新教材蘇教版高中數學必修第一冊第8章函數應用-學案講義(知識點考點匯總及配套習題)

第八章函數應用TOC\o"1-5"\h\z\u8.1二分法與求方程近似解 18.1.1函數的零點 18.1.2用二分法求方程的近似解 108.2函數與數學模型 178.2.1幾個函數模型的比較 178.2.2函數的實際應用 23章末復習 338.1二分法與求方程近似解8.1.1函數的零點學習任務核心素養(yǎng)1．理解函數的零點的概念以及函數的零點與方程根的關系．(重點)2．會求函數的零點．(重點、難點)3．掌握函數零點的存在定理并會判斷函數零點的個數．(難點)1．通過零點的求法，培養(yǎng)數學運算和邏輯推理的素養(yǎng)．2．借助函數的零點與方程根的關系，培養(yǎng)直觀想象的數學素養(yǎng).解方程的歷史方程解法時間圖·東方方程解法時間圖·西方知識點1函數的零點的定義一般地，我們把使函數y＝f(x)的值為0的實數x稱為函數y＝f(x)的零點．1.函數的零點是點嗎？[提示]不是，函數的零點是實數．知識點2方程、函數、圖象之間的關系(1)函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數解．(2)函數y＝f(x)的零點就是它的圖象與x軸交點的橫坐標．2.函數的零點是函數與x軸的交點嗎？[提示]不是，函數的零點是函數圖象與x軸交點的橫坐標．1.函數f(x)＝2x－4的零點是________．2[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函數f(x)的零點．]知識點3零點存在定理若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)<0，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點．2.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何函數都有零點．()(2)任意兩個零點之間函數值保持同號．()(3)若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，則一定有f(a)·f(b)＜0.()[提示](1)可舉反例f(x)＝x2＋1無零點．(2)兩個零點間的函數值可能會保持同號，也可以異號，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三個零點，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)為正，在(2,3)上f(x)為負，故在零點1和3之間函數值有正有負或零．(3)舉例f(x)＝x2－1，選擇區(qū)間(－2,2)，顯然f(x)在(－2,2)上有零點1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案](1)×(2)×(3)×類型1求函數的零點【例1】求下列函數的零點．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．[解](1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零點為x＝－1，0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零點為x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴l(xiāng)og4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零點為x＝4.(4)當a＝0時，函數為f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零點為2.當a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)2，令f(x)＝0，得x1＝x2＝2.∴f(x)有零點2.當a≠0且a≠eq\f(1,2)時，令f(x)＝0，得x1＝eq\f(1,a)，x2＝2.∴f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.綜上，當a＝0時，f(x)的零點為2；當a＝eq\f(1,2)時，函數的零點為2；當a≠0且a≠eq\f(1,2)時，f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.怎樣求函數的零點？[提示]求函數f(x)的零點時，通常轉化為解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有實數根，則函數f(x)存在零點，該方程的根就是函數f(x)的零點；否則，函數f(x)不存在零點．[跟進訓練]1．(1)求函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點；(2)已知函數f(x)＝ax－b(a≠0)的零點為3，求函數g(x)＝bx2＋ax的零點．[解](1)當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當x>0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點為－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,3).所以函數g(x)的零點為0和－eq\f(1,3).類型2函數零點的證明【例2】證明函數f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)在(1,2)上存在零點．[證明]因為f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，且函數f(x)在區(qū)間(1,2)上的圖象是不間斷的，所以函數f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)在(1,2)上存在零點．若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點．[跟進訓練]2．證明f(x)＝x3＋3x－1在區(qū)間(0,1)上有零點．[證明]因為f(0)＝03＋3×0－1＝－1<0，f(1)＝13＋3－1＝3>0，且函數f(x)在區(qū)間(0,1)上的圖象是不間斷的，所以函數f(x)＝x3＋3x－1在(0,1)上有零點．類型3判斷零點所在的區(qū)間【例3】(1)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(1)A(2)C[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)內有零點，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)內有根．故選A.(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)內有零點．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函數的零點所在區(qū)間即為函數y＝ex和y＝2－x的圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間．如圖，由圖象可得函數y＝ex和y＝2－x的圖象交點所在的區(qū)間為(0,1)．]確定函數f(x)零點所在區(qū)間的常用方法解方程法當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上零點存在定理首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點數形結合法通過畫函數圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷[跟進訓練]3．根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區(qū)間是________．(填序號)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③[設f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)內．]類型4函數零點(方程不等實根)個數的判斷【例4】(1)函數f(x)＝ex－3的零點個數為________．(2)函數f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數是________．(3)已知關于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，試討論方程實數根的個數．(1)1(2)2[(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln3，故f(x)只有1個零點．(2)在同一坐標系中畫出y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象，如圖所示，函數y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象有兩個交點，所以函數f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數為2.](3)[解]法一：原方程化為－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函數f(x)＝－x2＋5x－3的圖象，拋物線的開口向下，頂點的縱坐標為eq\f(12－25,4×－1)＝eq\f(13,4)，畫出如圖所示的簡圖：由圖象可以看出：①當a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數根；②當a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數根；③當a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數根．法二：原方程化為x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a①當Δ＜0，即a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數根；②當Δ＝0，即a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＞0，即a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數根．把本例(1)函數改為“y＝2x|logax|－1(0<a<1)”再判斷其零點個數．[解]由2x|logax|－1＝0得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x及y＝|logax|(0<a<1)的圖象如圖所示，由圖可知，兩函數的圖象有兩個交點，所以函數y＝2x|logax|－1有兩個零點．判斷函數零點的個數的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數的單調性判斷零點的個數．(2)利用函數圖象交點的個數判定函數零點的個數．[跟進訓練]4．函數f(x)＝lgx－sinx的零點有i(i∈N*)個，記為xi，xi∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(k＋1π,2)))，k∈N*，則k構成的集合為____________．{1,4,5}[由f(x)＝lgx－sinx得lgx＝sinx，在同一坐標系中作出y＝lgx和y＝sinx的圖象，如下圖，由圖象知，函數f(x)＝lgx－sinx有三個零點x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，\f(5π,2)))，x3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))，因為xi∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(k＋1π,2)))，k∈N*，所以k＝1,4,5，所以k構成的集合為{1,4,5}．]課堂達標練習1．(多選題)下列圖象表示的函數中有零點的是()BCD[B、C、D的圖象均與x軸有交點，故函數均有零點，A的圖象與x軸沒有交點，故函數沒有零點．]2．函數f(x)＝2x－3的零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝22－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即函數f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．]3．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數為()A．1 B．2C．3 D．4C[因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，所以0是函數f(x)的一個零點．當x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3.分別畫出函數y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，有一個交點，所以函數f(x)在(0，＋∞)上有一個零點．又根據對稱性知，當x＜0時函數f(x)也有一個零點．綜上所述，f(x)的零點個數為3.應選C.]4．已知函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函數f(x)存在零點的區(qū)間有________個．4[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4個區(qū)間．]5．函數f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，實數a的取值范圍為________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))[由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．你認為函數零點存在定理中要注意哪些問題？[提示](1)函數是連續(xù)的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一個零點．2．f(a)·f(b)<0是連續(xù)函數在區(qū)間(a，b)上存在零點的什么條件？f(a)·f(b)>0時在區(qū)間上一定沒有零點嗎？[提示]充分不必要條件．不一定，f(a)·f(b)>0時函數在區(qū)間(a，b)上可能有零點．8.1.2用二分法求方程的近似解學習任務核心素養(yǎng)1．通過實例理解二分法的概念．(難點)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能夠借助計算器用二分法求方程的近似解．(重點)借助二分法的操作步驟與思想，培養(yǎng)邏輯推理數學建模、數學抽象的數學核心素養(yǎng).通過上一節(jié)的學習，利用函數的零點存在定理可以確定函數的零點所在的區(qū)間，請利用計算器嘗試探求函數f(x)＝lnx＋2x－6零點的近似值(精確到0.1)．知識點1二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．1.觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()ABCD[答案]A知識點2用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步驟(1)確定區(qū)間：一元方程f(x)＝0的根所在的區(qū)間[a，b]，使f(a)·f(b)<0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點：x1＝eq\f(a＋b,2).(3)計算f(x1)．①若f(x1)＝0，則x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；②若f(a)·f(x1)<0，則令b＝x1，此時零點x0∈(a，x1)；③若f(x1)·f(b)<0，則令a＝x1，此時零點x0∈(x1，b)．(4)判斷是否達到題目要求，即若達到，則得到一元方程f(x)＝0近似解，否則重復步驟(2)～(4)．用“二分法”求方程的近似解時，應通過移項問題轉化為求函數的零點近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解時可構造函數h(x)＝f(x)－g(x)，將問題轉化為求h(x)的零點近似值的問題．2.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函數f(x)＝|x|可以用二分法求零點．()(3)用二分法求函數零點的近似值時，每次等分區(qū)間后，零點必定在右側區(qū)間內．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可將y＝f(x)在[a，b]內的所有零點得到．()[提示]四句話都是錯的．(1)中，二分法求出的解也有精確解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解時，中點為x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零點時，零點可以在等分區(qū)間后的右側，也可以在左側．(4)中f(x)在[a，b]內的近似解可能有多個，而二分法求解時，只須達到一定的精確度即可，故可能會漏掉一些，另外在等分區(qū)間后，中點的函數值與某一端點函數值同號時內部也未必沒有零點，故采用“二分法”不一定求出函數的所有零點的近似解．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×類型1“二分法”的概念【例1】下列函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點近以值的是()ABCDD[根據二分法的基本方法，函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0，即函數的零點是變號零點，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點的近似值．對各圖象分析可知，選項A、B、C都符合條件，而選項D不符合，由于零點左右兩側的函數值不變號，因此不能用二分法求函數零點的近似值．故選D.]判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變號零點不適用．[跟進訓練]1．已知函數f(x)的圖象如圖，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3D[圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數為3，故選D.]2．關于“二分法”求方程的近似解，下列說法正確的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可將y＝f(x)在[a，b]內的所有零點得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)＝f(x)在[a，b]內的零點C．應用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]內有可能無零點D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]內的精確解D[如果函數在某區(qū)間滿足二分法，且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，∴A錯誤；二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內一定存在零點，∴B錯誤；C只要限定了近似解的范圍就可以得到方程的近似解，∴C錯誤；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函數的精確零點，∴D正確．]類型2用“二分法”求方程的近似解【例2】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個正實數近似解(精確度0.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，經計算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數f(x)在(0,1)內存在零點，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內有解．取(0,1)的中點0.5，經計算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實數根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點cf(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作為方程的一個正實數近似解．1．(變條件)若本例中的“精確度0.1”換為“精確度0.05[解]在本例的基礎上，取區(qū)間(0.6875,0.75)的中點x＝0.71875，因為f(0.71875)<0，f(0.75)>0且|0.71875－0.75|＝0.03125<0.05，所以x＝0.72可作為方程的一個近似解．2．(變條件)若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”換為“x2－2x＝1[解]設f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在區(qū)間(2,3)內，方程x2－2x－1＝0有一解，記為x0.取2與3的平均數2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2與2.5的平均數2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此繼續(xù)下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0?x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一個精確度為0.1的近似解可取為2.4375.用二分法求方程的近似解應明確兩點(1)根據函數的零點與相應方程的解的關系，求函數的零點與求相應方程的解是等價的，求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解．(2)對于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解．[跟進訓練]3．求eq\r(3,2)的近似值．(精確到0.1)[解]eq\r(3,2)是x3＝2的根，因此可構造f(x)＝x3－2，問題轉化為“求f(x)的零點的近似解”．用二分法求其零點．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間．用二分法逐次計算，如下：f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)<0，f(1.375)>0?x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)<0，f(1.3125)>0?x1∈(1.25,1.3125)，至此可見，區(qū)間[1.25,1.3125]上所有值精確到0.1均為1.3，所以1.3是eq\r(3,2)精確到0.1的近似值．課堂達標練習1．用“二分法”可求一元方程的近似解，對于精確到ε的說法正確的是()A．ε越大，近似解的精確度越高B．ε越大，近似解的精確度越低C．重復計算次數就是εD．重復計算次數與ε無關B[依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，近似解的精確度越低．]2．在用二分法求函數f(x)零點近似值時，第一次取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]D[因第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，所以第二次所取的區(qū)間可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的區(qū)間可能為[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案為D.]3．已知函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點是________．x3[因為x3左右兩側的函數值同號，故其不能用二分法求解．]4．用二分法求函數y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，精確到0.1，取區(qū)間(2,4)的中點x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0∈________.(填區(qū)間)(2,3)[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]5．如圖，一塊電路板的線路AB之間有64個串聯的焊接點(不含端點A，B)，如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致，要想檢驗出哪一處的焊口脫落，則至多需要檢測________次．6[第1次取中點把焊點數減半為eq\f(64,2)＝32，第2次取中點把焊點數減半為eq\f(32,2)＝16，第3次取中點把焊點數減半為eq\f(16,2)＝8，第4次取中點把焊點數減半為eq\f(8,2)＝4，第5次取中點把焊點數減半為eq\f(4,2)＝2，第6次取中點把焊點數減半為eq\f(2,2)＝1，所以至多需要檢測的次數是6.]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．用二分法求函數近似零點時，函數應滿足哪些條件？[提示](1)f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象連續(xù)不斷．(2)在區(qū)間(a，b)端點的函數值f(a)·f(b)<0.2．使用二分法求方程近似解的理論依據是什么？[提示]零點存在定理．8.2函數與數學模型8.2.1幾個函數模型的比較學習任務核心素養(yǎng)1．理解指數爆炸、直線上升、對數增長的含義．(重點)2．區(qū)分指數函數、一次函數以及對數函數增長速度的差異．(易混點)3．會選擇適當的函數模型分析和解決一些實際問題．(難點)借助三個函數模型的增長特征，培養(yǎng)數學運算、數學建模的核心素養(yǎng).我們看到，一次函數與指數函數的增長方式存在很大差異．事實上，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數增長方式的差異，那么就可以根據現實問題的增長情況，選擇合適的函數模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數、指數函數和對數函數增長方式的差異．知識點三種函數模型的性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數增函數增函數圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x增大逐漸近似與x軸平行保持固定增長速度增長速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于y＝kx(k>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢；在描述現實問題的變化規(guī)律時，常用“指數爆炸”“直線上升”“對數增長”來表示指數函數、一次函數、對數函數的增長方式．②當x足夠大時，總有ax>kx>logax思考辨析(正確的畫√，錯誤的畫×)(1)當x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數．()(2)對任意的x>0，kx>logax.()(3)對任意的x>0，ax>logax.()(4)函數y＝log2x增長的速度越來越慢．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√類型1幾類函數模型的增長差異【例1】(1)下列函數中，增長速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x(2)下面對函數f(x)＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的遞減情況說法正確的是()A．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越慢B．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快C．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度不變D．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快(1)A(2)C[(1)指數函數y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快，應選A.(2)觀察函數f(x)＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(如圖)可知：函數f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢，在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢；函數g(x)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數h(x)的圖象遞減速度不變．]常見的函數模型及增長特點(1)線性函數模型一次函數模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(2)指數函數模型指數函數模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數爆炸”．(3)對數函數模型對數函數模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．[跟進訓練]1．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數據如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3325.3225.9076.3226.6446.907關于x呈指數函數變化的變量是________．y2[以爆炸式增長的變量呈指數函數變化．從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關于x呈指數型函數變化．故填y2.]類型2指數函數、對數函數與一次函數模型的比較【例2】函數f(x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；(2)結合函數圖象，判斷feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))與geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(2020)與g(2020)的大小．[解](1)C1對應的函數為g(x)＝2x，C2對應的函數為f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，從圖象上可以看出，當1＜x＜2時，f(x)＜g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))；當x＞2時，f(x)＞g(x)，∴f(2020)＞g(2020)．由圖象判斷指數函數、一次函數的方法根據圖象判斷增長型的指數函數、一次函數時，通常是觀察函數圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數是指數函數．[跟進訓練]2．函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據函數的增長差異指出曲線C1，C2分別對應的函數；(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．[解](1)C1對應的函數為g(x)＝0.3x－1，C2對應的函數為f(x)＝lgx.(2)當x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)；當x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．類型3函數模型的選擇【例3】某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？[解]作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．幾類不同增長函數模型選擇的方法(1)增長速度不變，即自變量增加相同量時，函數值的增量相等，此時的函數模型是一次函數模型．(2)增長速度越來越快，即自變量增加相同量時，函數值的增量成倍增加，此時的函數模型是指數函數模型．(3)增長速度越來越慢，即自變量增加相同量時，函數值的增量越來越小，此時的函數模型是對數函數模型．[跟進訓練]3．某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關數據，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來擬合h與t的關系，你認為哪個符合？并預測第8年的松樹高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解]在坐標軸上標出t(年)與h(米)之間的關系如圖所示．由圖象可以看出增長的速度越來越慢，用一次函數模型擬合不合適，則選用對數函數模型比較合理．不妨將(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函數h＝log3(t＋1)來擬合這個實際問題．當t＝8時，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可預測第8年松樹的高度為2米．課堂達標練習1．已知變量y＝1＋2x，當x減少1個單位時，y的變化情況是()A．y減少1個單位 B．y增加1個單位C．y減少2個單位 D．y增加2個單位C[結合函數y＝1＋2x的變化特征可知C正確．]2．下列函數中，隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝2x D．y＝e－xA[結合指數函數、對數函數及一次函數的圖象變化趨勢可知A正確．]3．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”．如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數y的關系圖，那么最適合擬合紅豆的枝數與生長時間的關系的函數是()A．指數函數y＝2t B．對數函數y＝log2tC．冪函數y＝t3 D．二次函數y＝2t2A[根據已知所給的關系圖，觀察得到圖象在第一象限，且從左到右圖象是上升的，并且增長速度越來越快，根據四個選項中函數的增長趨勢可得，用指數函數擬合最好，故選A.]4．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時，應分別選擇________方案．乙、甲、丙[將投資數分別代入甲、乙、丙的函數關系式中比較y值的大小即可求出．]5．某種產品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件數是定價的一次函數，則這個函數解析式為________．[答案]y＝－eq\f(1,4)x＋50(0<x<200)回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．比較函數增長情況有哪些方法？[提示](1)解析法．直接看解析式是一次函數、指數型函數還是對數函數．(2)表格法．通過分析表格中的數據得出函數增長速度差異．(3)圖象法．在同一坐標系中畫出函數的圖象，觀察圖象并借助計算器．2．三類不同增長的函數有哪些特點？[提示]當自變量很大時，(1)y＝kx＋b直線上升；(2)y＝ax(a>1)指數爆炸；(3)y＝logax(a>1)對數增長．8.2.2函數的實際應用學習任務核心素養(yǎng)1．了解數學建模的基本步驟，體會數學建模的基本思想．(難點)2．了解指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等函數模型的意義，并能進行簡單應用．(重點)通過學習本節(jié)內容，提升數學建模和數學運算的核心素養(yǎng).函數是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數學模型，是研究變量之間依賴關系的有效工具，利用函數模型可以處理生產、生活中許多實際問題．某網球中心欲建連成片的網球場數塊，用128萬元購買土地10000m2，該中心每塊球場的建設面積為1000m2，球場的總建筑面積的每平方米的平均建設費用與球場數有關．當該中心建球場x塊時，每平方米的平均建設費用(單位：元)可近似地用函數f(x)＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x－5,20)))來刻畫．為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設費用與購地費用之和)，該網球中心應建幾個球場？生活中經常會遇到這種成本最低、利潤最高等問題，如何處理這些問題呢？知識點函數的實際應用1．常見的函數模型(1)一次函數模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)；(2)反比例函數模型：f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數，k≠0)；(3)二次函數模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)；(4)指數函數模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，b≠1)；(5)對數函數模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數，m≠0，a＞0，a≠1)；(6)冪函數模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0，n≠1)．(7)分段函數模型；(8)對勾函數模型：f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a為正常數)．“對勾”函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性質①該函數在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調遞減．②當x>0時，x＝eq\r(a)時取最小值2eq\r(a)；當x<0時，x＝－eq\r(a)時取最大值－2eq\r(a).2．解決實際問題的一般流程eq\x(實際問題)→eq\x(建立數學模型)→eq\x(求解數學模型)→eq\x(解決實際問題)其中建立數學模型是關鍵．3．用函數模型解決實際問題的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，用函數刻畫實際問題，初步選擇模型；(2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將利用數學知識和方法得出的結論還原到實際問題中．1.思考辨析(正確的畫√，錯誤的畫×)(1)在一次函數模型中，系數k的取值會影響函數的性質．()(2)在冪函數模型的解析式中，a的正負會影響函數的單調性．()(3)用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了．()[答案](1)√(2)√(3)×2.某商場在銷售空調旺季的4天內的利潤如下表所示．時間/天1234利潤/千元23.988.0115.99現構建一個銷售這種空調的函數模型，應是下列函數中的()A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2xB[逐個檢驗可得答案為B.]類型1利用已知函數模型解實際問題【例1】通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間．講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min)，有以下公式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.1x2＋2.6x＋43，0<x≤10，,59，10<x≤16，,－3x＋107，16<x≤30.))(1)開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？(2)開講后5min與開講后20min比較，學生的接受能力何時強一些？(3)一道數學難題，需要55的接受能力以及13min時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題？[解](1)當0<x≤10時，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上單調遞增，最大值為f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；當16<x≤30時，f(x)單調遞減，f(x)<－3×16＋107＝59.因此，開講后10min，學生達到最強的接受能力(值為59)，并維持6min.(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．因此，開講后5min學生的接受能力比開講后20min強一些．(3)當0<x≤10時，令f(x)＝55，則－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6，但0<x≤10，故x＝6.當16<x≤30時，令f(x)＝55，則－3x＋107＝55.所以x＝17eq\f(1,3).因此，學生達到(或超過)55的接受能力的時間為17eq\f(1,3)－6＝11eq\f(1,3)<13(min)，所以老師來不及在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題．已知函數模型解決實際問題，往往給出的函數解析式含有參數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值．[跟進訓練]1．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到32℃時，需要多長時間？[解]先設定半衰期h，由題意知40－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(20,h))，解之，得h＝10，故原式可化簡為T－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))，當T＝32時，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))＝eq\f(8,64)＝eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴t＝30.因此，需要30min，可降溫到32℃類型2自建確定性函數模型解決實際問題【例2】牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當的空閑量．已知羊群的年增長量y只和實際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．(1)寫出y關于x的函數解析式，并指出這個函數的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值．[思路點撥]eq\x(畜養(yǎng)率)→eq\x(空閑率)→eq\x(\a\al(y與x之間,的函數關系))eq\o(→,\s\up7(單調性))eq\x(求最值)[解](1)根據題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)對原二次函數配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，即當x＝eq\f(m,2)時，y取得最大值eq\f(km,4).1．(變條件)若將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成反比”又如何表示出y關于x的函數解析式？[解]根據題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，因為羊群的年增長量y只和實際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))(0<x<m)．2．(變結論)若本例條件不變，求當羊群的年增長量達到最大值時，k的取值范圍．[解]由題意知為給羊群留有一定的生長空間，則有實際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0<x＋y<m.因為當x＝eq\f(m,2)時，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因為k>0，所以0<k<2.自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么，設什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務．設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設核心因素為自變量．列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等．限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等．[跟進訓練]2．某工廠生產過程中產生的廢氣必須經過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：小時)之間的關系為p(t)＝p0e－kt(式中的e為自然對數的底數，p0為污染物的初始含量)．過濾1小時后，檢測發(fā)現污染物的含量減少了eq\f(1,5).(1)求函數關系式p(t)；(2)要使污染物的含量不超過初始值的eq\f(1,1000)，至少還需過濾幾個小時？(參考數據：lg2≈0.3)[解](1)根據題意，得eq\f(4,5)p0＝p0e－k，∴e－k＝eq\f(4,5)，∴p(t)＝p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t.(2)由p(t)＝p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t≤eq\f(1,1000)p0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t≤10－3，兩邊取對數并整理得t(1－3lg2)≥3，∴t≥30.因此，至少還需過濾30個小時．類型3擬合數據構建函數模型解決實際問題【例3】某企業(yè)常年生產一種出口產品，自2017年以來，每年在正常情況下，該產品產量平穩(wěn)增長．已知2017年為第1年，前4年年產量f(x)(萬件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2017～2020年該企業(yè)年產量的散點圖；(2)建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產量變化的函數模型，并求出函數解析式；(3)2021年(即x＝5)因受到某國對我國該產品反傾銷的影響，年產量減少30%，試根據所建立的函數模型，確定2021年的年產量為多少？[解](1)畫出散點圖，如圖所示．(2)由散點圖知，可選用一次函數模型．設f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.檢驗：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函數模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年產量的變化．(3)根據所建的函數模型，預計2021年的年產量為f(5)＝1.5×5＋2.5＝10萬件，又年產量減少30%，即10×70%＝7萬件，即2021年的年產量為7萬件．函數擬合與預測的一般步驟(1)根據原始數據、表格，繪出散點圖．(2)通過考察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線．(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．[跟進訓練]3．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據表中提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關系？試寫出這個函數模型的解析式；(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？[解](1)以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出散點圖．根據點的分布特征，可考慮以y＝a·bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關系的函數模型．取其中的兩組數據(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用計算器算得a≈2，b≈1.02.這樣，我們就得到一個函數模型：y＝2×1.02x.將已知數據代入上述函數解析式，或作出上述函數的圖象，可以發(fā)現，這個函數模型與已知數據的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關系．(2)將x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由計算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，這個男生偏胖．課堂達標練習1．已知：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x，y的函數關系與下列哪類函數最接近？(其中a，b為待定系數)()A．y＝a＋eq\f(b,x) B．y＝a＋bxC．y＝a＋logbx D．y＝a·bxD[由表知x可以取“0”對于B：當x＝0時，y＝a＝1，∴a＝1，當x＝1時，y＝a＋b＝2.02，b可以取1，當x＝2時，y＝1＋2＝3；當x＝3時，y＝1＋3＝4與表中各數據相差較大，可知只有D正確．]2．根據日常生活A、B、C、D四個實際問題，現各收集到的五組數據在平面直角坐標系中畫出的散點圖(如圖所示)，能夠構建對數函數模型解決實際問題且擬合度較高的是()ABCD[答案]B3．若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是()A．y＝0.9576eq\s\up8(\f(x,100))B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))xD．y＝1－0.0424eq\s\up8(\f(x,100))A[由題意可知y＝(95.76%)eq\s\up8(\f(x,100))，即y＝0.9576eq\s\up8(\f(x,100)).]4．某商店每月利潤的平均增長率為2%，若12月份的利潤是當年1月份利潤的k倍，則k＝________.1.0211[設1月份利潤為x，則12月份的利潤y＝x(1＋2%)11＝kx，∴k＝1.0211.]5．在一定范圍內，某種產品的購買量y噸與單價x元之間滿足一次函數關系，如果購買1000噸，每噸為800元；購買2000噸，每噸為700元，一客戶購買400噸，單價應該是________元．860[依題意，可設y與x的函數關系式為y＝kx＋b，由x＝800，y＝1000及x＝700，y＝2000，可得k＝－10，b＝9000，即y＝－10x＋9000，將y＝400代入得x＝860(元)．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．什么是數據擬合？[提示]數據擬合是研究變量之間的關系，并給出一種近似數學表達式的一種方法．2．用數據擬合法如何建立函數模型？[提示]一般是先作出散點圖，近而根據散點趨勢選擇相關模型予以擬合．3．函數模型的應用舉例主要包括哪些方面？[提示](1)利用給定的函數模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數模型解決實際問題；(3)建立擬合函數模型解決實際問題．章末復習類型1函數的零點與方程的根的關系及應用根據函數零點的定義，函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有根，有幾個根．從圖形上說，函數的零點就是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數的零點、方程的根、函數的圖象與x軸交點的橫坐標三者之間有著內在的本質聯系，利用它們之間的關系，可以解決很多函數、方程與不等式的問題．從高考題型上看，這類題目，既有選擇題，也可以出現解答題，解題時應注意通過數與形的相互結合，將三者進行相互轉化．【例1】(1)函數f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零點為________．(2)函數g(x)＝lgx與f(x)＝x2－6x＋9的圖象的交點個數為________，設最右側交點的橫坐標x0，則存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，則n0＝________.[思路點撥](1)可通過解方程來求零點．(2)通過圖象和零點存在定理來解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0時，log3[log2(4－2x)]＝0，則log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)在同一個坐標系中做出f(x)和g(x)的圖象，如圖，易知交點個數有2個，設h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg2－1<0，h(3)＝lg3>0，h(4)＝lg4－1<0，x0為最右側交點，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.][跟進訓練]1．已知關于x的函數y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點．(1)求m的取值范圍；(2)若函數有兩個不同零點，且其倒數之和為－4，求m的值．[解](1)當m＋6＝0，即m＝－6時，函數為y＝－14x－5，顯然有零點．當m＋6≠0時，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴當m≤－eq\f(5,9)且m≠－6時，二次函數有零點．綜上所述，m≤－eq\f(5,9).(2)設x1，x2是函數的兩個零點，則有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且當m＝－3時，m＋6≠0，Δ>0符合題意，∴m的值為－3.類型2函數的零點的應用函數的零點的應用很廣泛，特別是在求參數的取值范圍，函數在指定區(qū)間上的零點、方程的根的