2022-2023學(xué)年廣東省梅州市學(xué)藝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣東省梅州市學(xué)藝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，那么用表示為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A2.若，則的夾角為（

）

A．

B

C．

D．

參考答案：A3.“”是“函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)單調(diào)遞增”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A分析：求出導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立．解出，故選A即可．詳解：，

∵若函數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間上恒成立．

∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴．即“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

故選A.．點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判定，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬中檔題．4.已知雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點(diǎn)為F2（5，0），則雙曲線C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用已知條件，列出方程，求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程．【解答】解：雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點(diǎn)為F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求雙曲線方程為：﹣=1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5.已知的展開式中的系數(shù)為，則（

）A.1 B. C. D.參考答案：D【分析】由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項(xiàng)中常數(shù)項(xiàng)與后一項(xiàng)x的二次項(xiàng)乘積，加上第一項(xiàng)x的系數(shù)與第二項(xiàng)x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項(xiàng)公式為，∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．6.已知三個(gè)實(shí)數(shù)，，，則的大小關(guān)系正確的為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略7.若函數(shù)y=ax在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值的和為，則函數(shù)y=logax在區(qū)間上的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵函數(shù)y=ax在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值的和為，∴1+a3=，解得a=，a=﹣（舍去），∴y=logx在區(qū)間[，2]上為減函數(shù)，∴ymin=log2=﹣1，故選：B8.某同學(xué)做了一個(gè)如圖所示的等腰直角三角形形狀的數(shù)表且把奇數(shù)和偶數(shù)分別依次排在了數(shù)表的奇數(shù)行和偶數(shù)行，若用a(i，j)表示第i行從左數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a(4，3)=10，則a(21，6)=（

）A．219

B．211

C．209

D．213參考答案：B略9.復(fù)數(shù)()A. B. C. D.參考答案：A【詳解】把復(fù)數(shù)的分子分母同時(shí)乘以1-i,

，．故選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．10.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(

)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.．直線過(guò)定點(diǎn)___________．參考答案：12.閱讀下面的程序框圖．若使輸出的結(jié)果不大于37，則輸入的整數(shù)i的最大值為．參考答案：5考點(diǎn)： 程序框圖．

專題： 常規(guī)題型．分析： 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，據(jù)題目對(duì)輸出s的要求，求出n的最大值，據(jù)判斷框中n與i的關(guān)系求出i的最大值．解答： 解：經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到s=2，n=1，經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到s=5，n=2，經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到s=10，n=3，經(jīng)過(guò)第四次循環(huán)得到s=19，n=4，經(jīng)過(guò)第五次循環(huán)得到s=36，n=5，經(jīng)過(guò)第六次循環(huán)得到s=69，n=6，∵輸出的結(jié)果不大于37∴n的最大值為4∴i的最大值為5故答案為：5點(diǎn)評(píng)： 本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．13.藝術(shù)體操委員會(huì)由10位女性委員與5位男性委員組成,委員會(huì)要組織6位委員出國(guó)考查學(xué)習(xí),如果按性別作分層,并在各層按比例隨機(jī)抽樣,試問(wèn)此考查團(tuán)的組成方法有_____種.參考答案：210014.若函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≤【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，得a≤，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤，故答案為：a≤【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15.給出下列四個(gè)命題：①設(shè)是平面，m、n是兩條直線，如果，m、n兩直線無(wú)公共點(diǎn)，那么.②設(shè)是一個(gè)平面，m、n是兩條直線，如果，則m//n..③若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線平行.④三條直線交于一點(diǎn)，則它們最多可以確定3個(gè)平面.其中正確的命題是________參考答案：③④16.給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④一個(gè)棱錐可以有兩條側(cè)棱和底面垂直；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體．其中正確命題的序號(hào)是

．參考答案：①⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)正方體中取對(duì)應(yīng)的對(duì)角線構(gòu)成的四面體是正四面體．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐；③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱；④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體．【解答】解：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)正確，如圖四面體B1﹣ACD1是正四面體；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，如圖所示，若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱錐V﹣ABC表示正三棱錐，∴②錯(cuò)誤；③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱，如兩個(gè)側(cè)面不是相鄰的時(shí)，側(cè)棱與底面不一定垂直，∴③錯(cuò)誤；④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直，否則，這兩條側(cè)棱互相平行，∴④錯(cuò)誤；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直，如②中圖形，∴⑤正確；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體，∵各相鄰側(cè)面并不一定都互相垂直，∴⑥錯(cuò)誤．故答案為：①⑤17.已知函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M-m=

參考答案：32略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1與x=處有極值。(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。參考答案：19.已知向量，，，且的角所對(duì)的邊分別.

（1）求角的大?。唬?）若成等差數(shù)列，且，求.參考答案：.解：（1）,又，

………3分又

………4分

(2)由已知得，即又∵，∴

………6分

由余弦定理得：

∴

………8分20.在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． （3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意，都有成立？若存在求出m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，即數(shù)列為等差數(shù)列，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，（2）=，

略21.已知函數(shù)f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函數(shù)h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：常規(guī)題型；計(jì)算題；分類討論．分析：（1）先求出函數(shù)h′（x），欲使h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分離法可得a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函數(shù)在（0，+∞）上的最小值即可．（2）先令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0），函數(shù)f（x）=ax與g（x）=lnx﹣1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最小值，比較最小值與0的大小即可得到F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解答：解：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），h′（x）=﹣ax﹣2．若使h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．而當(dāng)x＞0時(shí)，﹣ax﹣2＜0?ax＞﹣2?a＞﹣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函數(shù)在（0，+∞）上的最小值．又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值為﹣1，所以a＞﹣1．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）函數(shù)f（x）=ax與g（x）=lnx﹣1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．F′（x）=a﹣（x＞0）令F（x）=a﹣=0解得x=．隨著x的變化，F(xiàn)（x），F(xiàn)（x）的變化情況如表：（7分）①當(dāng)F（）=2+lna＞0，即a=e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）恒大于0，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)．（8分）②當(dāng)F（）=2+lna=0，即a=e﹣2時(shí)，由上表，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．③F（）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2時(shí)，顯然1＜F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（）＜0?，又F（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，所以F（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)（x）=ln由指數(shù)函數(shù)y=（ea）x（ea＞1）與冪函數(shù)y=x增長(zhǎng)速度的快慢，知存在x0＞使得從而F（x0）=ln因而F（）?F（x0＜0）又F（x）在（，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在[，+∞）上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，所以F（x）在（，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．因此，0＜a＜e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，a＞e﹣2，f（x）與g（x）的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)a=e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；0＜a＜e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研