山東省濱州市2022-2023學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三數(shù)學(xué)試題

2023.1

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合,4={"國(guó)，叼】，寸，且“13=3,貝口的所有取值組成的集合為（）

A.（-LO）B/。,）cl，?）D.卜，?？?/p>

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系分類(lèi)討論求解.

【詳解】因?yàn)?n3所以3。月，所以「€[,

若1=4,則】一】或】=一2,經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足題意，

若、'=',貝Q1或1=1,

經(jīng)檢驗(yàn)Y=0滿(mǎn)足題意，]=1與互異性矛盾，

綜上'的所有取值為：一二0,2,

故選:D.

2.已知八+"二=3T,其中）為虛數(shù)單位，則日=（）

A.5B.6C.2D.W

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求復(fù)數(shù)二的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

3-i2-4i,、

【詳解】由復(fù)數(shù)二滿(mǎn)足二=3一|,則1+12,

則目="+（-?'=*

故選：B.

3.若是“不等式（1一4<1成立”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.」二）B."二]C,t1,-]D.1-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由得a-1vi<。+1,

?:1<r<2是不等式"<I成立的充分不必要條件，

a-lSl

滿(mǎn)足la+l'L且等號(hào)不能同時(shí)取得,

aS2

即、a>l

解得lSa￡2,

故選：C.

4,在四邊形/5CD^tAB//CD,AB-4CD，點(diǎn)E在線(xiàn)段上,且CE=3EB,設(shè)荏=I,/D=b,則

AE=()

5.Ir

—a+—b

A.8B.4c.164D.8

【答案】c

【解析】

【分析】畫(huà)出圖象，根據(jù)向量加減法則及向量共線(xiàn)定理即可得出結(jié)果.

【詳解】解油題知CD,￡=4。。，畫(huà)出示意圖如下：

因?yàn)镃E=3X8,布j4D=i,

所以AS—AB+BE

=AB-t--BC

4

=AB￥^BA+AD+DC)

3一1一1一

^-AB+-AD^-DC

444

3一1一1一

=-AB+-AD+—AB

4416

^1113A—B+-1A—D

164

13-^1?

=—a+—b

164.

故選:c

。+2b

5.設(shè)a,b為正數(shù)，若圓F+.”+4T-3，+1=°關(guān)于直線(xiàn)ax-4v+l=°對(duì)稱(chēng)，則ab的最小值為

()

A.9B.8C.6D.10

【答案】A

【解析】

【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，得到的關(guān)系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可.

【詳解】解：圓>+1=0,即(*+>'+l.rT)'=4,所以圓心為

所以一二&-6+1=0,即Ja+b=：,因?yàn)閍>0、b>0,

。?沙(a+2bX2a-t-b)2<r+3>:+5ob2-j2(f2b:+Sab.

則曲曲ab曲,

1

。=a=—

當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)，取等號(hào).

故選：A.

6.甲、乙為完全相同的兩個(gè)不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球.甲袋中裝有5個(gè)白球，7個(gè)

紅球，乙袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球.從兩個(gè)袋中隨機(jī)抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機(jī)摸出1球，

則摸出的球是紅球的概率為()

[112_1

A.TB.24C.12D.3

【答案】B

【解析】

【分析】判斷摸出的球是紅球的事件為全概率事件，則只需討論摸出的紅球是甲袋還是乙袋兩種情況，再

分別求出其概率，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)事件A為“取出甲袋”，事件F為“取出紅球”，分兩種情況進(jìn)行討論.

若取出的是甲袋,則月=尸(司尸出⑷，依題意可得""F"叩)一五，

P=PM)P(B|^)=1X2=1

所以一1一一q,

P-p(A\.p(B|JiP⑶=!P(B|^)=|

若取出的是乙袋，則G49尸?，依題意可得2,13,

/^=P(J)P(5|^)=lxl=l

所以1236.

尸=尸+尸3"

綜上所述，摸出的球是紅球的概率為1

故選：B.

7.已知㈠，〃為兩條不同的直線(xiàn)，a,0為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()

A.u￡,sa,則"：”

B.mca,naa,m〃夕,n"B,則a■p

ca(\P=l,mca,mLI,則用上戶(hù)

D.w.La,fn//n,a"凡則尸

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性質(zhì)定理、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,0尸，小。，則"：，?；駻錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若mua,"Ua,力0,*則a0或a.「相交，

只有加上條件用，“相交，結(jié)論才成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,夕=’，用ua,mil無(wú)法得到"：,A

只有加上條件&■#才能得出結(jié)論，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,”；_La,m貝產(chǎn)_La,又因?yàn)閍B,所以",力，D正確.

故選:D.

8.某鐘表的秒針端點(diǎn)A到表盤(pán)中心。的距離為5：m,秒針繞點(diǎn)。勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間r=°時(shí)，點(diǎn)A與表

盤(pán)上標(biāo)“12”處的點(diǎn)s重合.在秒針正常旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，A,E兩點(diǎn)的距離d(單位：cni)關(guān)于時(shí)間，(單

位：s)的函數(shù)解析式為()

d=10sin20)

A.60

d=10cos—f(tiO)

B.60

lOsrn—r.120Jtsr<60+l20Jt.ieN

d=.60

-jOsin—z,60+120i<f<120(i+n.*-eN

c.

l0cos—/.120*-<:<30+120^.Jt€N

d=.60

-10cos—t.30+120i</<90+120*-.*-eN

D.60

【答案】c

【解析】

【分析】由條件分析函數(shù)的性質(zhì)，由此判斷正確選項(xiàng).

【詳解】由已知函數(shù)d")的定義域?yàn)榭谔颕,周期為60s,且’=301$)時(shí)，d=10|cm),

—=120(t)

d=10sjn—f(Z>0)—

對(duì)于選項(xiàng)A,函數(shù)60周期為60,A錯(cuò)誤；

—=l20(s)

d=lOcos—r(ti0)—

對(duì)于選項(xiàng)B,函數(shù)60周期為6J，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)r=30時(shí)，d=0,D錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,

d(t)=2x51sin-"n-fl=101sm-d

2x6060

lOsrn—r.120itSt￡60+l20Jt.i€N

d=.60

-lOsin—/.60+l20A-</<120（i+l）.ieN

所以函數(shù)60,

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知兩種不同型號(hào)的電子元件的使用壽命（分別記為X,V）均服從正態(tài)分布，'~"（從?彳），

’~*1%.0;I,這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）

尸(〃-2bWZ0.9545

P%—2<7,<X<4+%ia0S186

A.

B.對(duì)于任意的正數(shù)t,有P（*&）>尸（？wo

CFl?z11I<：戶(hù)仆'>/<!；I

DP\X<GX\<P<X<a>i

【答案】ABD

【解析】

【分析】抓住平均數(shù)〃和標(biāo)準(zhǔn)差。這兩個(gè)關(guān)鍵量，結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)的圖形特征分析即可.

【詳解】解：對(duì)于A：P“—5<X<叢+。1）

=—〈從+R+尸3-工</4+-oj）lw（0.6827+0.9545）x—w0.8186

2」2,故

A正確；

對(duì)于B：對(duì)于任意⑨正數(shù)r,由圖象知表示的面積始終大于口「三r）表示的面積，

所以p（x“>尸（r"，故B正確，

對(duì)于c：由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，可知從所以力），故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，可知5<巧，所以尸X,5'>F'X-qi；故D正確；

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/⑴”"nls+M'AOMAOPv”*）的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)

的結(jié)論中，正確的是（）

5，kn11/rkn\_

—+—?----+—,|ceZ?k

B.”的單調(diào)遞增區(qū)間為一2424

C.當(dāng)L6」時(shí)，卬”的最大值為1

D.Sr在區(qū)間上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù),,'I的解析式，從而可得三角函數(shù)只I”的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)

各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.

T2nn-3、

【詳解】由題可知d=l,2362T,“（.、）=sm（/+>）,

J=nn+^J=艮個(gè)+3="+寵”=>=z

,?a>=—/（x）=sin（2x+-）

???A0〈…，火3,故3,

..八〃4工、-Znn

=3,g（"的最小正周期為4［，故A錯(cuò)誤；

K、，一，——方.7方、

—+二上方04丁+—kS—+2上開(kāi)=*+——SxS----+-OteZ?

232242242，即

5/兀，Ibrkn

一”+一￡x<——+——伏?Z）

242242,故B正確；

44+—/、_]

當(dāng)？時(shí)，=1,故c正確;

.2/r

4x+一開(kāi)=—/、1

當(dāng)2時(shí)，g（＞）“=】，故c正確;

2,xex

4x+=kxx=—二+1Z七iwZi

令364'零點(diǎn)可取值為：當(dāng)七=1時(shí)，'一】？；當(dāng)

_n_In_5"_13/r

上=2時(shí)，3；當(dāng)上=3時(shí)，12；當(dāng)上■4時(shí)，6；當(dāng)％=5時(shí)，12；當(dāng)％=6時(shí),

Ax19開(kāi)Ibr25*.

--?一“工---1nX=?AX—?">JX

3；當(dāng)1?7時(shí)，12；當(dāng)々=3時(shí)，6,符合題意；當(dāng)上=9時(shí)，12,不符

合題意；故即”在區(qū)間上有且僅有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤;

故選：BC.

11.己知數(shù)列1°*；的前〃項(xiàng)和為底”，若4=3,5“=與「"，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a.“＞S.是等比數(shù)列

c.兇l--j是單調(diào)遞增數(shù)列D,S--2、，

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知得出a，“=S,+”,可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤;

利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用作差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由與得ae=S.+",故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，將&1=況+”,4?卑i+"Tg2）兩式相減得J=

即a.?i+l=（〃之＞,又令”=],得號(hào)=滔+1=3+々=%1+1=%=

%+1.2&+1）所以（％+】）從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，公比為2,

2”=i

故〃N2時(shí)，/+]=?一%+1|=：：'',即a.=T-l,所以，“

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2”=i

a=,

對(duì)于c選項(xiàng)，因?yàn)?匕"一1」三2.當(dāng)”=1時(shí)，'='，

“】一叫

J51=2+(23+2,++2B)-(n-l)=-i------i-(n-l)=2***-n-l

當(dāng)〃2?時(shí)，*，1_2

q=_＞cx(\

即而’4,所以數(shù)列?單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)心2時(shí)，E-j--)=i-

用〈二為顯然成立，故恒成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.設(shè)點(diǎn)A,耳，鳥(niǎo)的坐標(biāo)分別為I-1,1)(-1.0)(1.0)動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足附|+|2招1=4

,則下列說(shuō)法

正確的是()

.X,

x+=1

A.點(diǎn)尸的軌跡方程為43

B網(wǎng)+網(wǎng)＜5

c丹+閥卜1

D.有且僅有3個(gè)點(diǎn)P,使得一尸＜用'；面積為2

【答案】ACD

【解析】

33

x+*y-=1

【分析】A選項(xiàng)，由題易得點(diǎn)尸的軌跡方程為4

B選項(xiàng)，眼M叫卜口卜”1用歸4+環(huán)卜5,可取等號(hào)；

C選項(xiàng)，網(wǎng)+閥卜陷+4-口乖4-朋|=4-下叫

D選項(xiàng)，利用三角形的面積公式轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，聯(lián)立方程即可判斷.

【詳解】由題知，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則”=6，橢圓方程為

故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，網(wǎng)+閥卜四+4-|尸昨4+同=5,當(dāng)點(diǎn)尸為根的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等

號(hào)成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng),網(wǎng)+1圖=陽(yáng)+4-朋因?yàn)樯先~|即|區(qū)甌|,所以

-\AF^\PA\-\PF^\AF2\所以|4|十|%|=四|+4_戶(hù)用24_陷|=4_6>1

當(dāng)點(diǎn)尸為AF2的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立,|/乂|+附|取最小值4-珞

,故C選項(xiàng)正確;

5

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)使得一正從招的面積為2的p點(diǎn)坐標(biāo)為,

由4尸【坐標(biāo)知，用=，,直線(xiàn)":的方程為'+:r-】=°,

16小。+?。7=3

則？2,解得/+1『4=0或與+>。+?=0,

'%+次-4=0

工+五-13

聯(lián)立143，化簡(jiǎn)得4.%?】；%+9=0,

則△二(),因此存在一個(gè)交點(diǎn)；

同理可得直線(xiàn)“?:丁。+1=°與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；

綜上，有且僅有3個(gè)點(diǎn)尸，使得一正■”用「，面積為2,故D選項(xiàng)正確；

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知雙曲線(xiàn)/6：=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,以為正2為直徑的圓與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)

的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線(xiàn)的方程為.

【解析】

【分析】

---4T

圓的半徑就是C,再由點(diǎn)(3,4)在漸近線(xiàn)上可得。,這樣可求得aQ,得雙曲線(xiàn)方程.

b_

【詳解】由題意知，圓的半徑為5,又點(diǎn)(3,4)在經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線(xiàn)y=ax上，因此有

a,+iJ=25

<、bfa-3x3r3

4=3x2<--2_=1

a，解得6='所以此雙曲線(xiàn)的方程為916.

故答案為：916.

【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，尋找兩個(gè)等式是必由之路.本題中兩個(gè)已知條件：圓的半徑等于

雙曲線(xiàn)的半焦距，點(diǎn)(3,4)在漸近線(xiàn)上.聯(lián)立后可解得C0得雙曲線(xiàn)方程.

14.“中國(guó)天眼”（如圖1）是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠

（球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線(xiàn)

段叫做球冠的高.若球面的半徑是五，球冠的高度是〃，則球冠的面積3=：例］）.已知天眼的球冠的底

的半徑約為250米，天眼的反射面總面積（球冠面積）約為15萬(wàn)平方米，則天眼的球冠高度約為

【答案】130

【解析】

【分析】由（Rf）+250J=*,結(jié)合求解.

【詳解】由題意得：住一初+空爐=*,則鄧=力、？50。

貝（］2戒方=而‘+150-n=250000,所以n（兀）,

h—250x052=130

所以

故答案勺：130.

15.10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若

其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法有種

【答案】420

【解析】

【分析】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把2人在5個(gè)位置選2個(gè)進(jìn)行排列，按照乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算

即可.

【詳解】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有°;種選法，

調(diào)整后前排有5個(gè)人，把2人在5個(gè)位置選2個(gè)進(jìn)行排列由A；種站法，

其他3人的相對(duì)順序不變站到剩余3個(gè)位置，

按照乘法計(jì)數(shù)原理得總共有C2=4川種方法.

故答案為：420

Jtr-尸+―.Jr<0

〃X)=,0

16.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若關(guān)于'的方程?"一"二,有

且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

【答案】(上田I

【解析】

【分析】設(shè)/71,由題可得當(dāng)T>0時(shí)，，l；n有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而可得二'ier=:8一上

有兩個(gè)正數(shù)解，令g'，?=?>L：?,考查直線(xiàn)j二-^-k與曲線(xiàn)g門(mén)1=>Jx>o?相切時(shí)后的

值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】令“(X)*/(*)+/(-]),可得51一"=/(-*)+/(x)=F(x)

所以函數(shù)ksI為偶函數(shù)，

因?yàn)椤?=1>0,則尸1°)=，°)>°,所以，當(dāng)“0時(shí)，函數(shù)尸N有兩個(gè)零點(diǎn),

人尸|T|=ir+l)e*-far-e”+—=xe*-h+一

且當(dāng)TAO時(shí)，-T<0,可得22

令尸⑶=°,可得為-左=近二

令g(x)=2xe=其中>o,則g")=2(x+lW>0,故函數(shù)g(x)在◎+0)上為增函數(shù),

下面考查直線(xiàn)J=-fa-A與函數(shù)gs?的圖象相切的情形：

設(shè)直線(xiàn))'=%-?與函數(shù)gl'i的圖象相切于點(diǎn)億其中r>0,

函數(shù)”的圖象在i=r處的切線(xiàn)斜率為

故曲線(xiàn)-v=g(、)在點(diǎn)億“('))的切線(xiàn)的方程為k*=即+1)?*

即j=[r+h,

2Jt=2(t+l)e,

--上=-%，'

由題意可得°,解得"1,2=*,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)上>“時(shí)，直線(xiàn)】'=>匕-上與曲線(xiàn)1'=即"）在（"T9）上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

即此時(shí)函數(shù)尸?在山+''上有兩個(gè)零點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)上的取值范圍是仁0+81.

故答案為：仁0+81.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖

象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與■■軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形

結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

（3）參變量分離法：由分離變量得出小一，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)=a與函數(shù)

」二刈”的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在中，內(nèi)角A,D,0的對(duì)邊分別為a,b,c,且回一asinC=辰（:。￡4.

ci）求「；

（2）若C=3,NHC8的平分線(xiàn)CD交于點(diǎn)D,且8=2.求的面積.

n

【答案】（1）3

⑵2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算可得;

Z^ACD=^BCD——?、（八上八\

（2）依題意得6,由=0c可得再由余弦定

理得到°-血，即可求出ab,最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)閍sinC='^rcos月，由正弦定理可得JJnn8-sin4sin。="sinCcos/,

即"sin(4+C)-sin<?inC=^sinCcosX

即OanHcosC+4cosjifinC-anAnnC=-j3anCcosA,

所以Gsin，drosC=smA-\nC,

又/w(O.n),所以sin4〉0,

所以Gec—c則由。=器二百

又°所以-3.

【小問(wèn)2詳解】

Z>4CD=Z5CD=-

解：由題意，得6,

又QW='/B+SIJCP,

7?n.1f.冬

J&sin—+—xJasin一

所以二626,

即衣力=2（a+b）

9=a，+b’-2a6cos-

由余弦定理得

-3ab

，解得ab=?；騛5=-］（舍），

S=~afesinC=

所以2

18.設(shè)公差不為。的等差數(shù)列；”的前刃項(xiàng)和為鼻，若芯=：’,且％,牝，%成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列t,的通項(xiàng)公式;

1013；…q

N、、=（"eN,n>2）

（2）求滿(mǎn)足條件I工）1吊的正整數(shù)浦的最大值.

【答案】⑴，?

(2)674

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列10」的首項(xiàng)為4,公差為““工?！保缓蟾鶕?jù)題意列方程組可求出外?從

而可求出通項(xiàng)公式;

1（力一】）（〃+li1

（2）由（1）得2=/，則"，從而可求出廠1--

*用，,再解不

等式可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列；％'的首項(xiàng)為4，公差為^°?

因?yàn)?=9,且％,%%4成等比數(shù)列,

立1+如=9J0]+d=3

所以a；=%%a；+8a/+16d'=個(gè)+14a,+I3rf，

a1+d=3

s.

解得_

即rf-2a1=0

所以數(shù)列門(mén)'的通項(xiàng)公式為q="一M"'“I

【小問(wèn)2詳解】

en(l+2n-l)

，■1s.=?=w

由⑴知仇=」T,易得

,1,1nJ-l(?-1)(?+1)

]-=]-="^―^―=■

則S.///，

1x3”(n-l)(n+l)力+1

1013,.八

—^-He1NM.〃22

y

因?yàn)?s：2023'

刀+11013

所以52023,

二023

n￡-------

解得

所以正整數(shù)〃的最大值為674.

19.如圖1,在平面六邊形ADCF2E中，四邊形A2CD是邊長(zhǎng)為的0正方形，“月BE和，月。尸均為正

三角形，分別以AC,BC,A3為折痕把daCuBCF二」L8E折起，使點(diǎn)。，F(xiàn),E重合于點(diǎn)P,得到如

圖2所示的三棱錐尸1430.

(1)證明：平面PAC_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M是棱PA上的一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與平面PAC所成的角最大時(shí)，求二面角M-80-,4的余弦

值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

3VTT

（2）II

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意證明平面尸4C,即可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可知直線(xiàn)8M與平面PAC所成的角為4M。，利用正切值分析可得當(dāng)M為尸人的中點(diǎn)

時(shí)，直線(xiàn)8/與平面PAC所成的角最大，建系，利用空間向量求二面角.

【小問(wèn)1詳解】

取4C的中點(diǎn)。，連接尸OQB,

...H4=H?,AB=4C,。為4。的中點(diǎn)，

???P01AC.B0LAC，

又...尸。=。3=1,尸B=則汽?/。爐=尸爐，

???FC_LC3，

尸0rMe=0.汽X4Cu平面PAC,

則。B_L平面PAC,

OBU平面ABC,故平面PAC_L平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

連接C",

由（1）可知：03,平面PAC,則直線(xiàn)與平面PAC所成的角為/AW。，即

。1

tanZs^BMO=-B---=

0M0M,

當(dāng)Z1M0取到最大時(shí)，則CM取到最小,即0M1PA,且。1=0P,

故當(dāng)M為R4的中點(diǎn)時(shí).，直線(xiàn)8M與平面PAC所成的角最大，

M（010）.B（1001

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則122）,

設(shè)平面AIBC的法向量為"=1?,

nCfi=x+y=0

{?CW=-v+l==0

令x=l,則F=T：=3,即"=（】T3I,

由題意可得：平面/SC的法向量為巾"，

nm33V1T

R=p|P=7T=-

由圖可得二面角劣八30,4為銳角,

3網(wǎng)

故二面角BC-A的余弦值為1F

20.某市工業(yè)部門(mén)計(jì)劃對(duì)所轄中小型企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是對(duì)所轄的400家企業(yè)是否支持技

術(shù)改造進(jìn)行的問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果:

支持不支持合計(jì)

中型企業(yè)602080

小型企業(yè)180140320

合計(jì)240160400

(1)依據(jù)小概率值&=(的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?！庇嘘P(guān)；

(2)從上述支持技術(shù)改造的中小型企業(yè)中，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12家企業(yè)，然后從這12家企業(yè)

中隨機(jī)選出9家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，中型企業(yè)每家獎(jiǎng)勵(lì)60萬(wàn)元，小型企業(yè)每家獎(jiǎng)勵(lì)20萬(wàn)元.設(shè)X為所發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)的

總金額(單位：萬(wàn)元)，求.V的分布列和均值.

,_n(ad-hc')1

附：？(a+b)(c+d)(a+c)(b+dln=a+b+c+d.

a00100050001

6635787910,828

【答案】(1)推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于。/士.

(2)分布列見(jiàn)解析，270

【解析】

【分析】(1)提出零假設(shè)，計(jì)算？’，比較其與臨界值的大小，確定是否接受假設(shè)；

(2)求隨機(jī)變量X的所有可能取值，確定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

零假設(shè)為:“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”無(wú)關(guān)

,400x（60x140-180x20）3

丁=-------------------------*9A.J57

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到80-320?2140-lt-0,

P{/>7879）=0005

根據(jù)小概率值百=°的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷K不成立，

即認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?！庇嘘P(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于Q005.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知支持節(jié)能降耗技術(shù)改造的企業(yè)中，中型企業(yè)與小型企業(yè)的數(shù)量比為13.

所以按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出的12家企業(yè)中有3家中型企業(yè)，9家小型企業(yè).

選出的9家企業(yè)的樣本點(diǎn)是'LSI,'二，7：1,不上）（前者為中型企業(yè)家數(shù)，后者為小型企業(yè)家

數(shù)）.

故》的所有可能取值為180,220,260,300.

：

產(chǎn)(X=180)=等—=1

220

產(chǎn)（X=2刈=有:27

------=11

.2209

；

產(chǎn)(X=260)=%—=10827

,22055

aVCJC?8421

P\X=300)=-—=----=—

U22055

故丫的分布列為

X180220260300

1272721

P

2202205555

X的均值為

1p、7

E（XI=180x—+220x—4260x—+300x—=270

2202205555

21.已知拋物線(xiàn)C、'=二丫，點(diǎn)M為直線(xiàn)J'=-l上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M的橫坐標(biāo)不為0）,過(guò)點(diǎn)A/作C的兩

條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A8.

（1）證明：直線(xiàn)上3過(guò)定點(diǎn)；

（2）若以點(diǎn)N（°T）為圓心的圓與直線(xiàn),43相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段.48的中點(diǎn)，求四邊形兒481的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）6版.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)分別求點(diǎn)48處的切線(xiàn)，分析可得直線(xiàn)月3的方程為）-1'+二=0,

即可得結(jié)果；

S=4（/+41]4+4+/：]

（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求得四邊形，必/SN的面積-'W'+'J,再根據(jù)由

而_1_43求得『=2,代入即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)AiVp,Vi）Bix..y.）

X2X

y——yx~

因?yàn)?,則，2,

yi=工土

所以,?二’，則切線(xiàn)A〃的斜率為2.

21+1=3.

故$2,整理得5-