4.4.3 不同函數(shù)增長的差異（解析版）

4.4.3《不同函數(shù)增長的差異》分層練習(xí)考查題型一三類函數(shù)模型增長差異的比較1．下列函數(shù)增長速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)為二次函數(shù)，為遞增的對數(shù)函數(shù)，為遞增的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得指數(shù)函數(shù)增長速度最快．故選：A.2．已知，則下列命題中正確的是（

）A．，，有成立B．，，有成立C．，，有成立D．，，有成立【答案】A【詳解】因為，所以函數(shù)、、均為單調(diào)遞增函數(shù).而且各類函數(shù)的增長速度為：指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù)，冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù).所以，，，有成立.故選：A.3．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，又，所以隨x的增大而減小，故D不正確；又與它們都是增函數(shù)，因為為指數(shù)函數(shù)，為對數(shù)函數(shù)，則隨x的增大而增大且速度最快的是.故選：A(多選題)4．設(shè)，當(dāng)時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．的增長速度最快，的增長速度最慢B．的增長速度最快，的增長速度最慢C．的增長速度最快，的增長速度最慢D．的增長速度最快，的增長速度最慢【答案】ACD【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個函數(shù)中，當(dāng)時，函數(shù)增長速度最快，增長速度最慢.所以選項B正確；選項ACD不正確.故選：ACD.考查題型二函數(shù)圖象的識別問題1．下圖反映的是下列哪類函數(shù)的增長趨勢（

）A．一次函數(shù)B．冪函數(shù)C．對數(shù)函數(shù) D．指數(shù)函數(shù)【答案】C【詳解】從圖象可以看出這個函數(shù)的增長速率越來越慢，反映的是對數(shù)函數(shù)的增長趨勢.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象選擇合適的函數(shù)模型，屬于基礎(chǔ)題.2.在2h內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.下面能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】解：在在2h內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C．能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是B．故選：B．3.函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】的定義域為關(guān)于原點對稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除AB；當(dāng)，故C錯誤故選：D4.下圖是某廠實施“節(jié)能減碳”措施前后，總產(chǎn)量y與時間x（月）的函數(shù)圖象，則該廠（

）A．前3個月的月產(chǎn)量逐月增加 B．第5月的月產(chǎn)量比第4個月少C．第6月的月產(chǎn)量與第5個月持平 D．第3個月結(jié)束后開始減產(chǎn)，直至停產(chǎn)【答案】ACD【詳解】前三個月，圖象緩慢上升，且函數(shù)值增加越來越大，故前3個月的月產(chǎn)量逐月增加，A正確.從3月開始到5月，圖象緩慢上升，但函數(shù)值增加的幅度變小，且第6月的月產(chǎn)量與第5個月持平，故CD正確，B錯誤.故選：ACD考查題型三函數(shù)模型的選擇1．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示，數(shù)據(jù)散點圖和對數(shù)函數(shù)的圖象類似，所以選項D最能反映之間的函數(shù)關(guān)系.故選：D.2.四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別是：①，②，③，④.如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是.（只要填序號）【答案】④【詳解】由函數(shù)的性質(zhì)可知，指數(shù)函數(shù)的增長速度是先慢后快，最終跑在最前面的是指數(shù)函數(shù)，所以最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是④，故答案為：④3.某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時，應(yīng)分別選擇方案.【答案】乙、甲、丙.【詳解】根據(jù)題意，列出當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值如下所示：50010001500甲：y＝0.2x100200300乙：y＝log2x＋100約等于108.96約等于109.96約等于110.55丙：y＝1.005x約等于12.1約等于146.57約等于1774.57根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知：當(dāng)投資時，應(yīng)分別選擇乙，甲，丙方案.故答案為：乙、甲、丙.【點睛】本題考查函數(shù)增長率的差異，屬簡單題；同時，本題也可以通過函數(shù)增長率直接進行判斷.4.函數(shù)和的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點，且.請指出圖中曲線分別對應(yīng)的函數(shù).

【答案】【詳解】由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知：對應(yīng)的函數(shù)為，對應(yīng)的函數(shù)為.考查題型四函數(shù)的綜合運用1.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為上的減函數(shù)，所以有，解得：，故選：A.2.若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時，；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時，；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時，，所以.故選：A.3.據(jù)報道，某淡水湖的湖水50年內(nèi)減少了10%，若年平均減少率相等，按此規(guī)律，設(shè)2019年的湖水水量為m，從2019年起，經(jīng)過x年后湖水水量y與x的函數(shù)解析式為．【答案】.【詳解】設(shè)每年湖水量為上一年的，則，所以，所以年后的湖水量為.故答案為：.4.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h(x)萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大.【答案】(1)；(2)70萬盒，利潤最大為1200萬元.【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時,,當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時,,故銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）當(dāng)時，（萬元）；當(dāng)時，，當(dāng)時，取到最大值1200萬元.5．已知f(x)＝ln是奇函數(shù).(1)求m；(2)判斷f(x)在(1，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明.【答案】(1)－1；(2)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，證明見解析.【詳解】（1）.是奇函數(shù),,即,得,；（2）在上單調(diào)遞減.證明:由(1)知.任取滿足,,由知,,,即,又為增函數(shù),,即在上是減函數(shù).1．若函數(shù)，，，則由表中數(shù)據(jù)確定、、依次對應(yīng)（

）x120.20.2550253.210200200102.4A．、、B．、、C．、、 D．、、【答案】D【詳解】因為，所以；因為，所以；因為，所以，故選：.(多選題)2．以下四種說法中，正確的是（

）A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．已知，則對任意的，C．對任意的，D．不一定存在，當(dāng)時，總有【答案】BD【詳解】對于選項A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度分別受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長速度不能比較，故A錯；對于選項B，因為，所以結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)圖象，易知，故B正確；對于選項C，當(dāng)時，結(jié)合圖象易知知不恒成立，故C錯；對于選項D，當(dāng)時，結(jié)合圖象易知，一定存在，使得當(dāng)時，總有，但若去掉限制條件“”，則結(jié)論不成立，故D正確.故選：BD.3．電子技術(shù)迅速發(fā)展，計算機的成本不斷降低，若每隔5年計算機的價格降低則現(xiàn)在價格為4050元的計算機經(jīng)過15年后價