第二節(jié)直線與橢圓的綜合問題課時(shí)作業(yè)練1.過橢圓x24+y2答案32.設(shè)F1,F2分別是橢圓x24+y2=1的左,右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)P,使(OP+OF2)·PF2=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△F答案1解析因?yàn)?OP+OF2)·PF2=(OP+F1O)·所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,又焦距2c=23,所以m2+n2=12,所以mn=2,所以S△F13.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn),則該橢圓的離心率為.
答案3解析因?yàn)橹本€x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(4,0)和(0,-2),所以由橢圓的相關(guān)知識(shí)可知a=4,b=2,所以c=a2-b2=23,所以該橢圓的離心率為4.(2019江蘇蘇州模擬)已知橢圓x23+y24=1的上焦點(diǎn)為F,下焦點(diǎn)為F答案8解析因?yàn)閮蓷l平行直線分別經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),所以由橢圓的對(duì)稱性可知,四邊形AFDF1為平行四邊形,∴|AF1|=|FD|,連接BF1,CF,同理|BF1|=|CF|,∴|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|=4a=8.5.已知橢圓x2m+y2n=1(m>n>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是以橢圓的短軸為直徑的圓上任意一點(diǎn),則PF答案2n-m解析由題意可知在橢圓x2m+y2n=1(m>n>0)中,b2=n,c2=m-n,則PF1·PF2=(PO+OF1)·(PO-6.(2017徐州王杰中學(xué)高三月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63答案x212+解析根據(jù)離心率不妨設(shè)a=3m,b=3m,c=6m(m>0),則橢圓方程為x29m2+x2=274m2,x=±332m,|x1-x2|=33m,又1+所以由弦長(zhǎng)公式得33m×103=210,解得m=23,據(jù)此可得橢圓方程為x27.已知直線y=-x+1與橢圓x2a2+y2b答案4解析由題意可知c=1,ca=22,則a=2,b=1,則橢圓方程為x22+y2=1,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得A(0,1),B438.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓x225+y216=1上,若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),|AM|=1,且PM·AM=0,則|答案3解析由|AM|=1,A(3,0),知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),因?yàn)镻M·AM=0,所以PM⊥AM,即PM為☉A的切線,連接PA(如圖),則|PM|=|PA|2因?yàn)镻在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以|PA|min=a-c=5-3=2,所以|PM|min=3.9.已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1且斜率為3的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形且|PF1|<|F1F2|,則橢圓E的離心率為.
答案10解析由題意得PF1⊥PF2,設(shè)直線PQ的傾斜角為θ,由k=tanθ=3得,sinθ=31010,cosθ=所以|PF2|=61010c,|PF1|=從而|PF1|+|PF2|=410所以e=ca=1010.(2018鹽城田家炳中學(xué)期末)已知橢圓E:x2a2+y2b(1)求橢圓E的方程;(2)若A是橢圓E的右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為12解析(1)由橢圓的定義得(3+3又c=3,故b2=a2-c2=1,∴橢圓E的方程為x24+y(2)過F(-3,0)且斜率為12的直線方程為y=12(x+由y=12(x+設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=32又A(2,0),∴|AF|=2+3,∴△AMN的面積=12|AF|·|y1-y2|=12×(2+3)×5211.(2017江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2a2+y(1)求該橢圓的方程;(2)過點(diǎn)D(2,-2)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的斜率之和為定值.解析(1)由題意知c=1,e=ca=2所以a=2,由a2=b2+c2可得b=1,所以橢圓C的方程為x22+y(2)證明:當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y+2=k(x-2),代入x2+2y2=2中,得(1+2k2)x2-42(k2+k)x+4k2+8k+2=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=42(k2+k)1+2又kAP+kAQ=y1x1-2+=2k-2=2k-2·12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P1,32在橢圓x(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),且四邊形POMN是平行四邊形,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo).解析(1)由題意知,1a2+所以a2=4,b2=3,所以橢圓C的方程為x24+(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則ON的中點(diǎn)坐標(biāo)為x22,y22又點(diǎn)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),所以3解得x2=2由x2=2,y2=0所以點(diǎn)M1,-32基礎(chǔ)滾動(dòng)練(滾動(dòng)循環(huán)夯實(shí)基礎(chǔ))1.在下列結(jié)論中,正確的是.(填序號(hào))
①若a∥b,b∥c,則a∥c;②模相等的兩個(gè)平行向量是相等的向量;③若a=b,則a和b都是單位向量;④兩個(gè)相等向量的模相等;⑤AB+BC+CD+DA=0.答案④解析當(dāng)b=0時(shí),a∥b,b∥c,但a與c不一定平行,①錯(cuò)誤;模相等的兩個(gè)平行向量是相等的向量或相反的向量,②錯(cuò)誤;若a=b=1,則a和b都是單位向量,③錯(cuò)誤;兩個(gè)相等向量的模相等,④正確;AB+BC+CD+DA=0,⑤錯(cuò)誤.2.若函數(shù)f(x)=f'π2sinx+cosx,則fπ4=答案0解析f'(x)=f'π2cosx-sinx,令x=π2,則f'π2=f'π2cosπ2-sinπ2,f'π23.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4,3),則cosπ2+α答案3解析∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4,3),∴原式=-sinαsin4.(2018江蘇如皋高三調(diào)研)一個(gè)封閉的正三棱柱容器,高為3,內(nèi)裝水若干(如圖甲,底面處于水平狀態(tài)),將容器放倒(如圖乙,一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)),這時(shí)水面與各棱的交點(diǎn)E,F,F1,E1分別為所在棱的中點(diǎn),則圖甲中水面的高度為.
答案9解析因?yàn)镋,F,F1,E1分別為所在棱的中點(diǎn),所以棱柱EFBC-E1F1B1C1的體積V=S四邊形EFBC×3=34S△ABC×3=94S△ABC,設(shè)圖甲中水面的高度為h,則S△ABC×h=94S△ABC5.過點(diǎn)P(3,1)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB的方程為.
答案2x+y-3=0解析易知圓心C(1,0),其中一個(gè)切點(diǎn)為(1,1),kAB·kPC=-1,且kPC=1-03所以kAB=-2,故直線AB的方程為y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.6.(2019江蘇南京模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在[2-a,3]上的偶函數(shù),在[0,3]上單調(diào)遞減,并且f-m2-a5答案1解析由f(x)是定義在[2-a,3]上的偶函數(shù)得2-a=-3,a=5,則f-m2-a5=f(m2+1),f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),又f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減,所以m2+1<m27.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2-a1=1.當(dāng)a3取得最小值時(shí),數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.
答案an=2n-1解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q>0.由a2-a1=1得a1=1q-1>0,所以a3=a1q2=q2q-1=(q-1)8.(2018江蘇興化三校高三聯(lián)考)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M,N分別是棱CC1,AB的中點(diǎn).(1)求證:CN⊥平面ABB1A1;(2)求證:CN∥平面AMB1.證明(1)∵AA1⊥平面ABC,CN?平面ABC,∴AA1⊥CN,∵AC=BC,N是棱AB的中點(diǎn),∴CN⊥AB,∵AA1∩AB=A,AA1?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,∴CN⊥平
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