2023高考一輪復(fù)習(xí)-統(tǒng)計(jì)概率

2023高考一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)概率專題

解答題(共16小題)

1.(2023?山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,

在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，那么"星隊(duì)"得3分：如果只有一個(gè)人猜對(duì)，那么“星隊(duì)"

得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，那么"星隊(duì)”得0分.甲每輪猜對(duì)的概率是W,乙每輪猜對(duì)的

4

概率是2；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)"星隊(duì)"參加

3

兩輪活動(dòng)，求：

[I)"星隊(duì)"至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；

(⑴“星隊(duì)"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

2.(2023?天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3

的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

(1)設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率；

(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

3.(2023?河北區(qū)三模)集成電路E由3個(gè)不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個(gè)電

子元件能正常工作的概率分別降為工，1,2,且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，假

223

設(shè)三個(gè)電子元件中至少有2個(gè)正常工作，那么E能正常工作，否那么就需要維修，且維修

集成電路E所需費(fèi)用為100元.

(I)求集成電路E需要維修的概率：

(∏)假設(shè)某電子設(shè)備共由2個(gè)集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所

需的費(fèi)用，求X的分布列和期望.

4.(2023?唐山一模)某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一

種，

方案一：每滿200元減50元:

方案二：每滿200元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)那么是依次從裝有3個(gè)紅球、1個(gè)白球的甲箱，裝

有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，

所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表注：所有小球僅顏色有區(qū)別)

紅球個(gè)數(shù)I3―I210

實(shí)際付款.半價(jià)吃而8折原價(jià)

一(IFliW不加豳成前噪Ξ「客抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率;

(H)假設(shè)某顧客購物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？

5.(2023?武漢校級(jí)模擬)某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高

三的全體IOOO名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)假設(shè)直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；

(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)

習(xí)成績是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1?50名和951?IOOO名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到右表中

數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù),

年級(jí)名次

1~50951~1000

是否近視

近視4132

不近視918

能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？

(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步

調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1?50的學(xué)生人數(shù)為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

6.(2023?海南校級(jí)模擬)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說明質(zhì)量

越好，記其質(zhì)量指標(biāo)為k,當(dāng)k285時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75Wk<85時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品；

當(dāng)70Wk<75時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做實(shí)驗(yàn)，

各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：1以下均

視頻率為概率)

A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻數(shù)分布表

指指

標(biāo)標(biāo)

[75,[80,[85,[90,[75,[80,[85,[90,[75,

值值

80)85)90)95)80)85)90)95)80)

分分

組組

?10304020?510154030

數(shù)數(shù)

(1)假設(shè)從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記"抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)

品"為事件C,求事件C的概率P(C)；

't,k>85

(2)假設(shè)兩種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足如下關(guān)系：y=5t2,75≤k<85(其

t2,70<k<75

中L<t<L),從長期來看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大？

76

7.(2023?興慶區(qū)校級(jí)二模)袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是

白色的概率為L?現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，…,

7

取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的時(shí)機(jī)都是等可能

的.用X表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).

(I)求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)求甲取到白球的概率.

8.12023??？谀M)汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這

兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

A型車

出租天數(shù)1234567

車輛數(shù)510JO351532

B型車

出租天數(shù)1234567

車輛數(shù)1420201615105

(I)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰

好是A型車的概率；

(H)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天

數(shù)恰好為4天的概率；

(IH)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A,B兩種車型中購置

一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購置哪一種車型，并說明你的理由.

9.(2023?大連二模)甲、乙兩名乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)

情況，每一局甲勝的概率為2,乙勝的概率為工，如果比賽采用"五局三勝制”[先勝三局

33

者獲勝，比賽結(jié)束).

(1)求甲獲得比賽勝利的概率；

(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

10.(2023?泰安二模)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校

200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1單位：分鐘)進(jìn)行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)

分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)六組,并作出頻率分

布直方圖(如圖).將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為"課外體育達(dá)標(biāo)”.

(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2X2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概

率不超過0.01的前提下認(rèn)為"課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)

?60

女110

合計(jì)______________

(2)現(xiàn)按照"課外體育達(dá)標(biāo)"與"課外體育不達(dá)標(biāo)”進(jìn)行分層抽樣，抽取12人，再從這12

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，記"課外體育達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為求S得分布

列和數(shù)學(xué)期望.

附參考公式與數(shù)據(jù)：K2=-一jgα>D7__

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22ko)0.100.050.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

11.(2023?遼寧校級(jí)模擬)語文成績服從正態(tài)分布N(100,17.52),數(shù)學(xué)成績的頻率分布

直方圖如圖，如果成績大于135的那么認(rèn)為特別優(yōu)秀.

(I)這500名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？

12)如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，

從(1)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有X人，求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望附公式及表)

假設(shè)x~N(μ,σ2),那么P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.68,P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.96.

乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于

或等于82為合格品，小于82為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果

統(tǒng)計(jì)如表：

測(cè)試指標(biāo)[70,76)[76,82)[82,88][88,94)[94,100]

芯片甲81240328

芯片乙71840296

(I)試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率；

(Il)生產(chǎn)一件芯片甲，假設(shè)是合格品可盈利40元，假設(shè)是次品那么虧損5元；生產(chǎn)一件

芯片乙，假設(shè)是合格品可盈利50元，假設(shè)是次品那么虧損10元.在(I)的前提下，

(i)記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

Iii)求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元的概率.

13.(2023?石嘴山校級(jí)一模)在一次考試中，5名同學(xué)數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)绫硭荆?/p>

學(xué)生ABCDE

數(shù)學(xué)(X分〕8991939597

物理Iy分)8789899293

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求物理分y對(duì)數(shù)學(xué)分X的回歸方程:

(2)要從4名數(shù)學(xué)成績?cè)?0分以上的同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，以X表示選中的同

學(xué)中物理成績高于90分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).(附：回歸方

n__

...^∑(χ1-χ)(yi-y)--

程y=bx+a中，b=∏7-J，a=y.b^P

2

∑(χ1-χ)

i=l

14.(2023?重慶模擬)某火鍋店為了了解氣溫對(duì)營業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份中5

天的日營業(yè)額y(單位：千元)與該地當(dāng)日最低氣溫X(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如表：

X2589??

y1210887

(I)求y關(guān)于X的回歸方程S=Rx+]

(II)判定y與X之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；假設(shè)該地1月份某天的最低氣溫為6℃,用所

求回歸方程預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的營業(yè)額._

(In)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X?N(μ,δ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)彳，砂近似為

樣本方差S2,求P(3.8<X<13.4]

n_____

-

Σχiy4∏χy

-AAA△i=l——

附：①zx回歸方程y=bx+a中，b="，a=y-bχ?

Σx∕-nχ

i=l

2

②√元43.2,√372?≈1.8.假設(shè)X?N(μ,δ)f那么P[μ-δ<X<μ+δ)=0.6826,P(μ

-2δ<X<μ+2δ)=0.9544.

15.(2023春?撫州校級(jí)月考)西安世園會(huì)志愿者招騁正如火如荼進(jìn)行著，甲、乙、丙三名

大學(xué)生躍躍欲試，甲能被錄用的概率為2,甲、乙兩人都不能被錄用的概率為工，乙、丙

312

兩人都能被錄用的概率為W.

8

(1)乙、丙兩人各自能被錄用的概率：

(2)求甲、乙、丙三人至少有兩人能被錄用的概率.

16.12O23?東城區(qū)模擬)某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)￡

的分布列為

ξ12345

P0.40.20.20.10.1

商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250

元；分4期或5期付款，其利潤為300元，n表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.

(I)求事件A："購置該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款"的概率P(A)；

t∏)求n的分布列及期望Er1.

2023高考一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)概率專題

參考答案與試題解析

解答題(共16小題)

1.(2023?山東)甲、乙兩人組成"星隊(duì)〃參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,

在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，那么"星隊(duì)"得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，那么“星隊(duì)"

得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，那么"星隊(duì)”得0分.甲每輪猜對(duì)的概率是W,乙每輪猜對(duì)的

4

概率是2；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)"星隊(duì)"參加

3

兩輪活動(dòng)，求：

(I)"星隊(duì)〃至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；

(II)"星隊(duì)"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

【分析】⑴“星隊(duì)"至少猜對(duì)3個(gè)成語包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)"，"甲猜對(duì)2個(gè)，

乙猜對(duì)1個(gè)"，"甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)"三個(gè)根本領(lǐng)件，進(jìn)而可得答案；

(II)由可得："星隊(duì)"兩輪得分之和為X可能為：0,1,2,3,4,6,進(jìn)而得到X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：⑴"星隊(duì)"至少猜對(duì)3個(gè)成語包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)"，"甲猜對(duì)2

個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)"，"甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)"三個(gè)根本領(lǐng)件，

故概率

P=C；仔(1號(hào))?號(hào)產(chǎn)號(hào))2｛母(Li?)+號(hào))2.錚)臺(tái)q

(H)"星隊(duì)"兩輪得分之和為X可能為：0,1,2,3,4,6,

那么P(X=O)=(I-W)2.(1-2)

4i3，144

P(X=I)=2X[W,(1-W),(1-?)2+(1-?)2,?,(1-?)

44，3，4，33，144

P(X=2)

亭(1-令李?(1∕)卷+

α"?σ-f)÷(i-∣)4?(i-?)???

P(X=3)=2xW?Z.(1-?).(1-?)=JL2-,

434，3，144

P(χ=4)=2×[A√1-?),(?)2+-?(l-?).f?)2>-θL

44)%'33'『144

(9

p[χ=6"(?∣)￠)=磊

故X的分布列如以下圖所示:

X012346

1

P1025126036

^144^144^144^144^144^144

/.數(shù)學(xué)期望EX=OX?+1X」°一+2X..?L+3XΔ2.+4Xθθ+6X托=552=絲

1441441441441441441446

【點(diǎn)評(píng)】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題.

2.(2023?天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3

的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

(1)設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4",求事件A發(fā)生的概率；

(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【分析】(I)選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4為事件A,求出選出的2人參加義工活

動(dòng)次數(shù)之和的所有結(jié)果，即可求解概率.那么P(A).

⑵隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3)

的值，由此能求出X的分布列和EX.

【解答】解：(1)從10人中選出2人的選法共有c?=45種，

事件A：參加次數(shù)的和為4,情況有：①1人參加1次，另1人參加3次，②2人都參加2

次；

共有C；C：+C科5種,

C?C

事件A發(fā)生概率：P=^-4~氣工

C23

(∏)X的可能取值為0,1,2.

.'.X的分布列為:

X012

474

P

^15^15^15

EX=OX-I?+1X工+2X=L

151515

【點(diǎn)評(píng)】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必

考題型.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意古典概型的靈巧運(yùn)用.

3.(2023?河北區(qū)三模)集成電路E由3個(gè)不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個(gè)電

子元件能正常工作的概率分別降為工，L2,且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，假

223

設(shè)三個(gè)電子元件中至少有2個(gè)正常工作，那么E能正常工作，否那么就需要維修，且維修

集成電路E所需費(fèi)用為100元.

(I)求集成電路E需要維修的概率；

(Il)假設(shè)某電子設(shè)備共由2個(gè)集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所

需的費(fèi)用，求X的分布列和期望.

【分析】(I)由條件利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求得3個(gè)元件都不能正常工作的概

率Pl的值，3個(gè)元件中的2個(gè)不能正常工作的概率P2的值，再把Pl和P2相加，即得所

求.

(∏)設(shè)S為維修集成電路的個(gè)數(shù)，那么S服從B(2,區(qū))，求得P(X=100ξ)=P(ξ=k)

12

的值，可得X的分布列，從而求得X的期望.

【解答】解：(I)三個(gè)電子元件能正常工作分別記為事件A,B,C,那么P(A)=1,P

2

(B)=LP(C)=2.

23

依題意，集成電路E需要維修有兩種情形:

①3個(gè)元件都不能正常工作，概率為Pl=P(N前)=P(A)P(B)P(C)=?×IxI=A-

____2_2312

②3個(gè)元件中的2個(gè)不能正常工作，概率為P2=P(A前)+P(ABC)+P(ABO

-I111.11112-1

-7×7×vy2+-×s7×v7+7×v7x3-T

所以，集成電路E需要維修的概率為P∣+P2=L+工巨.

12312

(∏)設(shè)S為維修集成電路的個(gè)數(shù)，那么S服從B(2,g)，而X=IOOS，

12

c-k72-k

P(X=100ξ)=P(ξ=k)=cK.層)?(_L_),k=o,1,2.

X的分布列為:

X0100200

P493525

1^1447∑144

...EX=O×49+100X登+200×25=25°.

144721443

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，離散型隨

機(jī)變量的分布列，屬于中檔題.

4.(2023?唐山一模〕某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一

種，

方案一：每滿200元減50元：

方案二：每滿200元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)那么是依次從裝有3個(gè)紅球、I個(gè)白球的甲箱，裝

有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，

所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：(注：所有小球僅顏色有區(qū)別)

紅球個(gè)教I3I2]?O

嚏際付款半價(jià)7近8折原價(jià)

(I)假設(shè)兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率；

(Il)假設(shè)某顧客購物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？

【分析】(I)先求出顧客獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出兩

個(gè)顧客至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率.

(H)分別求出方案一和方案二和付款金額，由此能比較哪一種方案更劃算.

【解答】解：(I)記顧客獲得半價(jià)優(yōu)惠為事件A,那么P(A)=3×2×1=X

4X4X432

兩個(gè)顧客至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率：

P=I-P(A)p(7)=ι-(1--?-)2=-l?L....(5分)

321024

(口)假設(shè)選擇方案一，那么付款金額為320-50=270元.

假設(shè)選擇方案二，記付款金額為X元，那么X可取160,224,256,320.

P(X=160)??,

32

P(χ=224).3X2X3+3X2X1+1X2XL13

4X4X432,

P[χ=256)∕X2×3+1X2X3+1X2><L13

4X4X432,

P(X=320)=lX2X3=d,

4X4X432

那么E(X)=160X2+224X”+256X生+32OX芻=240.

32323232

V270>240.

.?.第二種方案比較劃算....(12分)

【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題,

解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

5.(2023?武漢校級(jí)模擬)某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高

三的全體IOOO名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)假設(shè)直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；

12)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)

習(xí)成績是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1?50名和951?IooO名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到右表中

數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

年級(jí)名次

1-50951—1000

是否近視

近視4132

不近視918

能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？

（3）在（2）中調(diào)查的IOO名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步

調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1?50的學(xué)生人數(shù)為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

P(K2^k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

（2）求出K2,由此能求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)

系.

（In）依題意9人中年級(jí)名次在1~50名和951?IOOO名分別有3人和6人，X可取0、1、

2、3,分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（1）設(shè)各組的頻率為fi（i=l,2,3,4,5,6）,

由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，...（1分）

因?yàn)楹笏慕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，

所以后四組頻數(shù)依次為27,24,21,18...（2分）

所以視力在5.0以下的頻率為：3+7+27+24+21=082,

100

故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為］000X/不820…（3分）

⑵k2∕*%嫖歲”普―即

因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系.…（6分）

（In）依題意9人中年級(jí)名次在1?50名和951?1000名分別有3人和6人，X可取0、1、

2、3,...（7分）

r3

V620

P%。)噎嗡

υ9

r^r?

45

P(X=I)=-

84

υ9

18

P(X=2)=下

84

υ9

51

P(χ=3)=西=施,

υ9

，X的分布列為:

X0?23

2045181

P

84848484

...(11分)

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=O×翁+1X襄+2X普+3xjr=ι???〔12分〕

o4o4o?o?

【點(diǎn)評(píng)】此題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型機(jī)隨機(jī)變量概率分布列、數(shù)學(xué)期望的

求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用.

6.(2023?海南校級(jí)模擬)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說明質(zhì)量

越好，記其質(zhì)量指標(biāo)為k,當(dāng)k》85時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75Wk<85時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品：

當(dāng)70Wk<75時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做實(shí)驗(yàn)，

各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：(以下均

視頻率為概率)

A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻數(shù)分布表

指?

標(biāo)標(biāo)

[75,[80,[85,[90,[75,[80,[85,[90,[75,

值值

80)85)90)95)80)85)90)95)80)

分分

組組

頻頻

10304020510154030

數(shù)數(shù)

(1)假設(shè)從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記"抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)

品”為事件C,求事件C的概率P(C)；

't,k>85

(2)假設(shè)兩種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足如下關(guān)系：y=5t2,75<k<85(其

t2,70≤k<75

中L<t<L),從長期來看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大？

76

【分析】(1)先求出P(抽中二級(jí)品)=1,由此能求出事件C的概率P(C).

4

(2)分別求出A的分布列，E(A)和B的分布列E(B),由此能求出從長期來看，投資

哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大.

【解答】解：(1)P(抽中二級(jí)品)=1,P(沒抽中二級(jí)品)=a,

44

p(c)=ι-(?)3=身

464

(3)A的分布列為：

ΛE(A)=0.6t+2t2

的分布列為:

76

ΛE(A)-E(B)=-Lt(t-?)>0,

107

.?.E(A)較大，投資A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題,

解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一.

7.(2023?興慶區(qū)校級(jí)二模)袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是

白色的概率為現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取,然后甲再取，…,

7

取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的時(shí)機(jī)都是等可能

的.用X表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).

(1)求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)求甲取到白球的概率.

【分析】(1)由先出白子個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)記事件A="甲取到白球"，那么事件A包括以下三個(gè)互斥事件：Ai="甲第1次取球時(shí)

取出白球"；A2="甲第2次取球時(shí)取出白球"；A3="甲第3次取球時(shí)取出白球”.利用互

斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率.

【解答】解：設(shè)袋中白球共有X個(gè)，那么依題意知：-?-l,即D-=L

C?7427

即x2-χ-6=0)解之得x=3,(X=-2舍去)....(1分)

(1)袋中的7枚棋子3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P(x=2)='3_2

~7

P(x=5)?A-1?A-??-1?,…(5分)

5

ΛA735

(注：此段(4分)的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣(1分)，錯(cuò)到4個(gè)即不得分.〕

隨機(jī)變量X的概率分布列為:

XJ____2J____4_5_______

3_631

P2

77而

所以E(X)=IXa+2X2+3X-L+4X且+5XL=2....(6分)

77353535

(2)記事件A="甲取到白球”，那么事件A包括以下三個(gè)互斥事件:

A∣="甲第I次取球時(shí)取出白球“；

A2="甲第2次取球時(shí)取出白球”；

A3="甲第3次取球時(shí)取出白球”.

AoO?P(A3)JAφ4A1=L，9分)

依題意知：P(Al)=――—^P(A2)

?;7??35A；35

(注：此段(3分)的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣(1分)，錯(cuò)到3個(gè)即不得分J

所以，甲取到白球的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=22...(10分)

35

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算公式，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，互

斥事件概率加法公式，難度中檔.

8.(2023??？谀M)汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這

兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

A型車

出租天數(shù)1234567

營輛數(shù)51030351532

B型車

出租天數(shù)1234567

柞輛數(shù)11420201615JO5

(I)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰

好是A型車的概率；

(∏)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天

數(shù)恰好為4天的概率；

(In)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A,B兩種車型中購置

一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購置哪一種車型，并說明你的理由.

【分析】(I)利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；

(∏)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天分為以下三種情況:

A型車1天B型車3天；A型車B型車都2天；A型車3天B型車1天，利用互斥事件和

獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出；

(∏)從數(shù)學(xué)期望和方差分析即可得出結(jié)論.

【解答】解：(I)：出租天數(shù)為3天的汽車A型車有30輛，B型車20輛.從中隨機(jī)抽取

一輛，這輛汽車是A型車的概率約為3U=0.6.

30+20

(II)設(shè)"事件Ai表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天"，

“事件Bj表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其中i,j=l,2,7.

那么該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為

P(A∣B3+A2B2+A3B1)=P(AiB3)+P(A2B2)+P(A3Bi)

=P(Ai)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(BI)

=工X里+?X?p?X衛(wèi)

100100100100100100

=9

^125-

該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為2.

125

(In)設(shè)X為A型車出租的天數(shù)，那么X的分布列為

X1234567

P0.050.100.300.350.150.030.02

設(shè)Y為B型車出租的天數(shù)，那么Y的分布列為

Y1234567

P0.140.200.200.160.150.100.05

E(X)=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62.

E(Y)=1×0.14+2×0.20+3X0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48.

一輛A類型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天,B類車型一個(gè)星期出租天數(shù)的

平均值為3.48天.

從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，A型車出租天數(shù)的方差大于B型車出租天數(shù)的方差，綜合分析，

選擇A類型的出租車更加合理.

【點(diǎn)評(píng)】上來掌握古典概型的概率計(jì)算公式、互斥事件和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期

望和方差的計(jì)算公式和意義是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?大連二模)甲、乙兩名乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)

情況，每一局甲勝的概率為2,乙勝的概率為工，如果比賽采用"五局三勝制”(先勝三局

33

者獲勝，比賽結(jié)束

(1)求甲獲得比賽勝利的概率；

(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【分析】(1)甲獲得比賽勝利包含三種情況：①甲連勝三局；②前三局甲兩勝一負(fù)，第四

局甲勝；③前四局甲兩勝兩負(fù)，第五局甲勝.由此能求出甲獲得比賽勝利的概率.

(2)由得X的可能取值為3,4,5,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)甲獲得比賽勝利包含三種情況：

①甲連勝三局；②前三局甲兩勝一負(fù)，第四局甲勝；③前四局甲兩勝兩負(fù)，第五局甲勝.

???甲獲得比賽勝利的概率：

P=(y)3+C3(?∣?)2(y)×(?∣?)+c"∣?)2七)2×得)嗤

(2)由得X的可能取值為3,4,5,

P(X=3)

P(X=4)=C消)2母)XΦ+C3?2

P(X=5)=C2(2)2(1)2×(?)+c\

433O

??.隨機(jī)變量X的分布列為:

X3_________________________45

P?108

J27J27

數(shù)學(xué)期望EX=3X￡+4X歲5X令嘿

?CΛI(xiàn)CΛI(xiàn)CtI

【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題,

解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理

運(yùn)用.

10.[2023?泰安二模)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校

200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)

分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)六組，并作出頻率分

布直方圖(如圖).將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為"課外體育達(dá)標(biāo)〃.

(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2X2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概

率不超過0.01的前提下認(rèn)為"課外體育達(dá)標(biāo)"與性別有關(guān)？

課外體育不達(dá)葭課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)

男603090

女902011()

合計(jì)15050200

(2)現(xiàn)按照"課外體育達(dá)標(biāo)"與"課外體育不達(dá)標(biāo)"進(jìn)行分層抽樣，抽取12人，再從這12

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，記"課外體育達(dá)標(biāo)"的人數(shù)為求S得分布

列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

附參考公式與數(shù)據(jù):

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(κ2≥ko)0.100.050.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

【分析】(1)由題意得"課外體育達(dá)標(biāo)'’人數(shù)為50,那么不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150,由此列聯(lián)表，

求出K2=2W-6.060<6.635,從而得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過OOl的前提下沒有理由