2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．2．能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握有關(guān)a1，an，d，n，Sn的基本運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決最值問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題等．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)知識(shí)點(diǎn)01等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數(shù)列的前n和公式的推導(dǎo)對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項(xiàng)和Sn？設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過(guò)程實(shí)際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項(xiàng)的和相等．我們不妨將上面的推導(dǎo)方法稱(chēng)為倒序相加求和法.今后，某些數(shù)列求和常常會(huì)用到這種方法．(2)公式的結(jié)構(gòu)①Sn＝na②Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當(dāng)d≠0時(shí)，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說(shuō)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．且d>0時(shí)圖象開(kāi)口向上，d<0時(shí)圖象開(kāi)口向下.【即學(xué)即練1】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)已知，，求；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【解析】(1)等差數(shù)列中，，，，解得，．．(2)等差數(shù)列中，，，，即得，解得．(3)等差數(shù)列中，，，，解得，，．(4)等差數(shù)列中，，，，，成等差數(shù)列，，即，解得．【即學(xué)即練2】設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，故答案為?知識(shí)點(diǎn)02等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項(xiàng))；②.等差數(shù)列中，,則,.注：在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.（5）若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；【即學(xué)即練3】在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A．15 B．20 C．30 D．35【解析】.故選：D【即學(xué)即練4】在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，，則______．【解析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，故.故答案為：27【即學(xué)即練5】等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：【即學(xué)即練6】已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，記，分別為，的前n項(xiàng)和，且，則=（

）A． B． C． D．【解析】由，.故選：D知識(shí)點(diǎn)03等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)，時(shí)，有最大值(即所有非負(fù)項(xiàng)之和)；，時(shí)，有最小值(即所有非正項(xiàng)之和)；若已知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數(shù),))，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值,通過(guò)配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)等，將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解.注：當(dāng)a1>0，d>0時(shí)Sn有最小值S1，當(dāng)a1<0，d<0時(shí)Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時(shí)的n不一定唯一．【即學(xué)即練7】在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為_(kāi)_____．【解析】由題意，=21，解得，，屬于二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)n=5或6時(shí)取得最大值，，，的最大值為66；故答案為：66.【即學(xué)即練8】【多選】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，，所以，，故等差?shù)列首項(xiàng)為負(fù)，公差為正，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；由，可知，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確．故選：AD【即學(xué)即練9】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，且，則滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的n的值為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，，故要使，則需．故答案為：33.題型一：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算例1．（2024上·寧夏固原·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式將題干條件中的等式轉(zhuǎn)化成基本量和，然后聯(lián)立方程組解出和，最后根據(jù)公式求解即可.【詳解】為等差數(shù)列，，，，解得..故選：A.變式1．（2024上·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則.【答案】100【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，進(jìn)而得，故，進(jìn)而得，再計(jì)算即可.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又，解得：，又∵，∴，即∴故答案為：.變式2．（2024上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且，則.【答案】4【分析】先利用關(guān)系式，求出公差，進(jìn)而用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，即可求出答案.【詳解】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.變式3．（2024上·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．【答案】7【分析】方法一：設(shè)出公差，利用題干條件得到，進(jìn)而求出公差，再求出首項(xiàng)，利用求和公式進(jìn)行求解；方法二：利用題干條件得到，再利用求和公式的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】方法一：設(shè)公差為d，由，∴，又，∴，，∴．方法二：由已知得，∴，又，所以．故答案為：7變式4．（2024·河南開(kāi)封·高三校考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則．【答案】【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.變式5．（2024·江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.【方法技巧與總結(jié)】a1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用．題型二：利用Sn求an例2．（2024下·內(nèi)蒙古·高二校考階段練習(xí)）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則是（）A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D．既非等比數(shù)列，也非等差數(shù)列【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【詳解】當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，又時(shí)，，滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，所以此數(shù)列為等差數(shù)列.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)，注意檢驗(yàn)時(shí)的公式對(duì)是否適用.變式1．（2024上·江蘇·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】C【分析】利用的關(guān)系可判定數(shù)列為等差數(shù)列，求出首項(xiàng)，公差再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性判定選項(xiàng)即可.【詳解】由知，顯然時(shí)，，所以，易知，即數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng).故選：C變式2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿(mǎn)足條件．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用可得答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，，所以時(shí)，，所以，此時(shí)，所以，所以，可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2），令，得，所以時(shí)，，所以，所以，可得時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以．【方法技巧與總結(jié)】利用Sn求an的方法已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必須注意它成立的條件是n≥2，除此之外還要注意以下幾點(diǎn)：(1)求a1時(shí)不能使用an＝Sn－Sn－1，因?yàn)镾0在數(shù)列前n項(xiàng)和中無(wú)意義，而應(yīng)該是a1＝S1;(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時(shí)，若恰好a1＝S1，則an＝Sn－Sn－1就是其通項(xiàng)公式；(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時(shí)，若a1≠S1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式就用分段的形式來(lái)表示，S題型三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)例3．（2024下·黑龍江綏化·高一校考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則A．27 B．36 C．45 D．54【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.變式1．（2024·海南海口·統(tǒng)考二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.變式2．（2024·四川成都·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（

）A．2 B．7 C．14 D．28【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式求解，【詳解】由題意得，則，而，故選：C等差數(shù)列片段和的性質(zhì)例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】32【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，進(jìn)而即得.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.變式1．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則【答案】【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)知成等差數(shù)列，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：變式2．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求的值【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則，，，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D變式3．（2024下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值問(wèn)題例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2024，，則S2024等于（

）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2024，，∴數(shù)列{}的公差d，首項(xiàng)為﹣2024，∴2024+2024×1＝1，∴S2024＝2024．故選：C．變式1．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一半【詳解】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒變式2．（2024上·湖南·高三湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，再求出，由等差數(shù)列的定義可知為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，由此能求出的值．【詳解】解：在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，，，由等差數(shù)列的定義可知為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，，．故選：C．變式3．（2024上·河北邯鄲·高三校考開(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列，由已知等式可求得其公差，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問(wèn)題例6．（2024下·天津·高二校聯(lián)考期末）若等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，滿(mǎn)足，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：變式1．（2024下·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）兩個(gè)等差數(shù)列則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)結(jié)合已知可解.【詳解】因?yàn)樗?，故選：A變式2．（2024上·江蘇泰州·高二江蘇省黃橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個(gè)，則n的值有1，3，7，15，31五個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5.故選：B變式3．（2024上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則的值為.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，是等差?shù)列，所以，因?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，涉及整體思想，屬于基礎(chǔ)題．變式4．（2024下·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）有兩個(gè)等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為.（1）若，則.（2）若，則.【答案】【分析】利用可得填空1的答案；若，則可設(shè)，，然后可計(jì)算的值.【詳解】若，則；若，則可設(shè)，所以，，所以，故答案為：；【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差數(shù)列．(2)數(shù)列Snn是等差數(shù)列，公差為數(shù)列{an}的公差的(3)涉及兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比時(shí)，一般利用公式ambn＝2n?1(4)用公式Sn＝na1+an2時(shí)常與等差數(shù)列的性質(zhì)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題例7．（2024·北京）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大．【答案】8【詳解】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又因?yàn)?，所以所以，所以，，故?shù)列的前8項(xiàng)最大.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，前項(xiàng)和的最值，容易題.變式1．（2024上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的公差；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意得到方程組，解得即可；（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式及，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）解：依題意得，解得，所以的公差；（2）解：由（1）知，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，．變式2．（2024下·四川成都·高一校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，若，則使得的的最大值為（

）A．2007 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和性質(zhì),結(jié)合可判斷出,.結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,即可判斷的最大項(xiàng).【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,若所以與異號(hào)首項(xiàng),則公差所以則,所以由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得所以的最大值為,即故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.變式3．（2024上·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則滿(mǎn)足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，則可知，由此即可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以故，所以滿(mǎn)足的正整數(shù)的最大值為21．故選：C．變式4．（2024下·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項(xiàng)和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項(xiàng)是一正一負(fù)的兩項(xiàng)，比較絕對(duì)值大小可得結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時(shí)，時(shí)，，所以時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，其中，由的表達(dá)式得，，，所時(shí)，最?。蔬x：D．變式5．（2024上·福建莆田·高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則滿(mǎn)足的最大自然數(shù)的值為A．6 B．7 C．12 D．13【答案】C【詳解】由,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，則滿(mǎn)足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.故選C.點(diǎn)睛：求解等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.由此得：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.變式6．（2024下·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，，進(jìn)而得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，又，所以則等差數(shù)列中滿(mǎn)足，，且，數(shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為.故選：B.變式7．（2024下·安徽六安·高一六安一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，進(jìn)而可以推出，，，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得到；由，得到，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，,,當(dāng)時(shí)，，且最大，最小，所以最大；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，且，，所以，綜上所述，，，…，中最大的是.故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的函數(shù)特性，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【方法技巧與總結(jié)】1．二次函數(shù)法等差數(shù)列{an}中，由于Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?d2n，所以若a1>0，d<0，則Sn必有最大值；若a2．通項(xiàng)公式法若a1>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組an若a1<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組an≤0,3．圖象法利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值，使Sn取最值．題型五：等差數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和例8．（2024下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)是，項(xiàng)數(shù)是．【答案】117【分析】根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，＝＝，＝＝，所以，解得，所以項(xiàng)數(shù)，，即為所求中間項(xiàng)．故答案為：①11；②7.變式1．（2024下·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式可得出，即可求得的值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，所以，，解得.故答案為：.變式2．（2024上·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為7:6，則中間項(xiàng)為．【答案】29【分析】由題意可得，求出，再利用等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)可求得答案【詳解】因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項(xiàng)為29．故答案為：29變式3．（2024下·四川·高一樹(shù)德中學(xué)階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．題型六：含絕對(duì)值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例9．（2024上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，（，），數(shù)列滿(mǎn)足．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①時(shí)，=；②時(shí)(3)，；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，代入證明為常數(shù)即可；（2）由（1）可得，再分與兩種情況，去絕對(duì)值后求和即可；（3）由（1）可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷中的最值即可.【詳解】（1）證明：，又，∴數(shù)列是為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴（2）記的前n項(xiàng)和為，則由，得，即時(shí)，；時(shí)，，①時(shí)，=．②時(shí)=．（3）由，得．又函數(shù)在和上均是單調(diào)遞減．由函數(shù)的圖象，可得：，．變式1．（2024下·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式求首項(xiàng)與公差，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）首先判斷、對(duì)應(yīng)n的范圍，再根據(jù)各項(xiàng)的符號(hào)，應(yīng)用分組求和及等差數(shù)列前n項(xiàng)和求.【詳解】（1）由，則，由，則，所以，即，故，則.（2）由（1）知：，可得，即，故時(shí)，所以.變式2．（2024上·福建漳州·高三福建省漳州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出和，計(jì)算可得結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)論可得數(shù)列的前4項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第5項(xiàng)開(kāi)始都為非負(fù)數(shù)．據(jù)此分2種情況求出，綜合可得答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以，.（2）由，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，.變式3．（2024上·北京海淀·高二?？计谀┰冖佗谌魹榈炔顢?shù)列，且③設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為的最小值及的值(3)記，求【答案】(1)(2)當(dāng)或時(shí)，取得最小值為.(3)【分析】（1）選①結(jié)合等差數(shù)列的定義求得；選②通過(guò)求來(lái)求得；選③利用求得.（2）由求得的最小值以及對(duì)應(yīng)的值.（3）結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.【詳解】（1）選①，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.選②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，.選③，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以.（2）由得，所以當(dāng)或時(shí)，最小，且最小值為.（3），結(jié)合（2）可知.題型七：含取整符號(hào)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例10．（2024上·福建寧德·高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，已知，，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時(shí)，試求.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和可利用求解通項(xiàng)公式；（2）首先整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，依據(jù)特點(diǎn)采用裂項(xiàng)相消法求和；（3）結(jié)合取整函數(shù)可知為等差數(shù)列求和.【詳解】（1）解令，或（舍去）①，當(dāng)②，①②得，化簡(jiǎn)得，，，數(shù)列為首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2）由（1）得，，，，.（3）．變式1．（2024上·河南焦作·高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過(guò)x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)9【分析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.（2）由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即的值為9.題型八：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例11．（2024上·河南安陽(yáng)·高二安陽(yáng)市第三十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤(pán)纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)8個(gè)兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，因?yàn)榫d的總重量為996斤，所以，解得，則第八個(gè)兒子分到的綿．故選：D．變式1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)曾經(jīng)流行一時(shí)，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合．“蘇州碼子”0~9的寫(xiě)法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時(shí)要將“〡”“〢”“〣”橫過(guò)來(lái)寫(xiě)．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車(chē)站的里程，每隔2公里擺放一個(gè)里程碑，若在點(diǎn)處里程碑上刻著“〣〤”，在點(diǎn)處里程碑上刻著“〩〢”，則從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定確定，兩處的里程碑的數(shù)值，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式確定里程碑的數(shù)量，并利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和.【詳解】根據(jù)題意知，點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字34，點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字92，里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為2，因此從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為，從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為，故選：B．變式2．（2024下·江西上饒·高二校聯(lián)考期末）廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬(wàn)歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢(shì)峭拔.上個(gè)世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠(yuǎn)望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進(jìn)入塔身，即沿石階逐級(jí)攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級(jí)臺(tái)階，此后每往上一層減少兩級(jí)臺(tái)階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，問(wèn)這位游客從底層進(jìn)入塔身開(kāi)始到頂層繞塔一周止共需幾步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368【答案】C【分析】設(shè)從第層到第層所走的臺(tái)階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由條件確定兩個(gè)數(shù)列的特征，再分別求兩個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)和即可.【詳解】設(shè)從第層到第層所走的臺(tái)階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由已知可得，，，，，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故，設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，所以，，這位游客從底層進(jìn)入塔身開(kāi)始到頂層繞塔一周止共需332步，故選：C.變式3．（2024下·四川巴中·高一統(tǒng)考期末）2024年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái)．我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始．已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，夏至日晷長(zhǎng)為1.5尺，則一年中夏至到秋分的日晷長(zhǎng)的和為（

）尺．A．24 B．60 C．40 D．31.5【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日晷長(zhǎng)為首項(xiàng)，夏至日晷長(zhǎng)為第13項(xiàng)的等差數(shù)列，求出公差即可列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，記為，夏至日晷長(zhǎng)為1.5尺，記為，因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，則從冬至日晷長(zhǎng)到夏至日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至日晷長(zhǎng)最短，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以夏至到冬至的日晷長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.5尺，末項(xiàng)為13.5尺，公差為1，共13項(xiàng)，秋分為第7項(xiàng)，故，所以一年中夏至到秋分的日晷長(zhǎng)的和為(尺).故選：D.【方法技巧與總結(jié)】遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：①抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類(lèi)型的數(shù)列模型．②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.一、單選題1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，公差，，，則等于（

）．A．或3 B．或7 C．3或5 D．5或7【答案】A【分析】根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，公差，，，所以，解得或，故選：A2．（2024下·安徽·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎诘炔顢?shù)列中，則項(xiàng)數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和題意可得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn240，代入可得答案．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S918，解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn16n＝240，解得n＝15，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，利用性質(zhì)整體代入是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C4．（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解即可【詳解】由已知，，所以，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，于是可得.故選：A.5．（2024上·北京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，列方程求得，再求解的最小值即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，解得，所以，且時(shí)，所以的最小值為.故選：A6．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則取最小時(shí)，（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．2024【答案】D【分析】由已知，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)得，，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，，，，，公差，則當(dāng)時(shí)最小．故選：D7．（2024下·河北張家口·高二階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．8．（2024上·湖南常德·高三湖南省桃源縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A．310 B．210 C．110 D．39【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差以及求和公式，可得答案.【詳解】由等差數(shù)列，則公差，即.故選：B.9．（2024·北京海淀·人大附中?？寄M預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（

）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過(guò)解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.10．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A． B．1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項(xiàng)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.11．（2024下·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，列式求解.【詳解】由等差數(shù)列的項(xiàng)和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，所以，所以.即.故選：C12．（2024上·安徽六安·高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A．12 B．8 C．20 D．16【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列，由此能求出的值．【詳解】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列又∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的四項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13．（2024上·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，根據(jù)題意可將都用表示，可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2018的值等于（

）A．－2018 B．－2016C．－2019 D．－2017【答案】A【分析】由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由題意知，數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，所以＝＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.所以S2018＝－2018.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用構(gòu)造等差數(shù)列求解的問(wèn)題.屬于較易題.15．（2024上·福建龍巖·高二福建省永定第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列是以首項(xiàng)為25，公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為25，公差的等差數(shù)列，且為單調(diào)遞減數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．當(dāng)且時(shí)，Sn最大，解得且，則，即數(shù)列{an}的前15項(xiàng)均為非負(fù)值，第16項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，故S15最大，.故選：C．16．（2024上·陜西商洛·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（

）A．8 B．7或8 C．8或9 D．9【答案】C【分析】由條件確定數(shù)列的前項(xiàng)和，，根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)確定函數(shù)的最大值，以及的值.【詳解】，數(shù)列是等差數(shù)列，并且公差為，，對(duì)稱(chēng)軸是，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值，屬于基礎(chǔ)題型.17．（2024上·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿(mǎn)足的（

）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【分析】由題意和等差數(shù)列求和公式與性質(zhì)可得；，進(jìn)而可得，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，，則有，則有；又由，則有；則有，若，必有；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024下·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時(shí)等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，判斷出的符號(hào)，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，故可得因?yàn)椋士傻?，整理得，即，又因?yàn)?，故可?又因?yàn)椋?，故取得最小正值時(shí)n等于.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前項(xiàng)和的性質(zhì)，屬綜合中檔題.二、多選題19．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列C．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則D．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列【答案】BCD【分析】由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，根據(jù)不確定，可判定A不正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，求得，證得，可判定B正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，得到，根據(jù)得出數(shù)列的定義，得到，可判定C正確；由數(shù)列為等差數(shù)列，得到，得到，化簡(jiǎn)得到，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，若數(shù)列為等差數(shù)列，可得，因?yàn)槭醉?xiàng)不確定，所以數(shù)列為不一定是等差數(shù)列，所以A不正確；對(duì)于B中，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，由，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，則，可得，則常數(shù)，所以，即，所以，所以，且，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，則，可得，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式，列出方程組,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.20．（2024下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，記，則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知可得，對(duì)于AB選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，D錯(cuò).故選：AC.21．（2024上·福建寧德·高二福建省福安市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，公差，則使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】BC【分析】由等差數(shù)列中，可求出，從而判斷，，即可求得答案.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴.又公差，∴，，∴使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是5或6,故選：BC.22．（2024上·廣東深圳·高二?？计谀┤魹榈炔顢?shù)列，前項(xiàng)和為，其中，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 D．?dāng)?shù)列前8項(xiàng)和最大【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷AC；求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可判斷BD.【詳解】設(shè)公差為，由，得，解得所以，故A正確；因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，故C正確；，所以，故B錯(cuò)誤；所以數(shù)列前7項(xiàng)和最大，故D錯(cuò)誤.故選：AC.23．（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，其中，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為等差數(shù)列B．C．當(dāng)時(shí)，有最大值D．設(shè)，則當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值【答案】ABD【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)19，公差為的等比數(shù)列，即.故選項(xiàng)A正確.因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故，，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則由以上計(jì)算可知且所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題24．（2024上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.25．（2024下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的最大值為．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合所給條件等式可化簡(jiǎn)得，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可表示出，代入等式即可得方程，由方程由