第01講 平面向量的基本概念（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

第01講平面向量的基本概念【人教A版2019】·模塊一向量的概念·模塊二相等向量與共線向量·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一向量的概念1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．注：①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．②看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?．向量的表示法(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量. 3．向量的有關(guān)概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：長度相等且方向相反的向量.【考點(diǎn)1向量概念的理解】【例1.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對各個項(xiàng)逐個判斷即可求解．【解答過程】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，對于（3），零向量的?？赡転?，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯誤，對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，故選：A．【例1.2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【解題思路】根據(jù)向量的定義即可判斷.【解答過程】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒有方向，是數(shù)量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故選：D．【變式1.1】（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．身高是一個向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長度兩個要素確定D．有向線段MN→和有向線段NM【解題思路】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【解答過程】A：由向量即有大?。ｉL）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯；C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長度三要素確定，故C錯；D：有向線段MN→和有向線段NM→的長度相等，故D故選：D.【變式1.2】（2023下·山西陽泉·高一校考期中）下列命題中真命題的個數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【解答過程】（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯誤，直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.【考點(diǎn)2向量的幾何表示與向量的?！俊纠?.1】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在(1)作出AB、BC、CD（圖中1個單位長度表示100m）；(2)求DA的模．【解題思路】（1）根據(jù)行走方向和單位長度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；（2）由題意可知，四邊形ABCD是平行四邊形，則可求得DA的模.【解答過程】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(-2,0)，又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以CD⊥BD，又CB=2003，所以DB=2002，即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為即可作出AB、BC、CD如下圖所示.（2）如圖，作出向量DA，由題意可知，CD//AB且所以四邊形ABCD是平行四邊形，則DA=所以DA的模為2003【例2.2】（2023下·高一課時練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量AB,（2）求|AD【解題思路】（1）根據(jù)題設(shè)以AB為正東方向，過A垂直于AB向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.（2）由題設(shè)知AB//CD，易知ABCD為平行四邊形，即可求【解答過程】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量AB,（2）根據(jù)題意，向量AB與CD方向相反，故向量AB//CD，又∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，則【變式2.1】（2023·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1）OA，使|OA|＝42，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2）AB，使|AB|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)（3）BC，使|BC|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B【解題思路】（1）由點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處和|OA|＝42，可得出點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量OA（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，得出在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2【解答過程】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|OA|＝42，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量OA（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，于是點(diǎn)C【變式2.2】（2023下·安徽淮北·高一?？茧A段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O(2)OB=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西(3)求出AB的值．【解題思路】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OA，（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OB，（3）根據(jù)向量的模的定義求AB.【解答過程】（1）因?yàn)镺A=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向，故向量OA

（2）因?yàn)镺B=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°

（3）

AB=模塊二模塊二相等向量與共線向量1．向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.注：①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．2．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.

(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點(diǎn).

(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線等.【考點(diǎn)1向量相等或共線的判斷】【例1.1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A．AB與AC共線 B．DE與CB共線C．CD與AE相等 D．AD與BD相等【解題思路】根據(jù)向量共線概念即可求解結(jié)果．【解答過程】因?yàn)锳B與AC不平行，所以AB與AC不共線，A錯因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則DE與BC平行，故DE與CB共線，B正確；因?yàn)镃D與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯；因?yàn)锳D=DB=-故選：B.【例1.2】（2023下·北京·高一東直門中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共線向量 D．模為0的向量與任意非零向量共線【解題思路】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.【解答過程】對于A：單位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯誤；對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤．對于C：平行向量一定是共線向量，故C錯誤；對于D：模為0的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；故選：D．【變式1.1】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)O是正方形ABCD的中心，則（

）A．向量AO，BO，OC，OD是相等的向量B．向量AO，BO，OC，OD是平行的向量C．向量AO，BO，OC，OD是模不全相等的向量D．AO=OC【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.【解答過程】

對于A項(xiàng)，AO，BO不共線，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，顯然OA,OB不平行，且O,A,B三點(diǎn)不共線，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知AO，BO，OC，OD的長度相等，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，AO,OC方向相同，BO又AO，BO，OC，OD的長度相等，所以AO=OC，BO=OD故選：D.【變式1.2】（2023下·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB與C．BD與EH共線 D．CD【解題思路】利用菱形的性質(zhì)及向量的定義逐一判斷即可.【解答過程】∵四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180°，即∴AB=EF,CD=FG，AB//即AB=EF，CD=FG，AB與對于C：若BD與EH共線，則必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，該條件不一定成立，如∠GCE=90°時，∠HED≠45°，故故選：C.【考點(diǎn)2用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】【例2.1】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=【解題思路】由AO=OC，BO=OD可得AC【解答過程】因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=OC，所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.【例2.2】（2022·高一課時練習(xí)）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EF=【解題思路】連接AC，易得EF，HG分別為△ABC和△ADC的中位線，進(jìn)而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF【解答過程】證明：如圖，連接AC，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF為△ABC的中位線，所以EF//AC，且同理，因?yàn)镚，H分別是CD，DA的中點(diǎn)，所以HG//AC，且所以EF//HG，且因?yàn)橄蛄縀F與HG方向相同，所以EF=【變式2.1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD、BC的中點(diǎn)，如圖．(1)寫出與向量FC共線的向量；(2)求證：BE=【解題思路】（1）由題意直接寫出與向量FC共線的向量即可；（2）證明四邊形BFDE是平行四邊形即可證明BE=【解答過程】（1）據(jù)題意，與向量FC共線的向量為：CF,FB,BF（2）證明：∵ABCD是平行四邊形，且E，F(xiàn)分別為邊AD，BC的中點(diǎn)，∴BF=ED，且BF//ED，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE=FD，且BE//FD，∴BE=【變式2.2】（2023下·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，BP⊥AC于P，AQ=13AC，G(1)求PQ；(2)驗(yàn)證：G、Q、B是否三點(diǎn)共線.【解題思路】（1）利用已知條件，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理，可求PQ；（2）利用向量共線，證明三點(diǎn)共線.【解答過程】（1）矩形ABCD中，AB=6，AD=2，則AC=ARt△ABC和Rt△ABP中，cos∠CAB=ABACAQ=13AC（2）GQ=GB=AB-AG=AB-12AD，則有GB=3GQ模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·高一課時練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【解題思路】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.【解答過程】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.故選：A.2．（2023下·江蘇南京·高一?？计谥校┫铝忻}中正確的有（

）A．若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．若a和b是都是單位向量，則aC．若a//b，則a與bD．零向量與任何向量共線【解題思路】根據(jù)平面向量的概念依次判斷即可得出.【解答過程】對A，兩個向量相等，則它們的大小和方向相同，與位置無關(guān)，故A錯誤；對B，若a和b是都是單位向量，則a=b=1對C，若a//b，則a與b的夾角為0°或180對D，根據(jù)共線向量的定義規(guī)定，零向量與任何向量共線，故D正確.故選：D.3．（2022·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的個數(shù)為（

）①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【解答過程】①錯誤，只有速度，位移是向量．②錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的．③錯誤，|④錯誤，非零向量a的單位向量有兩個，一個與a同向，一個與a反向．故選：A.4．（2022·高一課時練習(xí)）如果一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么（）A．s>|a| BC．s=|a| D．s與【解題思路】直接利用向量的摸和路程的定義的應(yīng)用即可求解.【解答過程】如果一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s=200+300=500km,|a|=200故選:A.5．（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命題正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若a→=C．若a→=b→，b→=c→，則【解題思路】A選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)向量的模及相等向量判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷，D選項(xiàng)，根據(jù)共線向量的定義判斷；【解答過程】對于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟?，但向量不一定相等，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)：因?yàn)閍→=b→，b→對于D項(xiàng)：若b→=0→，則不共線的a→，c→也有a故選：C.6．（2023上·福建廈門·高三?？奸_學(xué)考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使aa+bb=D．若a=b，b【解題思路】AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.【解答過程】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閍a與bb都是單位向量，所以只有當(dāng)aa與bb是相反向量，即a與b是反向共線時D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.故選：A.7．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與AB平行且模為2的向量共有A．12個 B．18個 C．24個 D．36個【解題思路】利用共線向量、模的計(jì)算公式、正方形的對角線即可得出.【解答過程】由題意知，每個小正方形的對角線與AB平行且模為2的所在的向量，3×4的格點(diǎn)圖中包含12個小正方形，所以有12條對角線，與AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個向量滿足.故選：C.8．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中，若AB=DC，且|AC|=|BD|，則四邊形ABCD為（A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定【解題思路】由向量相等的定義得出四邊形邊的關(guān)系，再由向量的模相等得四邊形對角線相等，從而可得四邊形形狀．【解答過程】若AB=DC，則AB=DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD又因?yàn)閨AC|=|BD|，即AC=BD，所以四邊形ABCD為矩形.故選：B．9．（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為其中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（

）

A．AB=OC BC．AD=BE D【解題思路】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【解答過程】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形OABC為平行四邊形，故AB=OC，故A對于B，因?yàn)锳B//DE，故AB∥DE對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得AD=BE，故AD=BE對于D，因?yàn)锳D,FC交于O，故AD=FC不成立，故故選：D.10．（2023·高二課時練習(xí)）若向量等式a+b=a-b成立，則A．a(chǎn)、b都是零向量B．a(chǎn)、b是平行向量C．a(chǎn)、b中有一個零向量或a、b是平行向量D．a(chǎn)=0或b是零向量或a、b【解題思路】將向量等式a+b=a-b兩邊平方,【解答過程】由知|a將a+b=a-所以a2+2a?b因?yàn)閍2=|a所以2a?b所以|a||b所以|a||b所以a=0或b=0或所以a=0或b=0或所以a=0或b=0或a,故選D.11．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫圖表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：(1)由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達(dá)C地；(3)由C地向正南方向航行20km到達(dá)D地．【解題思路】先畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，北偏東45°的角，并取出相應(yīng)的長度確定B點(diǎn)；接下來再以點(diǎn)A為頂點(diǎn)畫出北偏西30°的角，并取出相應(yīng)的長度確定C點(diǎn)，再以點(diǎn)C為頂點(diǎn)正南方向，并取出相應(yīng)的長度確定D點(diǎn)即可.【解答過程】（1）根據(jù)1:500000的比例尺，15km即圖上3

（2）根據(jù)1:500000的比例尺，20km即圖上4

（3）根據(jù)1:500000的比例尺，20km即圖上4

12．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD為正方形，BDCE為平行四邊形，

(1)與AB模長相等的向量有多少個？(2)寫出與AB相等的向量有哪些？(3)與AB共線的向量有哪些？(4)請列出與EC相等的向量．【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及相等向量、共線向量的定義判斷即可.【解答過程】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，