（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第六章 平面向量與復數(shù) 第34課 平面向量的基本定理及坐標表示 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

第34課平面向量的基本定理及坐標表示(本課時對應(yīng)學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修4P79練習2改編)在平面直角坐標系中，已知點P(1，2)，Q(4，3)，那么向量=.【答案】(3，1)【解析】注意向量的起點與終點.2.(必修4P82習題6改編)在△ABC中，點P在BC上，且=2，點Q是AC的中點，若=(4，3)，=(1，5)，則=.【答案】(-6，21)【解析】=3=3(2-)=6-3=(6，30)-(12，9)=(-6，21).3.(必修4P87習題1改編)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.4.(必修4P73習題6改編)已知點A(1，-3)和向量a=(3，4)，若=2a，則點B的坐標為.【答案】(7，5)【解析】設(shè)O為坐標原點，因為=2a=(6，8)=-，所以=+=(6，8)+(1，-3)=(7，5)，所以點B的坐標為(7，5).5.(必修4P73習題1改編)已知點A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x-2y)，若a與向量相等，則x-y=.【答案】1【解析】因為=(3，0)，a=，所以解得所以x-y=1.1.平面向量的基本定理(1)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的坐標形式在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底.對平面內(nèi)任意一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a=xi+yj(向量的分量表示)，記作a=(x，y)(向量的坐標表示)，其中x叫作a的橫坐標，y叫作a的縱坐標.3.平面向量的坐標運算(1)設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1).(2)若A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐標為(x2-x1，y2-y1).【要點導學】要點導學各個擊破平面向量基本定理的應(yīng)用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是的中點，=k(k≠1)，設(shè)=e1，=e2，選擇基底{e1，e2}，試寫出向量在此基底下的分解式.【思維引導】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最后利用+++=0，求得.(例1)【解答】如圖，因為=e2，且=k，所以=k=ke2.又因為+++=0，所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2.而+++=0，所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2.【精要點評】應(yīng)用平行向量的基本定理及向量的多邊形加法法則是解決本題的關(guān)鍵.變式(1)如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)=a，=b，若=2，則=.(用a和b表示)(變式(1))(變式(2))(2)如圖，向量=a，=b，=c，A，B，C在一條直線上，且=-3，則c=.(用a，b表示)(3)已知點P為△ABC內(nèi)一點，且3+4+5=0，延長AP交BC于點D，若=a，=b，用a，b表示向量.(1)【答案】a+b【解析】因為=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】-a+b【解析】因為=-3，所以-=-3(-)，所以=-+，即c=-a+b.(3)【解答】因為=-=-a，=-=-b，又因為3+4+5=0，所以3+4(-a)+5(-b)=0，化簡得=a+b.設(shè)=t(t∈R)，則=ta+tb.①又設(shè)=k(k∈R)，由=-=b-a，得=k(b-a).而=+=a+，所以=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②，得解得t=.代入①，有=a+b.平面向量的坐標運算例2已知點A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).設(shè)=a，=b，=c，且=3c，=-2b.(1)求3a+b-3c；(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m，n的值；(3)求點M，N的坐標及向量的坐標.【解答】由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).(1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(6，-42).(2)因為mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，所以解得(3)設(shè)O為坐標原點，因為=-=3c，所以=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20)，所以點M的坐標為(0，20).又因為=-=-2b，所以=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，所以點N的坐標為(9，2).所以=(9，-18).【精要點評】向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.變式1(2015·江蘇卷)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，則m-n的值為.【答案】-3【解析】因為ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，所以解得故m-n=-3.變式2(2015·湖南卷)已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標為(2，0)，則|++|的最大值為.【答案】7【解析】因為A，B，C均在單位圓上，且AB⊥BC，知A，C為直徑的端點，所以可令A(yù)(cosx，sinx)，則B(cos(x+α)，sin(x+α))，C(-cosx，-sinx)，0<α<π，則++=(cos(x+α)-6，sin(x+α))，所以|++|==≤7.利用平面向量的坐標表示解綜合問題例3已知O為坐標原點，A(0，2)，B(4，6)，=t1+t2.(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t1=1時，無論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線；(3)當t1=a2，⊥且△ABM的面積為12時，求實數(shù)a的值.【解答】(1)=t1+t2=t1(0，2)+t2(4，4)=(4t2，2t1+4t2).當點M在第二或第三象限時，有4t2<0，2t1+4t2≠0，故所求的充要條件為t2<0且t1+2t2≠0.(2)當t1=1時，由(1)知=(4t2，4t2+2).因為=-=(4，4)，=-=(4t2，4t2)=t2(4，4)=t2，又與有公共點A，所以不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線.(3)當t1=a2時，=(4t2，4t2+2a2).又因為=(4，4)，⊥，所以4t2×4+(4t2+2a2)×4=0，所以t2=-a2.所以=(-a2，a2).又因為||=4，點M到直線AB：x-y+2=0的距離d==|a2-1|.因為S△ABM=12，所以||×d=×4×|a2-1|=12，解得a=±2，故a的值為2或-2.變式如圖，給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.點C在以O(shè)為圓心的上移動.若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值為.(變式)【答案】2【解析】設(shè)∠AOC=α，0≤α≤，則即所以x+y=2[cosα+cos(-α)]=cosα+sinα=2sin≤2.1.若向量=(1，2)，=(3，4)，則=.【答案】(4，6)【解析】=+=(4，6).2.已知向量a=(1，y)，b=(x，-2)，若2a-3b=(5，8)，則x+y=.【答案】0【解析】由2a-3b=(2-3x，2y+6)=(5，8)，得解得所以x+y=0.3.已知點M(3，-2)，N(-5，-1)，若=，則點P的坐標為.【答案】【解析】設(shè)P(x，y)，則=(x-3，y+2)，=(-8，1)，由=，得(x-3，y+2)=(-8，1)，解得x=-1，y=-，所以點P的坐標為.4.設(shè)點A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且=2-3，則點D的坐標為.【答案】(2，16)【解析】因為=(3，1)，=(1，-4)，所以=(6，2)-(3，-12)=(3，14).設(shè)D(x，y)，則x+1=3且y-2=14，所以5.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，那么|+3|的最小值為.【答案】5(第5題)【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)C(0，b)，P(0，y)，則B(1，b)，又A(2，0)，則+3=(2，-y)+3(1，b-y)=(5，3b-4y)，所以|+3|2=25+(3b-4y)2，所以當3b-4y=0，即y=b時，|+3|2取得最小值25，即|+3|的最小值為5.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第67~68頁.【檢測與評估】第34課平面向量的基本定理及坐標表示一、填空題1.若作用在原點的三個力分別為=(1，2)，=(-1，-4)，=(-2，5)，則這三個力的合力的坐標為.2.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若=(2，4)，=(1，3)，則=.3.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，-2)，則c=.(用a，b表示)4.若a+b=(2，-8)，a-b=(-8，6)，則向量a=，b=.5.已知點M(3，2)，N(1，2)，a=(x+3，x-3y-4)，且a與相等，那么實數(shù)y的值為.6.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，則c=.(用a，b表示)7.已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，).若a-2b與c共線，則實數(shù)k=.8.已知向量a=(cosθ，sinθ)，b=(，1)，那么|2a-b|的最大值和最小值分別為.二、解答題9.已知點A(-1，2)，B(0，-2)，且2=3.若點D在線段AB上，求點D的坐標.10.已知m，x∈R，向量a=(x，-m)，b=((m+1)x，x).(1)若m=4，且|a|<|b|，求x的取值范圍；(2)若a·b>1-m對任意的實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍.11.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t，試問：(1)當t為何值時，點P在x軸上?點P在y軸上?點P在第三象限?(2)四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形?若能，求出t的值；若不能，請說明理由.三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.已知點A(7，1)，B(1，4)，直線y=ax與線段AB交于點C，且=2，則實數(shù)a=.13.設(shè)G為△ABC的重心，若△ABC所在平面內(nèi)一點P滿足+2+2=0，則的值為.【檢測與評估答案】第34課平面向量的基本定理及坐標表示1.(-2，3)【解析】合力為++=(-2，3).2.(-3，-5)【解析】在平行四邊形ABCD中，=-=(-)-=-2=(1，3)-2(2，4)=(-3，-5).3.-a+b【解析】設(shè)c=xa+yb，則(-1，-2)=x(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，所以解得即c=-a+b.4.(-3，-1)(5，-7)5.-【解析】由=(2，0)=a=(x+3，x-3y-4)，得解得6.3a-b【解析】設(shè)c=ma+nb，因為a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，所以解得所以c=3a-b.7.1【解析】因為a-2b=(，3)，所以由a-2b與c共線，得×-3k=0，解得k=1.8.4，0【解析】由題知2a-b=(2cosθ-，2sinθ-1)，所以|2a-b|==，所以最大值和最小值分別為4，0.9.設(shè)D(m，n).由2||=3||，點D在線段AB上可知2=3，即2(m+1，n-2)=3(0-m，-2-n)，即2m+2=-3m，且2n-4=-6-3n，解得m=n=-，所以點D的坐標為.10.(1)當m=4時，|a|2=x2+16，|b|2=25x2+x2=26x2.因為|a|<|b|，所以|a|2<|b|2，從而x2+16<26x2，所以16<25x2，解得x<-或x>.即實數(shù)x的取值范圍是∪.(2)因為a·b=(m+1)x2-mx.由題意得(m+1)x2-mx>1-m對任意的實數(shù)x恒成立，即(m+1)x2-mx+m-1>0對任意的實數(shù)x恒成立.當m+1=0，即m=-1時，顯然不恒成立.從而解得m>.即m的取值范圍是.11.=+t=(1+4t，2+5t).(1)點P(1+4t，2+5t)，當2+5t=0，即t=-時，點P在x軸上；當1+4t=0，即t=-時，點P在y軸上；當1+4t<0，2+5t<0，即t<-時，點P在第三象限.(2)若能構(gòu)成平行四邊形，則有=，即(1，2)=(3-4t，3-5t)