2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：雙曲線（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：雙曲線

一.選擇題（共8小題）

1.（2017秋?黃陵縣校級(jí)期末）已知M（-2,0）,N（2,0）,IPMTPM=4，則動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡是（）

A.一條射線B.雙曲線C.雙曲線左支D.雙曲線右支

2.（2016秋?太原期末）焦點(diǎn)在X軸上,且漸近線方程為y=±2x的雙曲線的方程可以是（)

22

222

A.X-上—=1B.?--v=1X2=11D.y--?-?l

44y44

（2020秋?諸暨市校級(jí)期中）已知雙曲線方程為：/_日=1，則下列敘述正確的是（

3.)

x2

A.焦點(diǎn)F(+1,0)B.漸近線方程：y=±√2x

C.離心率為加D.實(shí)軸長(zhǎng)為2√]

4.（2019秋?武邑縣校級(jí)期末）焦點(diǎn)在X軸上,虛軸長(zhǎng)為12,離心率為5的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

4

是()

2222

A.-X------_-y----=11B.Z.J=I

641443664

C.??1d-64?1

2222

5.（2。21秋.茂名期末）已知橢圓號(hào)y_=i(i∕>?>0)與雙曲線=1(>0,H

F22w

amn

>0）具有相同焦點(diǎn)尸1、F2,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且NQP打2=三，記橢圓與雙曲線的

3

離心率分別為、22，則3?/+"的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

（2021秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）設(shè)雙曲線左4?l（>0,b>o）的右頂點(diǎn)為力,

6.a

a

右焦點(diǎn)為凡8為雙曲線E在第二象限上的點(diǎn)，直線8。交雙曲線E于另一個(gè)點(diǎn)C（O為

坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線B4平分線段Fe,則雙曲線E的離心率為（）

A.3B.2c.√3D.√2

第1頁(yè)（共19頁(yè)）

7.（2021秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知直線y=χ-1與雙曲線式_d=i交于/、B兩點(diǎn),若

az/

線段48的中點(diǎn)為M（2,1）,則雙曲線式一直=1的離心率等于（）

abz

A.√3B.2C.逅D.?

22

8.（2021秋?金東區(qū)校級(jí)期中）已知F是雙曲線E：?-?=ι（a>o,b>o）的右焦點(diǎn)，

直線y一生X與雙曲線E交于/,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF,8尸的中點(diǎn)分別為尸，Q,

3

若以P。為直徑的圓過點(diǎn)O,則雙曲線E的離心率為（）

A.√5B.√2C.2√2D.2√5

填空題（共4小題）

2

9.（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）雙曲線CX2-==1的漸近線為；若直線y=辰+2A

3

與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則左=.

22

10.（2019秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）“k>0”是"方程十J=I表示雙曲線”的條

k-3k-1

件.（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空）

11.（2011秋?福田區(qū)校級(jí)期中）已知M（-2,0）,N（2,0）,IPM-FNI=3，則動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡為.

2

12.（2021秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線%-y2=Ka>l）的兩條漸近線的夾角為王,

a23

則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.

Ξ.解答題（共4小題）

22

13.（2021秋?黑龍江期末）已知雙曲線￡：-L--J=I（α>0,b>0）過點(diǎn)。（3,1）,

2,2

ab

且該雙曲線的虛軸端點(diǎn)與兩頂點(diǎn)小，血的張角為120°.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)8（0,4）的直線/與雙曲線E左支相交于點(diǎn)Λ/,N,直線。M,ON與y軸相

交于P,。兩點(diǎn)，求伊P∣+∣8Q∣的取值范圍.

第2頁(yè)（共19頁(yè)）

2222

14.(2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末)已知雙曲線C:=-匚=l(α>01>0)與雙曲線工-L=I

a2,b26U24

的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)(2,3).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,直線/經(jīng)過乃，傾斜角為3兀，/與雙

4

曲線。交于4,8兩點(diǎn)，求△尸的面積.

2

15.(2021秋?貴池區(qū)校級(jí)期中)設(shè)直線MN與雙曲線C：JJLYin(In卉0)交于MN兩

3

個(gè)不同的點(diǎn)，尸為右焦點(diǎn).

(1)求雙曲線C的漸近線方程及兩條漸近線所夾的銳角；

(2)當(dāng)W=I時(shí)，設(shè)直線χ=ky+?與C交于〃，N,三角形QMN面積為S,判斷：

2

是否存在％使得S至&成立？若存在求出人的值，否則說明理由.

222

16.(2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中)已知雙曲線C×J=I與橢圓式+丫2=1有相同的焦

2,24

ab士

點(diǎn)，且過點(diǎn)(√2,√E),直線/交雙曲線于4、8兩點(diǎn)，且原點(diǎn)。到直線/的距離為加.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)證明：OAVOB.

第3頁(yè)(共19頁(yè))

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：雙曲線

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2017秋?黃陵縣校級(jí)期末）已知M（-2,0）,N（2,0）,?PM?-∣P∕V∣=4,則動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡是（）

A.一條射線B.雙曲線C.雙曲線左支D.雙曲線右支

【考點(diǎn)】雙曲線的定義.

【分析】用排除法做：如果是雙曲線，那么α=2,c=2,與在雙曲線中c?>“矛盾，所以

把三個(gè)關(guān)于雙曲線的答案全部排除.

【解答】解：如果是雙曲線，那么IPMTPM=4=24

a—2

而兩個(gè)定點(diǎn)M（-2,0）,N（2,0）為雙曲線的焦點(diǎn)

c=2

而在雙曲線中c>”

所以把后三個(gè)關(guān)于雙曲線的答案全部排除，

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.

2.（2016秋?太原期末）焦點(diǎn)在X軸上,且漸近線方程為y=±2x的雙曲線的方程可以是（）

2222

A.X2-^――1B.?--y2=lC.Σ--χ2=ιD.y2-A-=l

4444

【考點(diǎn)】雙曲線的定義.

【專題】計(jì)算題：方程思想；演繹法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用焦點(diǎn)在X軸上，且漸近線方程為y=±2x的雙曲線的方程，結(jié)合選項(xiàng)，即

可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，焦點(diǎn)在X軸上，且漸近線方程為y=±2x的雙曲線的方程可以是

2

X2-?-=L

4

故選：A.

第4頁(yè)（共19頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

2

3.（2020秋?諸暨市校級(jí)期中）己知雙曲線方程為：χ21，則下列敘述正確的是（）

A.焦點(diǎn)F（±l,0）B.漸近線方程：y=±√2x

C.離心率為&D.實(shí)軸長(zhǎng)為2√5

【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)判斷選項(xiàng)即可.

2

2

【解答】解：雙曲線方程為：x-?-=1,所以α=l,2α=2,所以。不正確,

?=√2）則c=√E所以離心率為：√3.所以C不正確；

漸近線方程為：N=±√9,所以8正確：

焦點(diǎn)坐標(biāo)（±炳，0）.所以“不正確；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

4.（2019秋?武邑縣校級(jí)期末）焦點(diǎn)在X軸上，虛軸長(zhǎng)為12,離心率為5的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

4

是（）

2L___T_=1B.-5_-2L_

641443664

ZZ-

D.

6436^

【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計(jì)算題.

【分析】由虛軸長(zhǎng)是12求出半虛軸6,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)。2=〃2+序以及離心率然，求

出『，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：根據(jù)題意可知26=12,解得6=6①

又因?yàn)殡x心率e=￡=$②

a4

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得a1=c1-?2（3）

由①②③得，?=64

第5頁(yè)（共19頁(yè)）

2

雙所以滿足題意的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

64

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握雙曲線的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，是

一道中檔題.

2222

5.（2021秋?茂名期末）已知橢圓2-+2-=lCa>b>0）與雙曲線&__2_=1（加>0,〃

2,222

abmn

>0）具有相同焦點(diǎn)尸1、尸2,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且NFI尸尸2=工，記橢圓與雙曲線的

離心率分別為ei、e2,則3eJ+e22的最小值是（

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)IpBI=S,∣PE2∣=f,由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得s,再由余弦定理,

可得α,機(jī)與C的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值.

【解答】解：設(shè)IPFII=s,?Pf2?=t,P為第一象限的交點(diǎn),

由橢圓和雙曲線的定義可得s+∕=2α,s-∕=2m,

解得s=a+m,t=a-m,

在三角形Bpr2中，NFIPF2=三,

3

可得4c2-s2+t2-2stcos-^-=a2+m2+2am+a2+m2-2am-（α2-m2）.

3

2,22

即有a+3m=4cf

22

可得^一÷2IB_=4

22

cC

即為一??+W=4,

ele2

2?2

22

則3eι+e2=A(3e∕+e22)=上(6+?-+-?-)

Λ4eZeoA/N

l24e?e2

e2ge2

(6+2√9)=3,當(dāng)且僅當(dāng)-2y=-2?-,即e22=9e∣2,取得最小值3.

ΛZN

第6頁(yè)（共19頁(yè)）

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率，考查解三角形的余弦定

理，以及基本不等式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6.（2021秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）設(shè)雙曲線E：?i,xi=1（a>o,b>0）的右頂點(diǎn)為4

l>z

右焦點(diǎn)為F,8為雙曲線E在第二象限上的點(diǎn)，直線80交雙曲線E于另一?個(gè)點(diǎn)C（O為

坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線84平分線段Fe,則雙曲線E的離心率為（）

A.3B.2C.√3D.√2

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意畫出圖形，由三角形中位線定理及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得2∣O4∣

=?AF↑,即2α=c-m由此可得雙曲線的離心率.

:,OM//BF,OM=LBF,

2

?：AOAMSAFAB,:.∣af∣=!bf!=o.則2∣o∕∣=MFb

IAOIIOMI

即2α=c-a,可得β=-≤-=β.

a

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

7.（2021秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知直線N=X-I與雙曲線與_工，=1交于/、8兩點(diǎn)，若

第7頁(yè)（共19頁(yè)）

線段/B的中點(diǎn)為M（2,1）,則雙曲線三;_4=1的離心率等于（）

azbz

A.√3B.2C.后D.3

22

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由已知利用根與系數(shù)的關(guān)系求得/=2^2,再由雙

曲線的離心率公式求解.

y=χ-1

2222222

【解答】解：聯(lián)立4χ2y2,得（?-β）χ+2tzx-Ca+ah）=0,

----------=1

2.21

Iab

92

設(shè)N（XI，yι）,B（X2,”），則χι+χsι=-^?J?=2X2=4'

a-b

,2

即a2=2b2,?-??1,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

8.（2021秋?金東區(qū)校級(jí)期中）己知尸是雙曲線E：?-?=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，

a<bz

直線y=±x與雙曲線E交于4B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF,8E的中點(diǎn)分別為P,Q,

3

若以P0為直徑的圓過點(diǎn)O,則雙曲線E的離心率為（）

A.√5B.√2C.2√2D.2√5

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理.

【分析】不妨設(shè)點(diǎn)/位于第一象限，由題意得到OPJ_。。，設(shè)尸2為雙曲線E的左焦點(diǎn)，

連接力尸2,利用平面幾何知識(shí)得到4。/=2/4尸2凡利用直線方程，得到tanN40尸=生

3

由二倍角公式結(jié)合邊角關(guān)系以及雙曲線的定義分析求解即可.

第8頁(yè)（共19頁(yè)）

【解答】解：如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)力位于第一象限，

因?yàn)橐訮0為直徑的圓過點(diǎn)O,

所以O(shè)P_LO。，

設(shè)也為雙曲線E的左焦點(diǎn)，連接力仍，

因?yàn)镺,P,。分別為48,AF,8F的中點(diǎn)，

則OQ//AF,OP//AFi,

所以NElF2=90°,

則（M=OF2=OF,

故/4。尸=2N∕4尸，

又直線48的方程為y=lχ,

3

故tan//OF=±

3

2tanNAF?FΛ

所以tanZAOF=tan2ZAFiF=-----------——J——??

1-tanNAFe

解得tanNAF2F??*

K

'JCOSZAF2F=^-'SinNAF2F聿,

所以4放=尸尸2?cosNAF2F=2c×冬應(yīng)=/.c,

55

,√52√5

AF=FF2"sinNAFfr=2c×~^=—ξ-c,

2??

由雙曲線的定義可知，AF2-AF=2a，

所以雙曲線的離心率e=2=√ξ?

a

故選：A.

第9頁(yè)（共19頁(yè)）

y

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線離

心率的求解以及雙曲線定義的理解與應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，

一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬

于中檔題.

二.填空題（共4小題）

2L

9.（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）雙曲線C：f-V-=I的漸近線為^三±畬0；若直

線y=?x+2A:與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k=.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理：數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可，聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為（3-F）

√-4A2X-4?2-3=0.分類討論：當(dāng)3-F=O時(shí)，可得A,此時(shí)直線/與雙曲線的漸近線

平行，滿足題意；當(dāng)3-FWO時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△＞（）,

求解即可.

2

【解答】解：雙曲線C:X2-匚=1的漸近線為：J=±√3x;

3

y=kx+2k

①當(dāng)3-F=O時(shí)，可得4=±百，此時(shí)直線/的方程為了=±百（x+2）,

分別與雙曲線的漸近線N=±√示平行，

第10頁(yè)（共19頁(yè)）

此時(shí)直線/與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

②當(dāng)3-廬￥0時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

可得Δ=16A4+4(3-A2)(4?2+3)=36A2+36>0,

解得肥0.綜上可得：?=±√3?

故答案為：y=±√3x;±√3?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及其性質(zhì)、一元二次方程與△的關(guān)系、分

類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題.

22

10.(2019秋?青羊區(qū)校級(jí)期中)“Q0”是“方程=ι表示雙曲線”的必要不充

k~3k-1

分條件.(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空)

【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理.

22

【分析】求出使方程'?κJ=ι表示雙曲線的人的范圍，結(jié)合充分必要條件的判定得

k-3k-1

答案.

22

【解答】解：方程:—=1表示雙曲線，則(?-3)(A?-1)<0,即IVkV3,

k-3k-1

22

.?.llk>0"是"方程屋4^=1表示雙曲線”的必要不充分條件.

k-3k-1

故答案為：必要不充分.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程，考查充分必要條件的判斷及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.(2011秋?福田區(qū)校級(jí)期中)已知M(-2,0),N(2,0),IPMTPNl=3，則動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡為以N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

【考點(diǎn)】雙曲線的定義；軌跡方程.

【專題】規(guī)律型.

【分析】根據(jù)題意可得PMTPM<1切，利用雙曲線的定義，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

【解答】解：`:M(-2,0),N(2,0),IPM-IPM=3

：.\PM\-IPNI<∣Λ∕N]

第11頁(yè)(共19頁(yè))

，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為以"，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

故答案為：以N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2

12.(2021秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末)已知雙曲線與-y2=](a>l)的兩條漸近線的夾角為二,

a23

則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為

3

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2

【分析】雙曲線號(hào)-/=1(4>1)的漸近線的方程為y=±L,則工=tan匹，即可解

2

aaa6

得a.

21

【解答】解：雙曲線與r-∕=l(Q>1)的漸近線的方程為y=±工，

a2a

又因?yàn)殡p曲線的兩漸近線的夾角為工，

3

所以工=tan?LgK-k=tan?2L,即工

a6a3a3a

所以α=或α=1?,

3

故答案為：2√現(xiàn)2∕3?

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

三.解答題(共4小題)

22

13.(2021秋?黑龍江期末)己知雙曲線E：三一-J=I(α>0,b>0)過點(diǎn)。(3,1),

a2b,2

且該雙曲線的虛軸端點(diǎn)與兩頂點(diǎn)小，4的張角為120。.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)8(0,4)的直線/與雙曲線E左支相交于點(diǎn)/，N,直線。/，ON與y軸相

交于「，。兩點(diǎn)，求∣8P∣+∣80∣的取值范圍.

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第12頁(yè)(共19頁(yè))

,a=√3b

【分析】(1)由已知可得I91，結(jié)合。2+序=02,解得“，方即可；

1

Ia2b,2

(2)設(shè)直線方程y=Ax+4,M(xi，?i),N(X2，”)，由直線。A/的方程和直線Z)N的

一3(y1~1)3(y∏-1)

方程可得P,Q的坐標(biāo)，IBPI+∣∣5Q∣=4-yw+4-yN=6+——―---------------=6+3義

+-

X1-3X23

2k*x琛l*3k)(xqx2)-I'聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求解.

x1×2~3(Xl+x2)+9

,a=√3b

【解答】解：(1)由已知可得J91，結(jié)合J+b2=c2,解得a'=6

2,21

Iab

22

故雙曲線上的方程；1_工_=[

62

(2)設(shè)直線方程y=H+4,M(xi，??),N(X2,?2)，

直線。M的方程為y-1=±1二L(X-3),可得「(0,1-"'「1'),

x1-3x1-3

直線。N的方程為y-1="_L(χ-3),可得Q(0,I-「SIL),

X2^3X2^3

y=kχ+4

聯(lián)立，C,消去修整理可得(1-3F)X2-24fcr-54=0,

202?

X-3y=6

?=242k2+4(l-3k2)×54>0

x+x24k</?0

l2=T-?,可得2率<k<√3,

則Sl-3k

e

-54

xlx2=T-Σ

l-3k

3(y-l)3(y-l)

∣8P∣+M0∣=4-yM+4-JW=6+?12

X?-3X2-3

_(kx∣+3)(x2-3)÷(kx÷3)(x^3)

=6÷3X--------------------------------------2-------------1-------

-

(xj-3)(X23)

2kxx+(3-3k)(X+X)~18

=6+3×1212

x?×2-3(x?+x2)+9

第13頁(yè)(共19頁(yè))

-54

2k×+(3-3k)X-^y,-18

l-3k2l-3k

=6+3X-------

-54^3×I>+9

l-3k2

9

24k+60k+3624k+36=?_4

3k2+8k+53k+53k+5

又返<k<?，??.3什5∈（√3+5，3√3+5）

3

.??∣8P∣+∣8Q的取值范圍是c78?√ξ）18-6次）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線方程，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，

屬于中檔題.

2?222

14.（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線d-J=l（α>0,b>0）與雙曲線'-L=I

a2b2θ2

的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)（2,3）.

（1）求雙曲線C的方程：

（2）已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為Q,Fi,直線/經(jīng)過尸2,傾斜角為3冗，/與雙

4

曲線C交于48兩點(diǎn)，求4Fι∕18的面積.

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

22

【分析】（1）設(shè)所求雙曲線C的方程為？_-，=入（入WO,λ≠l）,代入點(diǎn)（2,3）,

62

計(jì)算可得所求方程；

（2）求得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線/8的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)

公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值.

22

【解答】解：（1）設(shè)所求雙曲線C的方程為匚-三_=人（λ≠0,入Wl）,

62

Q2?2

代入點(diǎn)（2,3）得上=入，

62

222

SPA=-1,所以雙曲線C方程為，■-W-=-工，即，-匚=1；

26223

（2）F?（-2,0）,Fi（2,0）.直線/8的方程為y=2-x.

第14頁(yè)（共19頁(yè)）

設(shè)4（xi，y?）,B（X2，”），聯(lián)立直線y=2-x和雙曲線方程3,-y2=3,

得2√+4χ-7=0,滿足A=16+56>0,

X1÷X2-^2G，XlX2=—-7,

2

（另解：則IXLX2尸J（X]+X2）2-4x1X2=每五=3μ，

所以52^.妞=4乃尸2卜比-為=工*4*3&=6&.）

22

由弦長(zhǎng)公式得M8∣=√i∏?j4.4?（蔣）=6,

點(diǎn)為（-2,0）到直線48：x+y-2=0的距離d=?卜2彩2I=2加,

√2

所以SAF]AB=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定

理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

15.（2021秋?貴池區(qū)校級(jí)期中）設(shè)直線WN與雙曲線C：χ2一匚=ιn（m六0）交于M，N兩

3

個(gè)不同的點(diǎn)，尸為右焦點(diǎn).

（1）求雙曲線C的漸近線方程及兩條漸近線所夾的銳角；

（2）當(dāng)加=1時(shí)，設(shè)直線1.χ=ky+」與C交于Λ/,N,三角形FAW面積為S,判斷：

2

是否存在無(wú)使得$丹3成立？若存在求出發(fā)的值，否則說明理由.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想：綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）直接令χ2.==0,即可求得雙曲線的漸近線方程，進(jìn)一步求得兩條漸近

線所夾的銳角；

2

（2）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，雙曲線方程為χ2-J=ι,右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,0）,直線/過定點(diǎn)

P（?,0）,設(shè)M（Xl,刈），N（X2,二），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由二次項(xiàng)系數(shù)不

2

為0,且判別式大于0求得人的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合面積公式求解左值.

第15頁(yè)（共19頁(yè)）

2_

【解答】解：（1）令x2_（_=o,得y=±Fχ,

：?雙曲線的漸近線方程為y=±√3x,它們所夾的銳角為生；

3

（2）當(dāng)加=1時(shí)，雙曲線方程為χ2-Xl=［右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,0）,

X3

直線/過定點(diǎn)P（X0）,設(shè)Λ/（XI，川），N（X2,V2），

2

聯(lián)立《'得(Bk2-].)y2+3ky-*=O

=1

02,化筒得獸號(hào)亨

則W√3kX(3k-l)>0k<kkW±

.3k9

??yι+y=--------7'yιV23-3--------‰

2l-3k24(l-3k2)

由S型工得包正ZL=延解得k=±1或k=+叵，滿足題意,

2

84∣3k-l∣89

存在4=±1或l?=±返??使得S=^巨成立.