高中數(shù)學(xué)組合（解析版）

7.3組合一、組合1、定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素作為一組，叫做個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。2、兩個(gè)組合相同的條件：兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的。3、對(duì)組合概念的兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）組合的特點(diǎn)：組合要求個(gè)元素是不同的，被取出的個(gè)元素也是不同的，即從個(gè)不同元素中進(jìn)行次不放回地取出；（2）組合的特性：元素是無(wú)序的，即取出的個(gè)元素不講究順序，亦即元素沒(méi)有位置的要求。二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1、組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。2、組合數(shù)公式：（，且）3、組合數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）規(guī)定三、解答有限制條件的組合應(yīng)用題的基本方法1、直接法：用直接法求解時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”“特殊位置優(yōu)先安排”的原則，優(yōu)先選取特殊元素，再選取其他元素。2、間接法：選擇間接法的原則是“正難則反”，若正面問(wèn)題的分類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大時(shí)，可以考慮從反面問(wèn)題入手，特別是涉及“至多”“至少”等組合問(wèn)題時(shí)更是如此，此時(shí)，正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語(yǔ)的確切含義是解決這些組合問(wèn)題的關(guān)鍵。四、排列與組合的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)1、相同點(diǎn)：組合與排列都是“從不同的元素中取出個(gè)元素”2、不同點(diǎn)：組合中要求元素“不管元素的順序合成一組”，而排雷中要求元素“按照一定的順序排成一列”，因此區(qū)分某一個(gè)問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，即交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，若有影響，則是排雷問(wèn)題，若無(wú)影響，則是組合問(wèn)題。題型一組合的概念及判斷【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是（）①?gòu)娜?0人中選出5人組成班委會(huì)；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，從50人中選出5人組成班委會(huì)，不考慮順序是組合問(wèn)題.②為排列問(wèn)題.對(duì)于③，從1，2，3，…，9中任取兩個(gè)數(shù)求積是組合問(wèn)題.因?yàn)槌朔M足交換律，而減法和除法不滿足，故④為排列問(wèn)題.所以組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.【變式1-1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）從10個(gè)不同的非零的數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，求其和、差、積、商這四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)計(jì)算結(jié)果有影響，而加法和乘法運(yùn)算滿足交換律，交換兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)計(jì)算結(jié)果沒(méi)有影響.所以屬于組合的有加法和乘法，共2個(gè).故選：B【變式1-2】（2022春·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）（多選）下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的是（）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次B．平面上有2015個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段C．集合含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法【答案】ABC【解析】A.10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，與次序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題；B.平面上有2015個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)，與次序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題；C.集合含有三個(gè)元素的子集，與次序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題；D.選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱節(jié)目、乙參加獨(dú)舞節(jié)目”與“乙參加獨(dú)唱節(jié)目、甲參加獨(dú)舞節(jié)目”是兩個(gè)不同的選法，與次序無(wú)關(guān)，因此是排列問(wèn)題，不是組合問(wèn)題．故選：ABC【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）下列問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（）A．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每?jī)申?duì)比賽一次），共進(jìn)行多少次比賽B．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法【答案】AC【解析】A是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)進(jìn)行一次比賽，并沒(méi)有誰(shuí)先誰(shuí)后，沒(méi)有順序的區(qū)別.；B是排列問(wèn)題，因?yàn)榧钻?duì)獲得冠軍、乙隊(duì)獲得亞軍和甲隊(duì)獲得亞軍、乙隊(duì)獲得冠軍是不一樣的，存在順序區(qū)別；C是組合問(wèn)題，因?yàn)?名員工參加相同的活動(dòng)，沒(méi)有順序區(qū)別；D是排列問(wèn)題，因?yàn)檫x的3名員工參加的活動(dòng)不相同，存在順序區(qū)別，.故選：AC.題型二組合數(shù)公式的應(yīng)用【例2】（2022秋·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則方程的解是___________．【答案】1或2【解析】因?yàn)?，，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得或，解得或，故答案為：1或2【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，.故選：B．【變式2-2】（2022春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于m∈N*，n∈N*，m≤n，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知，成立，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，因此成立，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以不成立，D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式2-3】（2022春·江蘇連云港·高二江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，整理得，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)?，，所以．題型三分組分配問(wèn)題【例3】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）某社區(qū)為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進(jìn)行核酸檢測(cè)，需要完成隊(duì)伍組織?信息錄入?采集核酸三項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)至少安排一人但至多三人，則不同的安排方法有（）A．450種B．72種C．90種D．360種【答案】A【解析】6名志愿者分成三組，每組至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，共有種；第二種：人數(shù)為的三組，共有種.所以不同的安排方法共有種，故選：.【變式3-1】（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學(xué)參加A，B，C三個(gè)企業(yè)的調(diào)研工作，每個(gè)企業(yè)去2人，且甲去B企業(yè)，乙不去C企業(yè)，則不同的派遣方案共有（）A．42種B．30種C．24種D．18種【答案】D【解析】若甲乙去同一企業(yè)，則甲乙只能去B企業(yè)，剩下的4人平均分去兩個(gè)企業(yè)，共有種；若甲乙不去同一企業(yè)，分兩步，第一步：先給甲乙兩人選同伴，有種，第二步：將這三組分去三個(gè)企業(yè)，因?yàn)榧兹企業(yè)，乙不去C企業(yè)，所以共有1種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有種；所以不同的派遣方案共有種，故選：.【變式3-2】（2023·高二單元測(cè)試）某校高三年級(jí)進(jìn)行校際模擬聯(lián)考，某班級(jí)考試科目為語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理，化學(xué)，生物，已知考試分為三天進(jìn)行，且數(shù)學(xué)與物理不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一科考試.則不同的考試安排方案共有（）A．720種B．3168種C．1296種D．5040種【答案】D【解析】若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：.若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：，若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：，所以不同的考試安排方案共有種.故選：D【變式3-3】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）有5人參加某會(huì)議，現(xiàn)將參會(huì)人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)人入住，則這樣的安排方法共有（）A．96種B．124種C．150種D．130種【答案】C【解析】根據(jù)題意：分2步進(jìn)行：①5人在a、b、c三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)人入住，可以把5人分成三組，一種是按照1,1,3；另一種是按照1,2,2；當(dāng)按照1,1,3來(lái)分時(shí)共有種分組方法；當(dāng)按照1,2,2來(lái)分時(shí)共有種分組方法；則一共有種分組方法；②將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店，有種對(duì)應(yīng)方法；則安排方法共有種，故選：.【變式3-4】（2022秋·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）（多選）在中共二十大代表“燃燈校長(zhǎng)”張桂梅老師的不懈努力下，云南華坪山區(qū)的2000多名女孩圓了大學(xué)夢(mèng)，她扎根基層教育默默奉獻(xiàn)的精神感動(dòng)了無(wú)數(shù)人.受她的影響，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主動(dòng)到三所山區(qū)學(xué)校參加支教活動(dòng)，要求每個(gè)學(xué)校至少安排一名志愿者，下列結(jié)論正確的是（）A．共有18種安排方法B．若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有6種安排方法C．若學(xué)校需要兩名志愿者，則有24種安排方法D．若甲被安排在學(xué)校，則有12安排方法【答案】BD【解析】所有安排方法有，A錯(cuò)誤；若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有種安排方法，B正確；若學(xué)校需要兩名志愿者，則有種安排方法，C錯(cuò)誤；若甲被安排在學(xué)校，則有種安排方法，D正確.故選：BD.題型四隔板法的應(yīng)用【例4】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則有（）種分配方案.A．B．C．D．【答案】C【解析】問(wèn)題等價(jià)于將個(gè)完全相同的小球，放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少個(gè)球，由隔板法可知，不同的分配方案種數(shù)為.故選：C.【變式4-1】（2022秋·福建·高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于8(數(shù)字可以重復(fù))的四位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)____．【答案】120【解析】設(shè)對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于將3個(gè)表示0的球與8個(gè)表示1的球排成一排，即10個(gè)空用3個(gè)隔板將其分開(kāi)，故共種.【變式4-2】（2022春·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的三元一次方程，且，則該方程有__________組正整數(shù)解.【答案】【解析】方程，且的正整數(shù)解的組數(shù)等價(jià)于將個(gè)相同小球分成三組而每組至少有一個(gè)小球的分法總數(shù)則所求的正整數(shù)解的組數(shù)有【變式4-3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）某市擬成立一個(gè)由6名中學(xué)生組成的調(diào)查小組，并準(zhǔn)備將這6個(gè)名額分配給本市的4所實(shí)驗(yàn)中學(xué)，要求每所實(shí)驗(yàn)中學(xué)都有學(xué)生參加，那么不同的名額分配方法的種數(shù)是_________.【答案】10【解析】將6個(gè)名額排成一排，6個(gè)名額之間有5個(gè)空，用3塊隔板插入到這5個(gè)空中，每一種插空方法就是一種名額分配方法，共有種分配方法.【變式4-4】（2022春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將20個(gè)完全相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中．（1）若要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則一共有多少種放法？（2）若每個(gè)盒子可放任意個(gè)球，則一共有多少種放法？（3）若要求每個(gè)盒子放的球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則一共有多少種放法？【答案】（1）3876；（2）；（3）126．【解析】（1）把20個(gè)球擺好，在中間19個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種；（2）由題意可知，可以出現(xiàn)空盒子，所以把20個(gè)球和5個(gè)虛擬的球擺好，在中間24個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種；（3）先在編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中依次放入0，1，2，3，4個(gè)球，再只要保證余下的10個(gè)球每個(gè)盒子至少放一個(gè)，把10個(gè)球擺好，在中間9個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種.題型五多面手問(wèn)題【例5】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有8名學(xué)生，其中2名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，3名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，3名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從這8名學(xué)生中選出2名學(xué)生，其中一名學(xué)生參加象棋比賽，另一名學(xué)生參加圍棋比賽，則不同的選派方法有（）A．18B．24C．27D．30【答案】C【解析】3名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選取人時(shí)，方法數(shù)有種.3名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選取人時(shí)，方法數(shù)種.3名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選取人時(shí)方法數(shù)種.故總的方法數(shù)有種.故選：C【變式5-1】（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，某單位龍舟隊(duì)欲參加端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）．A．26種B．31種C．36種D．37種【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)只會(huì)劃左槳的人，只會(huì)劃右槳的人，既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳的人，據(jù)此分3種情況討論：①?gòu)闹羞x3人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法；②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法；③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法.故選：D．【變式5-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．【答案】37【解析】首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確，可以選擇“只會(huì)排版”、“只會(huì)印刷”、“既會(huì)排版又會(huì)印刷”中的一個(gè)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．下面選擇“既會(huì)排版又會(huì)印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照被選出的人數(shù)，可將問(wèn)題分為三類：第一類：2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有3×1=3種選法．第二類：2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再?gòu)臅?huì)排版的3人中選1人，有3種選法只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×1=6種選法；若此人去印刷，則再?gòu)臅?huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×2=12種選法；再由分類計(jì)數(shù)原理知共有6+12=18種選法．第三類：2人全被選出，同理共有16種選法．所以共有3+18+16=37種選法．【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法．A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的人中入選的人數(shù)分類處理．第一類個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來(lái)跳舞，接著從剩余的5人中選擇3人唱歌，故有種；第二類個(gè)只會(huì)跳舞的有人入選，有種，再?gòu)膹募饶艹栌帜芴璧?人中選擇2人來(lái)跳舞，有種，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇3人唱歌，有種，故有種；第三類個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種，再?gòu)膹募饶艹栌帜芴璧?人中選擇1人來(lái)跳舞，有種，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇3人唱歌，有種，有種，所以共有種不同的選法，故選：A．【變式5-4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在名工人中,有人只當(dāng)鉗工,人只當(dāng)車工,另外人既會(huì)鉗工又會(huì)車工，現(xiàn)從人中選出人當(dāng)鉗工,人當(dāng)車工,則共有（）種不同的選法.A．B．C．D．【答案】D【解析】按即會(huì)鉗工又會(huì)車工的2人分類：2人都不選的情況有種，只選1人且當(dāng)鉗工的情況有種，只選1人且當(dāng)車工的情況有種，選2人其中1人鉗工1人車工的情況有種，選2人都當(dāng)鉗工的情況有種，選2人都當(dāng)車工的情況有種，由分類加法原理得選法有種.故選：D.題型六幾何組合計(jì)數(shù)問(wèn)題【例6】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正三角形的12個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，能構(gòu)成三角形的數(shù)量為（）A．220B．200C．190D．170【答案】C【解析】任取三個(gè)點(diǎn)有種，其中三點(diǎn)共線的有種，故能構(gòu)成三角形個(gè)，故選：C.【變式6-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）個(gè)點(diǎn)將半圓分成段弧，以個(gè)點(diǎn)（包括個(gè)端點(diǎn)）為頂點(diǎn)的三角形中鈍角三角形有（）個(gè)A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，如圖：