《第六章 實數(shù)》小結(jié)與復(fù)習(xí)和單元檢測試卷

《第六章實數(shù)》單元小結(jié)與復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)情感態(tài)度體會特殊到一般、化零為整的認(rèn)識過程，運用類比思想，強化符號意識，進一步培養(yǎng)估算和運算能力。知識與技能理解算術(shù)平方根、平方根、立方根概念；掌握算術(shù)平方根和平方根的區(qū)別于聯(lián)系；了解平方根、立方根的計算器求法；鞏固實數(shù)的運算。過程與方法從局部到整體，一點一練，分層過關(guān)。教學(xué)重難點重點算術(shù)平方根、平方根、立方根、無理數(shù)概念及性質(zhì)；理解實數(shù)的有關(guān)概念及實數(shù)的運算。難點靈活運用算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性解題教法與學(xué)法以提代綱，練習(xí)后總結(jié)反思。知識梳理一．?dāng)?shù)的開方主要知識點：【1】平方根：1.如果一個數(shù)x的平方等于a，那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當(dāng)時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：2.當(dāng)a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；3.當(dāng)a＞0時，也就是a為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：。當(dāng)a＜0時，也即a為負(fù)數(shù)時，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，則x=；的平方根是（4）一個正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數(shù)是多少？【2】算術(shù)平方根：1.如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為0。2.算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：。3.算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：。例2.（1）下列說法正確的是（）A．1的平方根是1B．C.的平方根是D.0沒有平方根；（2）下列各式正確的是（）A.B.C.D.（3）的算術(shù)平方根是。（4）已知和｜ｙ＋2｜互為相反數(shù)，求ｘ，y的值（5）（提高題）如果x、y分別是4－EQ\R(,3)的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x－y的值.【3】立方根1.如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是開方的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫根的次數(shù)，但是，當(dāng)根的次數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。2.平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根,并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個數(shù)都有平方根，只有非負(fù)數(shù)才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，則b等于（）A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正確的有（）A、1個B、2個C、3個D、4個【4】無理數(shù)1.無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數(shù)，如:等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.01001000100001…（兩個1之間依次多1個0）等。應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：2.有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。例4.（1）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序號）（2）有五個數(shù):0.125125…,0.1010010001…,-,,其中無理數(shù)有()個A2B3C4D5【5】實數(shù)1.有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對值最小的實數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是-1。2.實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)a的倒數(shù)是（a≠0）；實數(shù)a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。3.實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。4.實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數(shù)的一致。例5.1.下列說法正確的是（）；A、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示；B、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)；C、1和2之間的無理數(shù)只有；D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。2.a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是()b0ab0aA、B、C、D、3.將下列各數(shù)：，用“＜”連接起來；______________________________________。4..（提高題）觀察下列等式：回答問題：①②③，……（1）根據(jù)上面三個等式的信息，請猜想的結(jié)果；（2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗證。《第六章實數(shù)》考點與檢測試卷考點一平方根、立方根、算術(shù)平方根的意義【例1】(1)4的算術(shù)平方根是()A.2B.-2C.±2D.(2)的平方根是()A.4B.±4C.2D.±2(3)的相反數(shù)是()A.2B.-2C.D.-【分析】(1)因為22=4,所以4的算術(shù)平方根是2;(2)=4，4的平方根是±2，所以的平方根是±2；(3)因為23=8,所以=2,2的相反數(shù)是-2,所以的相反數(shù)是-2.【解答】(1)A(2)D(3)B【方法歸納】求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根以及立方根時，首先應(yīng)對該數(shù)進行化簡,然后結(jié)合它們的意義求解.只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根,而所有實數(shù)都有立方根,且實數(shù)與其立方根的符號一致.1.求下列各數(shù)的平方根：(1);(2)2;(3)(-2)2.2.求下列各式的值：(1)；(2)-.考點二實數(shù)的分類【例2】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的數(shù)集里.-,-,,,0.324371,0.5,,-,,0.8080080008…無理數(shù)集合｛…｝;有理數(shù)集合｛…｝;分?jǐn)?shù)集合｛…｝;負(fù)無理數(shù)集合｛…｝.【分析】根據(jù)實數(shù)的概念及實數(shù)的分類,把數(shù)填到相應(yīng)的數(shù)集內(nèi)即可.【解答】無理數(shù)集合｛-,,,-,0.8080080008…,…｝;有理數(shù)集合｛-,,0.324371,0.5,,…｝;分?jǐn)?shù)集合｛-,0.324371,0.5,…｝;負(fù)無理數(shù)集合｛-,-,…｝.【方法歸納】我們學(xué)過的無理數(shù)有以下類型：π，等含π的式子;，等開方開不盡的數(shù);0.1010010001…等特殊結(jié)構(gòu)的數(shù).注意區(qū)分各類數(shù)之間的不同點,不能只根據(jù)外形進行判斷,如誤認(rèn)為是無理數(shù).3.下列實數(shù)是無理數(shù)的是()A.-1B.0C.πD.4.實數(shù)-7.5,,4,,-π,,中,有理數(shù)的個數(shù)為a,無理數(shù)的個數(shù)為b,則a-b的值為()A.2B.3C.4D.55.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中：+17.3，12，0，π，-3，，9.32%，-,-25考點三實數(shù)與數(shù)軸【例3】在如圖所示的數(shù)軸上,AB=AC,A，B兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是和-1,則點C所對應(yīng)的實數(shù)是()A.1+B.2+C.2-1D.2+1【分析】由題意得AB=-(-1)=+1,所以AC=+1.所以C點對應(yīng)的實數(shù)為+(+1)=2+1.【解答】D【方法歸納】實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).求數(shù)軸上兩點間的距離就是用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)；求較小的數(shù)就用較大的數(shù)減去兩點間的距離;求較大的數(shù)就用較小的數(shù)加上兩點間的距離.6.如圖，若A是實數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點，則關(guān)于a，-a，1的大小關(guān)系表示正確的是()A.a＜1＜-aB.a＜-a＜1C.1＜-a＜aD.-a＜a＜17.實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列式子錯誤的是()A.a<bB.|a|>|b|C.-a<-bD.b-a>08.實數(shù)m，n在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|n-m|＝__________.考點四實數(shù)的運算【例4】計算：-+.【分析】將被開方數(shù)化簡,然后根據(jù)算式的運算順序求解.【解答】原式=-+=-+=-1.【方法歸納】當(dāng)被開方數(shù)是小數(shù)時通常將其化成分?jǐn)?shù),然后求其方根;當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時通常將其化成假分?jǐn)?shù)，然后求方根;當(dāng)被開方數(shù)是a2時通常先計算出a2的值，然后求方根.9.計算：-+.10.計算：(-2)3×+×()2-20×|-1|.檢測試卷一、選擇題(每小題3分,共30分)1.下列說法正確的是()A.-2是-4的平方根B.2是(-2)2的算術(shù)平方根C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是42.下列語句正確的是()A.如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身,那么這個數(shù)一定是0B.一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C.負(fù)數(shù)沒有立方根D.一個不為零的數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是03.下列各式錯誤的是()A.=0.2B.=-C.=±D.=-1024.在3.12578，-，，，5.27，，-1中，無理數(shù)的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個5.如圖，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為和5.1，則A，B兩點之間表示整數(shù)的點共有()A.6個B.5個C.4個D.3個6.估計+1的值()A.在2和3之間B.在3和4之間C.在4和5之間D.在5和6之間7.如圖，數(shù)軸上點P表示的數(shù)可能是()A.B.-C.-3.2D.-8.若+=0，則a與b的關(guān)系是()A.a=b=0B.a與b相等C.a與b互為相反數(shù)D.a=9.已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是()A.3B.5C.15D.2510.求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，則2S=2+22+23+…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理，計算出1+5+52+53+…+52014的值為()A.52014-1B.52015-1C.D.二、填空題(每小題4分,共20分)11.已知a、b是兩個連續(xù)的整數(shù)，且a<<b,則2a+b=__________.12.若=2，則2x+5的平方根是__________.13.-27的立方根與的平方根的和是__________.14.對于任意不相等的兩個數(shù)a，b,定義一種運算※如下：a※b=,如3※2==.那么12※4=__________.15.由下列等式=2，=3，=4…所提示的規(guī)律，可得出一般性的結(jié)論是____________________(用含n的式子表示).三、解答題(共50分)16.(15分)計算：(1)2-5+3；(2)+1+3+|1-|；(3)-++.17.(10分)求下列各式中的x：(1)25(x-1)2=49;(2)64(x-2)3-1=0.18.(8分)已知|a-b-1|與3(a-2b+3)2互為相反數(shù)，求a和b的值.19.(8分)座鐘的擺擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為T＝2π，其中T表示周期(單位：秒)，l表示擺長(單位：米)，g=9.8米/秒2.假如一臺座鐘的擺長為0.5米，它每擺動一個來回發(fā)一次滴答聲，那么在一分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出多少次滴答聲？(可利用計算器計算，其中π取3.14)20.(9分)已知:M=是a+b+3的算術(shù)平方根,N=是a+6b的算術(shù)平方根,求M·N的值.參考答案變式練習(xí)1.(1)±；(2)±；(3)±2.2.(1)-4；(2)-0.6.3.C4.B5.+17.3，12，0，-3，，9.32%，-25，…π，-，…+17.3，-3，，9.32%，…12，0，-25，…6.A7.C8.m-n9.原式=8-9-1=-2.10.原式=-8×4+(-4)×+20×(1-)=-32-1+20-20=-13-20.復(fù)習(xí)測試1.B2.D3.C4.D5.C6.C7.B8.C9.C10.C11.1012.±313.-1或-514.15.=n(n為大于或等于2的自然數(shù))16.(1)原式=(2-5+3)=0；(2)原式=+4+-1=2+3；(3)原式=5+1+12-4=14.17.(1)化簡得(x-1)2=.所以x-1=±.所以x=或x=-；(2)化簡得(x-2)3=.所以x-2=.所以x=.18.因為|a-b-1|≥0，3(a-2b+3)2≥0,又因為|a-b-1|與3(a-2b+3)2互為相反數(shù)，所以a-b-1=0，a-2b+3=0，解它們組成的方程組得a=5，b=4.19.∵T＝2π，T表示周期(單位：秒)，l表示擺長(單位：米)，g=9.8米/秒2.∴T=2π≈1.42(秒).∴在一分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出滴答聲的次數(shù)為60÷1.42≈42.20.由題意,得解得∴M====3,N====4.于是M·N=3×4=12.《第六章實數(shù)》單元檢測試卷一、填空題（每題2分，共20分）1．若是4的平方根，則＿＿，若－8的立方根為，則y=_____.2．在數(shù)軸上與原點的距離是的點所表示的實數(shù)是＿＿＿．3．若，則．4．計算：的結(jié)果是＿＿＿＿＿＿．5．比較下列各數(shù)的大?。海?）；（2）6．觀察下列式子，猜想規(guī)律并填空7．已知某數(shù)且滿足，則必為＿＿＿＿＿．8．一個正數(shù)a的算術(shù)平方根減去2等于7，則a＝＿＿＿＿＿＿．9．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a,則比它大4的自然數(shù)的算術(shù)平方根為＿＿＿＿＿．10．用“＊”表示一種新運算：對于任意正實數(shù)，都有．例如，那么，當(dāng)二、選擇題（每題3分，共24分）11．0.49的算術(shù)平方根是（）A．±0.7B．－0.7C．0.7D．12．下列等式正確的是（）A．＝－3B．＝±12C．＝－2D．－＝－513．算術(shù)平方根等于3的是（）A．B．3C．9D．14．立方根等于它本身的數(shù)有（）A．－1,0，1B．0,1C．0D．115．下列說法：（1）任何數(shù)都有算術(shù)平方根；（2）一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；（3）a2的算術(shù)平方根是a；（4）（－4）2的算術(shù)平方根是－4；（5）算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)．其中不正確的有（）A．5個B．4個C．3個D．2個16．下列說法正確的是（）A．的平方根是±2B．－a2一定沒有算術(shù)平方根C．－表示2的算術(shù)平方根的相反數(shù)D．0.9的算術(shù)平方根是0.317．若一個數(shù)的平方根與它的立方根完全相同，則這個數(shù)是（）A．0B．1C．－1D．±1,018．若＝2，則（2a－5）2－1的立方根是（）A．4B．2C．±4D．±2三、解答題（共56分）19．（5分）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．20．（5分）已知某數(shù)的平方根為，求這個數(shù)的立方根是多少？21．（5分）設(shè)都是實數(shù)，且滿足，求式子的算術(shù)平方根．22．（5分）已知a2＋b2＝c2，其中a＝5，b＝12，求c的值．23．（5分）21、在計算，其中＝－4時，小明和小華算出了不同的答案：小明的做法是：當(dāng)＝－4時，＝＝＝－3小華的做法是：當(dāng)＝－4時，＝＝＝＝3你認(rèn)為誰的答案正確？說說你的理由．24．（5分）如果是一個整數(shù)，那么最大的負(fù)整數(shù)a是多少？25．（6分）計算，，，，，，你能從中找出計算的規(guī)律嗎？如果將根號內(nèi)的10換成正