龍江綏化·高一校考期末）等差數(shù)列的前項和為，若，則A．27 B．36 C．45 D．54【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行化簡，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.變式1．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式化簡可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.變式2．（2024·四川成都·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（

）A．2 B．7 C．14 D．28【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前項和公式求解，【詳解】由題意得，則，而，故選：C等差數(shù)列片段和的性質(zhì)例4．（2024·高二課時練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則．【答案】32【分析】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，進而即得.【詳解】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.變式1．（2024上·上海長寧·高二上海市延安中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則【答案】【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)知成等差數(shù)列，再由等差中項的性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：變式2．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求的值【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，，則，，，構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D變式3．（2024下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，其前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D等差數(shù)列前n項和與n的比值問題例5．（2024·全國·高三專題練習）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝﹣2024，，則S2024等于（

）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2024，，∴數(shù)列{}的公差d，首項為﹣2024，∴2024+2024×1＝1，∴S2024＝2024．故選：C．變式1．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）等差數(shù)列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列前n項和構(gòu)成的數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一半【詳解】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒變式2．（2024上·湖南·高三湖南師大附中博才實驗中學階段練習）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，再求出，由等差數(shù)列的定義可知為首項是，公差為的等差數(shù)列，由此能求出的值．【詳解】解：在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，，，由等差數(shù)列的定義可知為首項是，公差為的等差數(shù)列，，．故選：C．變式3．（2024上·河北邯鄲·高三?？奸_學考試）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列，由已知等式可求得其公差，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.兩個等差數(shù)列前n項和的比值問題例6．（2024下·天津·高二校聯(lián)考期末）若等差數(shù)列，的前項和分別為，，滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：變式1．（2024下·吉林長春·高二長春外國語學校?？奸_學考試）兩個等差數(shù)列則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差中項結(jié)合已知可解.【詳解】因為所以，故選：A變式2．（2024上·江蘇泰州·高二江蘇省黃橋中學?？茧A段練習）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當且僅當是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.故選：B變式3．（2024上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習）等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則的值為.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的下標和性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】因為，是等差數(shù)列，所以，因為.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，涉及整體思想，屬于基礎(chǔ)題．變式4．（2024下·陜西西安·高一?？茧A段練習）有兩個等差數(shù)列，其前項和分別為.（1）若，則.（2）若，則.【答案】【分析】利用可得填空1的答案；若，則可設(shè)，，然后可計算的值.【詳解】若，則；若，則可設(shè)，所以，，所以，故答案為：；【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差數(shù)列．(2)數(shù)列Snn是等差數(shù)列，公差為數(shù)列{an}的公差的(3)涉及兩個等差數(shù)列的前n項和之比時，一般利用公式ambn＝2n?1(4)用公式Sn＝na1+an2時常與等差數(shù)列的性質(zhì)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋題型四：等差數(shù)列前n項和的最值問題例7．（2024·北京）若等差數(shù)列滿足，則當時，的前項和最大．【答案】8【詳解】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又因為，所以所以，所以，，故數(shù)列的前8項最大.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和的最值，容易題.變式1．（2024上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的公差；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意得到方程組，解得即可；（2）由（1）求出的通項公式及，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）解：依題意得，解得，所以的公差；（2）解：由（1）知，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當時，．變式2．（2024下·四川成都·高一校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，若，則使得的的最大值為（

）A．2007 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的首項和性質(zhì),結(jié)合可判斷出,.結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式,即可判斷的最大項.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,若所以與異號首項,則公差所以則,所以由等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得所以的最大值為,即故選:B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.變式3．（2024上·河南·高三校聯(lián)考開學考試）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，則可知，由此即可選出答案.【詳解】因為，所以所以故，所以滿足的正整數(shù)的最大值為21．故選：C．變式4．（2024下·廣東佛山·高二校考階段練習）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，當取得最小值時，（

）A．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項是一正一負的兩項，比較絕對值大小可得結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時，時，，所以時，遞減，時，遞增，其中，由的表達式得，，，所時，最?。蔬x：D．變式5．（2024上·福建莆田·高二階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和，且，則滿足的最大自然數(shù)的值為A．6 B．7 C．12 D．13【答案】C【詳解】由,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.故選C.點睛：求解等差數(shù)列問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.由此得：，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，.變式6．（2024下·高二課時練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，則取得最小值時n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項公式，求得，，進而得到當當時，，當時，，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的通項公式，得，又，所以則等差數(shù)列中滿足，，且，數(shù)列為遞增數(shù)列，且當時，，當時，，所以當取得最小值時，n的值為.故選：B.變式7．（2024下·安徽六安·高一六安一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，進而可以推出，，，進而可得出答案.【詳解】由，得到；由，得到，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，,,當時，，且最大，最小，所以最大；當時，，此時；當時，，且，，所以，綜上所述，，，…，中最大的是.故選：C．【點睛】此題考查了等差數(shù)列的前項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的函數(shù)特性，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【方法技巧與總結(jié)】1．二次函數(shù)法等差數(shù)列{an}中，由于Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?d2n，所以若a1>0，d<0，則Sn必有最大值；若a2．通項公式法若a1>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組an若a1<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組an≤0,3．圖象法利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取最值．題型五：等差數(shù)列偶數(shù)項或奇數(shù)項的和例8．（2024下·高二課時練習）設(shè)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是，項數(shù)是．【答案】117【分析】根據(jù)奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項數(shù)為，＝＝，＝＝，所以，解得，所以項數(shù)，，即為所求中間項．故答案為：①11；②7.變式1．（2024下·高二課時練習）等差數(shù)列共有項，所有的奇數(shù)項之和為，所有的偶數(shù)項之和為，則等于．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式可得出，即可求得的值.【詳解】因為等差數(shù)列共有項，所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，所以，，解得.故答案為：.變式2．（2024上·山西太原·高二太原師范學院附屬中學校考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為377，項數(shù)為奇數(shù)，且前項中，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為7:6，則中間項為．【答案】29【分析】由題意可得，求出，再利用等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)可求得答案【詳解】因為為奇數(shù)，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項為29．故答案為：29變式3．（2024下·四川·高一樹德中學階段練習）已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項共有項，其和為，∴．偶數(shù)項共有n項，其和為，∴．故選：B．題型六：含絕對值的等差數(shù)列的前n項和例9．（2024上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，（，），數(shù)列滿足．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求；(3)求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①時，=；②時(3)，；理由見解析【分析】（1）根據(jù)，代入證明為常數(shù)即可；（2）由（1）可得，再分與兩種情況，去絕對值后求和即可；（3）由（1）可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷中的最值即可.【詳解】（1）證明：，又，∴數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列．∴（2）記的前n項和為，則由，得，即時，；時，，①時，=．②時=．（3）由，得．又函數(shù)在和上均是單調(diào)遞減．由函數(shù)的圖象，可得：，．變式1．（2024下·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和、通項公式求首項與公差，進而寫出通項公式.（2）首先判斷、對應(yīng)n的范圍，再根據(jù)各項的符號，應(yīng)用分組求和及等差數(shù)列前n項和求.【詳解】（1）由，則，由，則，所以，即，故，則.（2）由（1）知：，可得，即，故時，所以.變式2．（2024上·福建漳州·高三福建省漳州第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式，求出和，計算可得結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)論可得數(shù)列的前4項均為負數(shù)，從第5項開始都為非負數(shù)．據(jù)此分2種情況求出，綜合可得答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以，.（2）由，得，所以當時，；當時，，所以當時，；當時，，所以，.變式3．（2024上·北京海淀·高二?？计谀┰冖佗谌魹榈炔顢?shù)列，且③設(shè)數(shù)列的前項和為，且．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答(1)求數(shù)列的通項公式(2)求數(shù)列的前項和為的最小值及的值(3)記，求【答案】(1)(2)當或時，取得最小值為.(3)【分析】（1）選①結(jié)合等差數(shù)列的定義求得；選②通過求來求得；選③利用求得.（2）由求得的最小值以及對應(yīng)的值.（3）結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得.【詳解】（1）選①，，，，所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以.選②，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，.選③，，當時，，當時，，當時上式也符合，所以.（2）由得，所以當或時，最小，且最小值為.（3），結(jié)合（2）可知.題型七：含取整符號的等差數(shù)列的前n項和例10．（2024上·福建寧德·高二階段練習）設(shè)數(shù)列和的前項和分別為和，已知，，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）符號表示不超過的最大整數(shù)，例如．當時，試求.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由數(shù)列的前n項和可利用求解通項公式；（2）首先整理數(shù)列的通項公式，依據(jù)特點采用裂項相消法求和；（3）結(jié)合取整函數(shù)可知為等差數(shù)列求和.【詳解】（1）解令，或（舍去）①，當②，①②得，化簡得，，，數(shù)列為首項為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2）由（1）得，，，，.（3）．變式1．（2024上·河南焦作·高二期中）已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，用符號表示不超過x的最大數(shù)，當時，求的值.【答案】(1)(2)9【分析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項和公差，然后利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項相消法和分組求和法求出，進而可求出的通項公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項公式為.（2）由題意可知，，所以，故，因為當時，；當時，，所以，由可知，，即，解得，即的值為9.題型八：等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用例11．（2024上·河南安陽·高二安陽市第三十九中學?？茧A段練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)8個兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，因為綿的總重量為996斤，所以，解得，則第八個兒子分到的綿．故選：D．變式1．（2024·高二課時練習）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在點處里程碑上刻著“〣〤”，在點處里程碑上刻著“〩〢”，則從點到點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定確定，兩處的里程碑的數(shù)值，再由等差數(shù)列通項公式確定里程碑的數(shù)量，并利用等差數(shù)列前項和公式求從點到點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和.【詳解】根據(jù)題意知，點處里程碑上刻著數(shù)字34，點處里程碑上刻著數(shù)字92，里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為2，因此從點到點的所有里程碑個數(shù)為，從點到點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為，故選：B．變式2．（2024下·江西上饒·高二校聯(lián)考期末）廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢峭拔.上個世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，問這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周止共需幾步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368【答案】C【分析】設(shè)從第層到第層所走的臺階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由條件確定兩個數(shù)列的特征，再分別求兩個數(shù)列的前8項和即可.【詳解】設(shè)從第層到第層所走的臺階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由已知可得，，，，，，所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，故，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故，設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，所以，，這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周止共需332步，故選：C.變式3．（2024下·四川巴中·高一統(tǒng)考期末）2024年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來．我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始．已知冬至日晷長為13.5尺，夏至日晷長為1.5尺，則一年中夏至到秋分的日晷長的和為（

）尺．A．24 B．60 C．40 D．31.5【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日晷長為首項，夏至日晷長為第13項的等差數(shù)列，求出公差即可列式計算作答.【詳解】依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，夏至日晷長為1.5尺，記為，因相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到夏至日晷長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至日晷長最短，冬至日晷長最長，所以夏至到冬至的日晷長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為13.5尺，公差為1，共13項，秋分為第7項，故，所以一年中夏至到秋分的日晷長的和為(尺).故選：D.【方法技巧與總結(jié)】遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：①抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．②深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.一、單選題1．（2024·高二課時練習）在等差數(shù)列中，公差，，，則等于（

）．A．或3 B．或7 C．3或5 D．5或7【答案】A【分析】根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程組求解即可.【詳解】因為在等差數(shù)列中，公差，，，所以，解得或，故選：A2．（2024下·安徽·高一安徽師范大學附屬中學?？计谀┮阎诘炔顢?shù)列中，則項數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和題意可得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn240，代入可得答案．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S918，解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn16n＝240，解得n＝15，故選D．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，利用性質(zhì)整體代入是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C4．（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知某等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，前三項與最后三項這六項之和為，所有奇數(shù)項的和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解即可【詳解】由已知，，所以，所有奇數(shù)項的和為，于是可得.故選：A.5．（2024上·北京·高三統(tǒng)考開學考試）等差數(shù)列的前n項和為.已知，.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，列方程求得，再求解的最小值即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為等差數(shù)列中，，，所以，解得，所以，且時，所以的最小值為.故選：A6．（2024上·湖南長沙·高三長沙市明德中學?？奸_學考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，則取最小時，（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．2024【答案】D【分析】由已知，利用等差數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)得，，進而得出結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列的前項和為，且，，，，，，，公差，則當時最?。蔬x：D7．（2024下·河北張家口·高二階段練習）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．8．（2024上·湖南常德·高三湖南省桃源縣第一中學?？茧A段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則（

）A．310 B．210 C．110 D．39【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差以及求和公式，可得答案.【詳解】由等差數(shù)列，則公差，即.故選：B.9．（2024·北京海淀·人大附中?？寄M預測）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（

）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.10．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項，及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.11．（2024下·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)，列式求解.【詳解】由等差數(shù)列的項和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，所以，所以.即.故選：C12．（2024上·安徽六安·高二階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則()A．12 B．8 C．20 D．16【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列，由此能求出的值．【詳解】解：∵等差數(shù)列的前項和為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列又∴．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的四項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．13．（2024上·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，根據(jù)題意可將都用表示，可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.14．（2024·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2018，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2018的值等于（

）A．－2018 B．－2016C．－2019 D．－2017【答案】A【分析】由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】由題意知，數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，所以＝＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.所以S2018＝－2018.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用構(gòu)造等差數(shù)列求解的問題.屬于較易題.15．（2024上·福建龍巖·高二福建省永定第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列是以首項為25，公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式以及前n項和的性質(zhì)分析運算.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以首項為25，公差的等差數(shù)列，且為單調(diào)遞減數(shù)列，其通項公式為．當且時，Sn最大，解得且，則，即數(shù)列{an}的前15項均為非負值，第16項開始為負值，故S15最大，.故選：C．16．（2024上·陜西商洛·高二校考階段練習）已知數(shù)列中，則數(shù)列的前項和最大時，的值為（

）A．8 B．7或8 C．8或9 D．9【答案】C【分析】由條件確定數(shù)列的前項和，，根據(jù)二次函數(shù)的特點確定函數(shù)的最大值，以及的值.【詳解】，數(shù)列是等差數(shù)列，并且公差為，，對稱軸是，，所以當或時，取得最大值.故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和的最大值，屬于基礎(chǔ)題型.17．（2024上·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習）等差數(shù)列的前項和為，，，則滿足的（

）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【分析】由題意和等差數(shù)列求和公式與性質(zhì)可得；，進而可得，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，，則有，則有；又由，則有；則有，若，必有；故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024下·吉林長春·高一長春市實驗中學校考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，判斷出的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得因為，故可得，整理得，即，又因為，故可得.又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前項和的性質(zhì)，屬綜合中檔題.二、多選題19．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列C．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則D．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列【答案】BCD【分析】由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，根據(jù)不確定，可判定A不正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，求得，證得，可判定B正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，得到，根據(jù)得出數(shù)列的定義，得到，可判定C正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，得到，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，若數(shù)列為等差數(shù)列，可得，因為首項不確定，所以數(shù)列為不一定是等差數(shù)列，所以A不正確；對于B中，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，可得，當時，；當時，，則，由，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以B正確；對于C中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，則，可得，則常數(shù)，所以，即，所以，所以，且，所以，所以C正確；對于D中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，則，可得，因為為等差數(shù)列，所以為常數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以D正確.故選：BCD.【點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路,一是利用基本量,根據(jù)通項公式和求和公式，列出方程組,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.20．（2024下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）若等差數(shù)列的公差為，前項和為，記，則（

）A．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列B．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列D．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義可判斷各選項的正誤.【詳解】由已知可得，對于AB選項，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，A對B錯；對于C選項，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C對；對于D選項，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，D錯.故選：AC.21．（2024上·福建寧德·高二福建省福安市第一中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列中，，公差，則使其前n項和取得最大值的自然數(shù)n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】BC【分析】由等差數(shù)列中，可求出，從而判斷，，即可求得答案.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴.又公差，∴，，∴使其前n項和取得最大值的自然數(shù)n是5或6,故選：BC.22．（2024上·廣東深圳·高二?？计谀┤魹榈炔顢?shù)列，前項和為，其中，則下列說法正確的是（

）A． B．C．數(shù)列單調(diào)遞減 D．數(shù)列前8項和最大【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項與公差，進而可求出數(shù)列的通項，即可判斷AC；求出數(shù)列的前項和即可判斷BD.【詳解】設(shè)公差為，由，得，解得所以，故A正確；因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故C正確；，所以，故B錯誤；所以數(shù)列前7項和最大，故D錯誤.故選：AC.23．（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，其中，，則下列選項正確的是（

）A．為等差數(shù)列B．C．當時，有最大值D．設(shè)，則當或時，數(shù)列的前項和取得最大值【答案】ABD【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以數(shù)列是首項19，公差為的等比數(shù)列，即.故選項A正確.因為，所以，故選項B正確.因為，所以當時，有最大值，故選項C錯誤.因為，因為，所以，，故，，，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則由以上計算可知且所以當或時，數(shù)列的前項和取得最大值，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題24．（2024上·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.25．（2024下·全國·高三校聯(lián)考階段練習）若等差數(shù)列滿足，則的最大值為．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列通項公式及性質(zhì)化簡，結(jié)合所給條件等式可化簡得，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，可表示出，代入等式即可得方程，由方程由