甘肅省白銀市學(xué)科基地高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二）

2021年甘肅省白銀市學(xué)科基地高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，2，，，則A．， B．， C．， D．，2，2．（5分）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，則A． B． C． D．3．（5分）已知向量，滿(mǎn)足，，且，則A． B．2 C． D．44．（5分）已知為奇函數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）《算法統(tǒng)宗》古代數(shù)學(xué)名著，其中有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第二個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要長(zhǎng)幼分明，使孝順子女的美德外傳，則第五個(gè)孩子分得斤數(shù)為A．65 B．99 C．133 D．1506．（5分）設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則上的取值范圍為A． B． C． D．7．（5分）以直角三角形兩直角邊為直徑向外作兩個(gè)半圓，以斜邊為直徑向內(nèi)作半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙（希波克拉蒂月牙）面積的和等于該直角三角形的面積，這個(gè)定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”．如圖所示，在直角三角形中，，，將整個(gè)圖形記為區(qū)域，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入“希波克拉蒂月牙”的概率為A． B． C． D．8．（5分）過(guò)正方體頂點(diǎn)作平面，使平面，和的中點(diǎn)分別為和，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．9．（5分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中，則曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為A． B． C． D．10．（5分）已知，是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是，在第二象限的公共點(diǎn)．若，則的離心率為A． B． C． D．11．（5分）已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，，，其中行列式計(jì)算表示為，若向量，則A．，， B．，4， C．，8， D．，，12．（5分）設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)，時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程且有且只有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則．14．（5分）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，與該拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若的面積等于為坐標(biāo)原點(diǎn)），則．15．（5分）在中，已知，，，則．16．（5分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且直線(xiàn)PB與CD所成角的余弦值為，則四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）如圖，三棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．19．（12分）已知橢圓左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段與的公共點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程．（2）與的交點(diǎn)為，，且恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的面積．20．（12分）盲盒里面通常裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶．由于盒子上沒(méi)有標(biāo)注，購(gòu)買(mǎi)者只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買(mǎi)到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”．某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式，且每個(gè)盲盒只裝一個(gè)．（1）若每個(gè)盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同．某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶，若他再購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？（2）某銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機(jī)發(fā)放了200份問(wèn)卷，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有的人購(gòu)買(mǎi)了該款盲盒，在這些購(gòu)買(mǎi)者當(dāng)中，女生占；而在未購(gòu)買(mǎi)者當(dāng)中，男生女生各占．請(qǐng)根據(jù)以上信息填寫(xiě)表，并分析是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)該款盲盒與性別有關(guān)？女生男生總計(jì)購(gòu)買(mǎi)未購(gòu)買(mǎi)總計(jì)200參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）該銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)已經(jīng)售賣(mài)該款盲盒6周，并記錄了銷(xiāo)售情況，如表：周數(shù)123456盒數(shù)1623252630由于電腦故障，第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失，該銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用第1、3周數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．①請(qǐng)用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（注，②若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2盒，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的，試問(wèn)①中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠？21．（12分）已知且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，存在、，使成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做．則按所做的第一題記分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]22．（10分）已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線(xiàn)的普通方程；（2）、為曲線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)，若，求的值．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．（3）已知，，，且，求的最小值及此時(shí)，，的值．2021年甘肅省白銀市學(xué)科基地高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，2，，，則A．， B．， C．， D．，2，【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【分析】求出集合，利用交集定義能求出．【解答】解：集合，2，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，涉及到交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，則A． B． C． D．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【分析】由圖可知：，，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：由圖可知：，，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量，滿(mǎn)足，，且，則A． B．2 C． D．4【考點(diǎn)】向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【分析】可設(shè)，然后根據(jù)可得出，然后根據(jù)即可求出的值．【解答】解：設(shè)，則：，，，且，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知為奇函數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件【分析】由為奇函數(shù)可得，然后由求得范圍，最后求得正確選項(xiàng)．【解答】解：為奇函數(shù)，，即，，由得，，解得，“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)性質(zhì)及充分、必要條件的判定，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）《算法統(tǒng)宗》古代數(shù)學(xué)名著，其中有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第二個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要長(zhǎng)幼分明，使孝順子女的美德外傳，則第五個(gè)孩子分得斤數(shù)為A．65 B．99 C．133 D．150【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【分析】設(shè)這八個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由題設(shè)求得其首項(xiàng)與公差，即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)這八個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由題設(shè)知：公差，又，解得，故，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用及等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則上的取值范圍為A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域，再由的幾何意義，可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率求解．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立方程組求得，，，的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，，，的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7．（5分）以直角三角形兩直角邊為直徑向外作兩個(gè)半圓，以斜邊為直徑向內(nèi)作半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙（希波克拉蒂月牙）面積的和等于該直角三角形的面積，這個(gè)定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”．如圖所示，在直角三角形中，，，將整個(gè)圖形記為區(qū)域，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入“希波克拉蒂月牙”的概率為A． B． C． D．【考點(diǎn)】幾何概型【分析】由已知先求出月牙的面積，然后求出圖形的總面積，結(jié)合與面積有關(guān)的幾何概率公式可求．【解答】解：直角三角形中，，，所以，，，，，，，故向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，點(diǎn)落入“希波克拉蒂月牙”的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了與面積有關(guān)的幾何概率的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）過(guò)正方體頂點(diǎn)作平面，使平面，和的中點(diǎn)分別為和，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角【分析】將與平面所成的角轉(zhuǎn)化為與平面所成的角，利用線(xiàn)面角的定義找到對(duì)應(yīng)的角，然后在三角形中利用邊角關(guān)系求解即可．【解答】解：如圖所示，平面，則與平面所成的角即為與平面所成的角，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè)交點(diǎn)為，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，為正方體的中心，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以平面，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，則，連結(jié)，則為線(xiàn)在平面的投影，所以為直線(xiàn)和平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)面角的求解，在使用幾何法求線(xiàn)面角時(shí)，可通過(guò)已知條件，在斜線(xiàn)上取一點(diǎn)作該平面的垂線(xiàn)，找出該斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得，屬于中檔題．9．（5分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中，則曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為A． B． C． D．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程【分析】由題意求得，可得函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到，再求出，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：為奇函數(shù)，，則，，，，驗(yàn)證此時(shí)為奇函數(shù)，，，，又，曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10．（5分）已知，是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是，在第二象限的公共點(diǎn)．若，則的離心率為A． B． C． D．【考點(diǎn)】：橢圓的性質(zhì)【分析】不妨設(shè)，，依題意，解此方程組可求得，的值，利用雙曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)即可求得的離心率．【解答】解：設(shè)，，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，，，；，即；①又四邊形為矩形，，即，②由①②得：，解得，，設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，，雙曲線(xiàn)的離心率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得與是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（5分）已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，，，其中行列式計(jì)算表示為，若向量，則A．，， B．，4， C．，8， D．，，【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)公式代入計(jì)算即可得出．【解答】解：由題意得：，8，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的坐標(biāo)意義是解題的關(guān)鍵．12．（5分）設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)，時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程且有且只有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【考點(diǎn)】53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【分析】由已知中可以得到函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為4，將方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的與函數(shù)的圖象恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：對(duì)于任意的，都有，，函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，且．又當(dāng)，時(shí)，，且函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則函數(shù)與在區(qū)間上有四個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：又（2）（6），則對(duì)于函數(shù)，由題意可得，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于1，即，由此解得：，的范圍是故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則6．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【分析】求出展開(kāi)式的第5項(xiàng)，令的指數(shù)為0即可求解．【解答】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第5項(xiàng)為，令，解得，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，與該拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若的面積等于為坐標(biāo)原點(diǎn)），則2．【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的性質(zhì)；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合【分析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，得到直線(xiàn)，代入拋物線(xiàn)方程可得，設(shè)，，，，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，從而直線(xiàn)的方程為：，代入拋物線(xiàn)方程可得，設(shè)，，，，則，，的面積等于，即，可得，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．15．（5分）在中，已知，，，則．【考點(diǎn)】余弦定理【分析】作，交于，則，在中，先由余弦定理列得關(guān)于長(zhǎng)度的方程，再由余弦定理求出．【解答】解：，，，，作，交于，則，，即，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，，，解得，，，在中，由余弦定理知，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形中余弦定理的應(yīng)用，作輔助線(xiàn)構(gòu)造角度是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16．（5分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且直線(xiàn)PB與CD所成角的余弦值為，則四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為6π．【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，ABCD為矩形，故把四棱錐P﹣ABCD可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，四棱錐P﹣ABCD可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體．因?yàn)锳B∥CD，所以直線(xiàn)PB與CD所成角等于直線(xiàn)PB與AB所成角，即cos∠PBA＝，所以tan∠PBA＝，PA＝1．設(shè)四棱錐P﹣ABCD的外接球半徑為R，則（2R）2＝12+12+22，即4R2＝6，所以表面積為6π．故答案為：6π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的外接球，可用補(bǔ)形法求解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；：數(shù)列的求和【分析】本題第（1）題先根據(jù)公式，初步計(jì)算出數(shù)列的含有參數(shù)的通項(xiàng)公式，然后將，，代入通項(xiàng)公式，并根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，解出的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（2）題先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出的表達(dá)式，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將通項(xiàng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法可計(jì)算出前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，，，，成等比數(shù)列，，，解得，，．（2）由（1）知，，則，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問(wèn)題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，分類(lèi)討論法，裂項(xiàng)相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬中檔題．18．（12分）如圖，三棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面垂直；二面角的平面角及求法【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明；（2）用向量數(shù)量積計(jì)算直線(xiàn)與平面成角的正弦值和二面角的余弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)?，所以平面．?）解：由已知和（1）得，、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，，，，，，，令，，0，，，令，，，，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，解得，，0，，，，，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，考查了直線(xiàn)成平面成角和二面角的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題．19．（12分）已知橢圓左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段與的公共點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程．（2）與的交點(diǎn)為，，且恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的面積．【考點(diǎn)】：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；：直線(xiàn)與橢圓的綜合【分析】（1）由題意可得，所以，可得的值，又，可求出的值，從而得出橢圓的方程；（2）由，結(jié)合，可求處點(diǎn)的坐標(biāo)，分情況討論即可求出的面積．【解答】解：（1）由圓可得，因?yàn)?，所以，即，又，故，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，，又，解得，，若，則，直線(xiàn)的方程為，由．解得，即，，所以的面積，若，同理可求得的面積，綜上所述，的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，是中檔題．20．（12分）盲盒里面通常裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶．由于盒子上沒(méi)有標(biāo)注，購(gòu)買(mǎi)者只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買(mǎi)到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”．某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式，且每個(gè)盲盒只裝一個(gè)．（1）若每個(gè)盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同．某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶，若他再購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？（2）某銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機(jī)發(fā)放了200份問(wèn)卷，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有的人購(gòu)買(mǎi)了該款盲盒，在這些購(gòu)買(mǎi)者當(dāng)中，女生占；而在未購(gòu)買(mǎi)者當(dāng)中，男生女生各占．請(qǐng)根據(jù)以上信息填寫(xiě)表，并分析是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)該款盲盒與性別有關(guān)？女生男生總計(jì)購(gòu)買(mǎi)未購(gòu)買(mǎi)總計(jì)200參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）該銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)已經(jīng)售賣(mài)該款盲盒6周，并記錄了銷(xiāo)售情況，如表：周數(shù)123456盒數(shù)1623252630由于電腦故障，第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失，該銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用第1、3周數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．①請(qǐng)用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（注，②若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2盒，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的，試問(wèn)①中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠？【考點(diǎn)】：線(xiàn)性回歸方程；：獨(dú)立性檢驗(yàn)【分析】（1）由題意列出基本事件，得到恰好能收集齊這三種樣式的事件數(shù)，再由古典概型概率計(jì)算公算求解；（2）由題意填寫(xiě)列聯(lián)表，求出的值，結(jié)合臨界值表得結(jié)論；（3）①由數(shù)據(jù)，求得與的值，可得關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；②分別求出，時(shí)的值，再求出與實(shí)際值差的絕對(duì)值，與1比較大小得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，基本事件空間為：，，，，，，，，基本事件個(gè)數(shù)共9個(gè)．恰好能收集齊這三種樣式為事件，則，，事件個(gè)數(shù)共2個(gè)．則恰好能收集齊這三種樣式的概率；（2）列聯(lián)表如下：女生男生總計(jì)購(gòu)買(mǎi)402060未購(gòu)買(mǎi)7070140總計(jì)11090200，又，故有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)該款盲盒與性別有關(guān)；（3）①由數(shù)據(jù)，求得，．．．關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為；②當(dāng)時(shí)，，；同樣，當(dāng)時(shí)，，．①中所得的線(xiàn)性回歸方程是可靠的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率的求法，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，訓(xùn)練了線(xiàn)性回歸方程的求法，是中檔題．21．（12分）已知且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，存在、，使成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）求導(dǎo)得，由，得，進(jìn)而可得增區(qū)間，減區(qū)間．（2）根據(jù)題意可得，設(shè)在，上的最大值為，最小值為，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為，對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，進(jìn)而可得，，（1），設(shè)（a）（1），（1），對(duì)（a）求導(dǎo)，分析單調(diào)性，分兩種情況時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，再計(jì)算，進(jìn)而可得的取值范圍．【解答】解：（1）由已知，因?yàn)椋?，由得：增區(qū)間，由得：減區(qū)間．（2）由已知：，設(shè)在，上的最大值為，最小值為，依題意：，因?yàn)椋?，所以，所以為增?/p>