（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 不等式 第46課 簡單的線性規(guī)劃 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第46課簡單的線性規(guī)劃(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修5P95習(xí)題11改編)若實數(shù)x，y滿足不等式組則z=x2+y2的最小值是.(第1題)【答案】5【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，z=x2+y2的最小值表示陰影部分(包含邊界)中的點到原點的距離的最小值的平方，由圖可知直線x-y+1=0與直線x=1的交點(1，2)到原點的距離最近，故z=x2+y2的最小值為12+22=5.2.(必修5P94習(xí)題8改編)若變量x，y滿足約束條件則z=2x+y的最大值為.【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，可得直線y=x與直線3x+2y=5的交點A(1，1)為最優(yōu)解點，所以當x=1，y=1時，zmax=3.(第2題)3.(必修5P90習(xí)題6改編)若變量x，y滿足約束條件則z=x+y的最小值是.(第3題)【答案】2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，畫出y=-x的圖象，當它的平行線經(jīng)過A(2，0)時，z取得最小值，最小值為zmax=2.4.(必修5P90習(xí)題6改編)若變量x，y滿足約束條件則z=x-2y的最大值為.【答案】3【解析】畫出可行域如圖中陰影部分所示，由z=x-2y，得y=x-z，由圖可知，當直線經(jīng)過點A(1，-1)時，z最大，且最大值為zmax=1-2×(-1)=3.(第4題)1.線性規(guī)劃及其相關(guān)概念(1)目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式稱為目標函數(shù).關(guān)于x，y的一次目標函數(shù)稱為線性目標函數(shù).(2)約束條件：由x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的約束條件.關(guān)于x，y的一次不等式或方程組成的不等式組稱為x，y的線性約束條件.(3)可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)稱為可行解.(4)可行域：所有可行解組成的集合稱為可行域.(5)最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解稱為最優(yōu)解.(6)求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題.2.解線性規(guī)劃問題的步驟(1)畫，即畫出線性約束條件所表示的可行域；(2)移，即在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；(3)求，即通過解方程組求最優(yōu)解；(4)答，即給出答案.【要點導(dǎo)學(xué)】要點導(dǎo)學(xué)各個擊破簡單的線性規(guī)劃問題例1(2015·天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x+y的最大值為.【思維引導(dǎo)】先根據(jù)約束條件畫出可行域，將z=3x+y轉(zhuǎn)化成直線y=-3x+z，得到z的幾何意義是縱截距.通過平移直線來求出z的最大值.(例1)【答案】9【解析】方法一：作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知，目標函數(shù)在點A(2，3)處取得最大值，且zmax=9.方法二：z=3x+y=(x-2)+(x+2y-8)+9≤9，當x=2，y=3時取得最大值.【精要點評】(1)線性規(guī)劃是高考中?？嫉闹R點，一般以客觀題形式出現(xiàn)，基本題型是給出約束條件求目標函數(shù)的最值.(2)解決此類問題常利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)約束條件畫可行域時，準確作出圖形是解決問題的關(guān)鍵.(3)要弄清與z有關(guān)的量的幾何意義.常見的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點間的距離、點到直線的距離.(4)在直線平移過程中要注意目標直線的斜率與可行域中各直線斜率的比較.變式(2015·全國卷)若變量x，y滿足約束條件則z=3x+y的最大值為.(變式)【答案】4【解析】作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，當目標函數(shù)線平移至經(jīng)過可行域的頂點A(1，1)時，目標函數(shù)z取得最大值，故zmax=3×1+1=4.非線性目標函數(shù)的最值問題例2已知變量x，y滿足約束條件試求解下列問題.(1)z=的最大值和最小值；(2)z=的最大值和最小值；(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.【思維引導(dǎo)】(1)z的幾何意義是區(qū)域中的點(x，y)到原點(0，0)的距離；(2)z的幾何意義是指區(qū)域中的點(x，y)與點(-2，0)連線的斜率；(3)的幾何意義是表示區(qū)域中的點(x，y)到直線3x+4y+3=0的距離.(例2)【解答】作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，易得A(1，1)，B(5，2)，C.(1)z=表示的幾何意義是可行域中的點(x，y)到原點(0，0)的距離，如圖所示，zmax=，zmin=.(2)z=表示區(qū)域中的點(x，y)與點M(-2，0)連線的斜率，如圖所示.zmax=kMC=，zmin=kMB=.(3)z=|3x+4y+3|=5·，而表示區(qū)域中的點(x，y)到直線3x+4y+3=0的距離，如圖所示，zmax=26，zmin=10.【精要點評】(1)此題中與z有關(guān)量的幾何意義不再是縱截距，而是與點到點的距離、斜率、點到直線的距離.(2)在第(3)問中才是點到直線的距離.變式(2015·四川卷)設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則xy的最大值為.【答案】(變式)【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，在△ABC區(qū)域中結(jié)合圖象可知當動點在線段AC上時xy取得最大，此時2x+y=10.xy=(2x·y)≤=，當且僅當x=，y=5時取等號，對應(yīng)點落在線段AC上，故最大值為.可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題例3已知正數(shù)a，b，c滿足則的取值范圍是.【答案】[e，7]【解析】條件可化為設(shè)=x，=y，則題目轉(zhuǎn)化為：已知變量x，y滿足求的取值范圍.(例3)作出(x，y)所在的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.假設(shè)在y=ex上一點P(x0，y0)處取得最小值.則=，設(shè)g(x)=，g'(x)=，易知x=1時，g(x)取得最小值，故此時=e.當(x，y)對應(yīng)點C時，取得最大值7.所以的取值范圍為[e，7]，即的取值范圍是[e，7].變式若變量a，b滿足約束條件求u=的最大值.【解答】將不等式組兩邊同時取以3為底的對數(shù)得再令x=log3a，y=log3b，得同時令z=log3u=2log3a-log3b=2x-y，題目就轉(zhuǎn)化為：若x，y滿足約束條件求z=2x-y的最大值.(變式)作出可行域如圖中陰影部分所示，將z=2x-y化為y=2x-z，平移直線y=2x-z，當直線過點A時，z取得最大值，聯(lián)立解得A(1，1)，此時zmax=2×1-1=1，umax=3.線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題例4(2015·陜西卷)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1t每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如下表所示，如果生產(chǎn)1t甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，求該企業(yè)每天可獲得最大利潤.甲乙原料限額A(t)3212B(t)128【思維引導(dǎo)】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，表示利潤為z=3x+4y，列出約束條件為將語言文字通過建模轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.(例4)【解答】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，則利潤z=3x+4y，由題意可列不等式組其表示的可行域如圖中陰影部分所示.當直線3x+4y-z=0過點A(2，3)時，z取得最大值zmax=3×2+4×3=18，所以該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元.【精要點評】(1)應(yīng)用題建模是難點，線性規(guī)劃類型題往往容易多了不等式或者漏了不等式.(2)在線性規(guī)劃建模過程中，要注意實際應(yīng)用問題對定義域的要求.1.若實數(shù)x，y滿足(x+y-1)(x-y+1)≥0且x∈[-1，1]，則x+y的最大值為.【答案】3(第1題)【解析】因為(x+y-1)(x-y+1)≥0，所以或作出可行域如圖中陰影部分所示.令x+y=z，則y=-x+z，當直線y=-x+z平移經(jīng)過點A(1，2)時，x+y取得最大值為3.2.(2015·廣東卷)若變量x，y滿足約束條件則z=2x+3y的最大值為.(第2題)【答案】5【解析】作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l0：2x+3y=0，再作一組平行于l0的直線l：2x+3y=z，當直線l經(jīng)過點Α時，z=2x+3y取得最大值，由得所以點Α的坐標為(4，-1)，所以zmax=2×4+3×(-1)=5.3.已知實數(shù)x，y滿足約束條件那么z=x2+y2-2x的最小值是.(第3題)【答案】1【解析】記目標函數(shù)為z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1.表示可行域中的點與A(1，0)的距離d的平方減去1，易知dmin=，所以z的最小值為1.4.(2014·安徽卷)已知變量x，y滿足約束條件若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為.【答案】2或-1(第4題)【解析】方法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知點A(0，2)，B(2，0)，C(-2，-2)，則zA=2，zB=-2a，zC=2a-2.要使對應(yīng)最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組，只需zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA，解得a=-1或2.方法二：畫出可行域如圖中陰影部分所示，z=y-ax可變形為y=ax+z，令l0：y=ax，則由題意知l0∥AB或l0∥AC，故a=-1或2.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第91~92頁.【檢測與評估】第46課簡單的線性規(guī)劃一、填空題1.在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點為A(3，-1)，B(-1，1)，C(1，3)，則由△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為.2.(2015·湖南卷)若變量x，y滿足約束條件則z=2x-y的最小值為.3.(2015·遼寧育才中學(xué)一模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z=x+y的最大值為4，則實數(shù)a的值為.4.已知實數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是.5.(2015·福建卷)已知變量x，y滿足約束條件若z=2x-y的最大值為2，則實數(shù)m的值為.6.若實數(shù)x，y滿足約束條件則z=|x+2y-4|的最大值為.7.(2015·南京、鹽城一模)若變量x，y滿足約束條件則2x+y的最大值為.8.(2014·福建卷)已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為.二、解答題9.給出的平面區(qū)域是△ABC內(nèi)部及邊界(如圖中陰影部分所示)，若目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，求a的值及z的最大值.(第9題)10.已知實數(shù)x，y滿足不等式組(1)求z1=x2+y2的最小值；(2)求z2=的取值范圍.11.為保增長、促發(fā)展，某地計劃投資甲、乙兩個項目，根據(jù)市場調(diào)研知，甲項目每投資100萬元需要配套電能2萬千瓦·時，可提供就業(yè)崗位24個，GDP增長260萬元；乙項目每投資100萬元需要配套電能4萬千瓦·時，可提供就業(yè)崗位36個，GDP增長200萬元.已知該地為甲、乙兩個項目最多可投資3000萬元，配套電能100萬千瓦·時，若要求兩個項目能提供的就業(yè)崗位不少于840個，問：如何安排甲、乙兩個項目的投資額，才能使GDP增長得最多?三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.(2015·重慶卷)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則實數(shù)m的值為.13.(2015·蘇北四市期末)若實數(shù)x，y滿足x+y-4≥0，則z=x2+y2+6x-2y+10的最小值為.【檢測與評估答案】第46課簡單的線性規(guī)劃1.【解析】如圖，直線AC的方程為2x+y-5=0，直線BC的方程為x-y+2=0，直線AB的方程為x+2y-1=0.在三角形的內(nèi)部任取一點，如點(1，1)，代入上述三條直線方程的左邊得2×1+1-5<0，1-1+2>0，1+2×1-1>0.又因為含有邊界，所以△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為(第1題)2.-1【解析】根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當直線z=2x-y過點A時，z取得最小值.聯(lián)立解得所以A(0，1)，所以z=2x-y在點A處取得最小值為-1.(第2題)3.2【解析】作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分如示.聯(lián)立解得即點A(a，a).作直線l：z=x+y，則z為直線l在y軸上的截距，當直線l經(jīng)過可行域上的點A(a，a)時，直線l在y軸上的截距最大，此時z取最大值，即zmax=a+a=2a=4，解得a=2.(第3題)4.【解析】由條件知，可行域是以點A，B(3，6)，C(3，1)為頂點組成的三角形及其內(nèi)部(如圖中陰影部分所示)，而目標函數(shù)可化為z=+，其中==2，設(shè)f(t)=t2+，f'(t)=2t-=，其中t∈，故當t=1時，f(t)min=3.又f=，f(2)=5，故f(t)max=，即所求取值范圍為.(第4題)5.1【解析】將目標函數(shù)變形為y=2x-z，當z取最大值，則直線縱截距最小，故當m≤0時，不滿足題意；當m>0時，畫出可行域如圖中陰影部分所示，其中B.顯然O(0，0)不是最優(yōu)解，故只能B是最優(yōu)解，代入目標函數(shù)得-=2，解得m=1.(第5題)6.21【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示.由z=|x+2y-4|=·，知z=|x+2y-4|表示在可行域內(nèi)取一點到直線x+2y-4=0的距離的倍，由圖知點C(7，9)到直線x+2y-4=0的距離最大，所以zmax=|7+2×9-4|=21.(第6題)7.8【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.直線2x-y=0與直線x-2y+3=0的交點為(1，2)，代入目標函數(shù)m=x+y得到最大值為3，由函數(shù)y=2m為增函數(shù)，得2x+y的最大值為23=8.(第7題)8.37【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω如圖中陰影部分所示(含邊界)，圓C：(x-a)2+(y-b)2=1的圓心坐標為(a，b)，半徑為1.由圓C與x軸相切，得b=1.解方程組得即直線x+y-7=0與直線y=1的交點坐標為P(6，1).又點C∈Ω，則當點C與P重合時，a取得最大值，所以a2+b2的最大值為62+12=37.(第8題)9.直線z=ax+y(a>0)是斜率為-a，在y軸上的截距為z的直線族，從圖上可以看出，當-a小于直線AC的斜率時，目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解是(5，2)；當-a大于直線AC的斜率時，目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解是(1，4)；只有當-a等于直線AC的斜率時，目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解才有無窮多個，線段AC上的所有點都是最優(yōu)解.直線AC的斜率為-，所以a=時，z的最大值為×1+4=.10.首先畫出可行域，如圖中陰影部分所示.(第10題)(1)z1=x2+y2表示的是可行域內(nèi)任意一點(x，y)到點(0，0)的距離的平方.由圖可知，點A(x，y)到點O(0，0)的距離最小，點A的坐標是(1，0)，所以z1min=12+02=1.(2)z2=表示的是可行域內(nèi)