2023-2024學(xué)年山東省菏澤市高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省菏澤市高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則下列關(guān)系一定正確的是(

)A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位，且z的虛部為，則(

)A. B. C. D.3.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車(chē)場(chǎng)某片區(qū)有A至H共8個(gè)停車(chē)位每個(gè)車(chē)位只停一輛車(chē)，有2輛黑色車(chē)和2輛白色車(chē)要在該停車(chē)場(chǎng)停車(chē)，則兩輛黑色車(chē)停在同一列的條件下，兩輛白色車(chē)也停在同一列的概率為(

)ABCDEFGHA. B. C. D.4.已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，對(duì)正整數(shù)m，n，p，若，則是的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件 D.充要條件5.已知，，則(

)A. B. C. D.6.設(shè)直線l的方向向量為，則向量在直線l上的投影向量為A. B. C. D.7.若圓錐的內(nèi)切球半徑為1，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則圓錐的體積為A. B. C. D.8.十六進(jìn)制是一種逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制．我國(guó)曾在重量單位上使用過(guò)十六進(jìn)制，比如成語(yǔ)“半斤八兩”，即十六兩為一斤．在現(xiàn)代，計(jì)算機(jī)中也常用到十六進(jìn)制，其采用數(shù)字和字母共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)．這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：十六進(jìn)制0123456789ABCDEF十進(jìn)制0123456789101112131415例如，用十六進(jìn)制表示：，則A. B.72 C. D.BD二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有(

)A.

B.在方向上的投影向量為

C.若，則

D.若，則10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則(

)A. B.是等比數(shù)列

C.的最大項(xiàng)為 D.是等差數(shù)列11.設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為曲線C，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，P在第一象限，直線PE垂直于x軸且垂足為E，直線QE交C于G，則A.C的方程為 B.為直角三角形

C.面積的最大值為2 D.面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為280，則__________.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圓C與圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則圓C的半徑為_(kāi)_________.

14.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和16.本小題17分已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，證明：是等腰三角形;若，求a的值.17.本小題15分

如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，且，

求三棱錐的體積;求MC與平面所成角的正弦值.18.本小題15分

學(xué)校組織A，B，C，D，E五位同學(xué)參加某大學(xué)的測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測(cè)試，選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每位同學(xué)測(cè)試的結(jié)果互不影響.

若A，B，C三位同學(xué)選擇甲方案，D，E兩位同學(xué)選擇乙方案，求5位同學(xué)全部測(cè)試合格的概率；

若5位同學(xué)全選擇甲方案，將測(cè)試合格的同學(xué)的人數(shù)記為X，求X的分布列及其均值；

若測(cè)試合格的人數(shù)的均值不小于3，直接寫(xiě)出選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的同學(xué)的可能人數(shù).19.本小題17分國(guó)際象棋是國(guó)際通行的智力競(jìng)技運(yùn)動(dòng)．國(guó)際象棋使用格黑白方格相間棋盤(pán)，骨牌為每格與棋盤(pán)的方格大小相同的格灰色方格．若某種黑白相間棋盤(pán)與骨牌滿足以下三點(diǎn)：①每塊骨牌覆蓋棋盤(pán)的相鄰兩格；②棋盤(pán)上每一格都被骨牌覆蓋；③沒(méi)有兩塊骨牌覆蓋同一格，則稱骨牌構(gòu)成了棋盤(pán)的一種完全覆蓋．顯然，我們能夠舉例說(shuō)明格黑白方格相間棋盤(pán)能被骨牌完全覆蓋．證明：切掉格黑白方格相間棋盤(pán)的對(duì)角兩格，余下棋盤(pán)不能被骨牌完全覆蓋；請(qǐng)你切掉格的黑白方格相間棋盤(pán)的任意兩個(gè)異色方格，然后畫(huà)出余下棋盤(pán)的一種骨牌完全覆蓋方式，并證明：無(wú)論切掉的是哪兩個(gè)異色方格，余下棋盤(pán)都能被骨牌完全覆蓋；記格黑白方格相間棋盤(pán)的骨牌完全覆蓋方式數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：

答案和解析1.【正確答案】C

【分析】

本題重點(diǎn)考查并集運(yùn)算和集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

分析集合B中的元素，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.

解：因?yàn)榧?，?/p>

則集合B一定含有2，3，可能含有0，1，

由選項(xiàng)可知，只有C正確，

故選C2.【正確答案】B

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則、求得，由復(fù)數(shù)的模，即可計(jì)算答案．

解：，

，即，

的虛部為，

設(shè)，

，

解得，

則

故選3.【正確答案】A

【分析】本題考查條件概率的計(jì)算，考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查古典概型，屬于中檔題.

設(shè)事件“兩輛黑色車(chē)停在同一列”，事件“兩輛白色車(chē)停在同一列”，根據(jù)即可求解.

解：設(shè)事件“兩輛黑色車(chē)停在同一列”，事件“兩輛白色車(chē)停在同一列”，

則所求概率為

因?yàn)椋?/p>

所以

4.【正確答案】D

【分析】

本題考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，結(jié)合充分、必要條件的定義即可判斷.

解：由題意，若，則，

則，

則，

則是的充要條件.5.【正確答案】A

【分析】

本題考查三角函數(shù)求值問(wèn)題，屬于一般題.

利用已知求得，由同角基本關(guān)系即可求解.

解：因?yàn)椋?/p>

，且

則，解得，

則，則，

又，，

解得6.【正確答案】D

【分析】本題考查投影向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題

根據(jù)題意，求得，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】直線l的方向向量為和，可得，則向量直線l上的投影向量的坐標(biāo)為故選：7.【正確答案】C

【分析】

本題考查圓錐的體積計(jì)算，涉及圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于一般題.

根據(jù)題意，利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)可構(gòu)造方程求得，利用圓錐軸截面面積可構(gòu)造方程求得r的值，代入圓錐體積公式即可.

解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，

圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，

側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)為，則，

作出圓錐的軸截面如下圖所示，其中O為圓錐內(nèi)切球球心，

，

又，

，解得：，，

圓錐體積為8.【正確答案】A

【分析】本題考查進(jìn)位制的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

在表格中找出A和B所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字，然后根據(jù)十進(jìn)制表示出，根據(jù)表格中E對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字可把用十六進(jìn)制表示.解：由表，，商是6余數(shù)是14，故，應(yīng)選9.【正確答案】AB

【分析】本題考查平面向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得，根據(jù)可判斷A；根據(jù)在方向上的投影向量為可判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷

解：因?yàn)?，都是單位向量，所以?/p>

所以，即，故A正確；

在方向上的投影向量為，故B正確；

若，則，即，即

因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；

若，則，

所以，即，故D錯(cuò)誤.

故選10.【正確答案】ABD

【分析】

本題考查等差、等比數(shù)列的判定及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.根據(jù)給定條件，可得數(shù)列是等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

解：由，得數(shù)列是等差數(shù)列，令其公差為d，由，得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，為常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，由知，d的取值不確定，

當(dāng)d為正數(shù)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列無(wú)最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，于是，數(shù)列是等差數(shù)列，D正確.故選：ABD11.【正確答案】BD

【分析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.

對(duì)A，設(shè)，由直線AM和BM的斜率之積為列式得方程;

對(duì)B，設(shè)，，得，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求得，即可證

對(duì)C，求出與直線AN平行且與曲線C相切且切點(diǎn)在第一象限的切線方程，結(jié)合點(diǎn)線距離求得最大面積;

對(duì)D，直線PQ的方程為，聯(lián)立拋物線方程解得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線PG方程，結(jié)合韋達(dá)定理及鉛錘法得，最后討論最大值.

解：對(duì)設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，故A錯(cuò)誤;

對(duì)設(shè)，，，，則，，

，

又，，有，則，

則，，故B正確;

對(duì)與直線AN平行且與曲線C相切且切點(diǎn)在第一象限的切線方程為，

聯(lián)立得，由得，

所以切線為，兩平行直線的距離，

此時(shí)面積最大，最大值為，故C錯(cuò)誤;

對(duì)設(shè)直線PQ得方程為，聯(lián)立，解得

則直線，

聯(lián)立直線PG與曲線C的方程可得，

則，

，

令，，因?yàn)樵?，即上單調(diào)遞增，故，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，

故選：12.【正確答案】7

【分析】

本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)，屬于中檔題.

根據(jù)二項(xiàng)式定理

展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，，

再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，可解得n的值.

解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，，

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，此時(shí)方程無(wú)解；

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，解得，；

所以，

故答案為13.【正確答案】

【分析】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，由點(diǎn)的對(duì)稱性求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，可得函數(shù)的周期以及值，由五點(diǎn)作圖求出，可得函數(shù)的解析式，屬于中檔題．

由題意利用由點(diǎn)的對(duì)稱性求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，可得函數(shù)的周期以及值，由五點(diǎn)作圖求出，可得函數(shù)的解析式，從而求得N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離求出圓的半徑．

解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，

由圖可知，M，N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，易得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，

的周期，所以，

函數(shù)

結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，

，，

故，，即，

所以圓的半徑為，

故答案為14.【正確答案】12

【分析】本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值、系數(shù)的最大的項(xiàng)，屬于一道較難的題.

由的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，可知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，展開(kāi)式的系數(shù)為，當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)的最大值為b，求解即可.解：由題意可知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，取得最大值展開(kāi)式的系數(shù)為，當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)最大.即，即解得又，時(shí)，系數(shù)的最大值為則故1215.【正確答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)時(shí)，，

所以，

整理，得

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.

當(dāng)時(shí)，，

解得，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

由得

記，，則

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以

本題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，以及用錯(cuò)位相減法和分組求和法對(duì)數(shù)列求和，屬于一般題.

根據(jù)題意得，再因式分解為，即可得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知為等差數(shù)列，易得其通項(xiàng)公式；

由題意用分組求和法和錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和.16.【正確答案】解：證明：由，及正弦定理，得

，

即，

即

因?yàn)?，所以?/p>

即

因?yàn)?，?/p>

所以或

因?yàn)?，所以，又，所?/p>

故是等腰三角形.

解：因?yàn)?，，即，則

由可得

因?yàn)椋?/p>

所以

由正弦定理，得

因?yàn)?，所?/p>

結(jié)合，解得

本題考查解三角形和三角恒等變換，屬于一般題.

利用正弦定理和三角恒等變換公式求出，分析出，即可得證;

利用正、余弦定理即可求解.17.【正確答案】解：取BC的中點(diǎn)O，連接OA，

因?yàn)樵诘酌鍭BC上的射影為O，

所以面ABC，

在三棱柱中，面面，

所以面因?yàn)槊妫?/p>

所以

在中，M為線段的中點(diǎn)，

因?yàn)椋?/p>

所以

因?yàn)槊?，面，?/p>

所以面

所以

設(shè)C到平面的距離為d，則

在中，，，

所以

所以

設(shè)MC與平面所成角為，則

所以MC與平面所成角的正弦值為

本題主要考查棱錐的體積、直線與平面的夾角等，屬于中檔題.

先利用線面垂直定理判定面然后利用棱錐體積公式即可；

先求出C到平面的距離為d，然后利用即可.18.【正確答案】解：，B，C三位同學(xué)選擇甲方案，D，E兩位同學(xué)選擇乙方案，

由已知A，B，C測(cè)試合格的概率為，D，E測(cè)試合格的概率為，

位同學(xué)全部測(cè)試合格的概率為；

由已知隨機(jī)變量X的取值有0，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

，

的分布列為：X012345P；

設(shè)選擇甲方案測(cè)試的同學(xué)個(gè)數(shù)為n，，1，2，3，4，5則選擇乙方案測(cè)試的同學(xué)個(gè)數(shù)為，

并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，通過(guò)乙方案測(cè)試合格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有同學(xué)均選擇方案乙測(cè)試，則，

，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有同學(xué)均選擇方案甲測(cè)試，則，

，符合愿意；

當(dāng)，2，3，4時(shí)，，

，

若使，則，

由于，2，3，4，故，4時(shí)符合題意，

綜上，選擇甲方案測(cè)試的同學(xué)個(gè)數(shù)為3，4或者5時(shí)，測(cè)試合格的同學(xué)個(gè)數(shù)的期望不小于

利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，并由期望公式求期望；

設(shè)選擇甲方案測(cè)試的同學(xué)個(gè)數(shù)為n，通過(guò)設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，通過(guò)乙方案測(cè)試合格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，利用二項(xiàng)分布期望公式和期望的性質(zhì)求，由條件確定n的取值．

本題主要考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19.【正確答案】解：由于每塊骨牌覆蓋的都是相鄰的兩個(gè)異色方格，

故棋盤(pán)的黑白方格數(shù)目相同是其能被骨牌完全覆蓋的必要條件，

但切掉

格黑白方格相間棋盤(pán)的對(duì)角兩格后，

要么黑色方格比白色方格多兩個(gè)，

要么白色方格比黑色方格多兩個(gè)，

故余下棋盤(pán)不能被骨牌完全覆蓋；切掉兩個(gè)異色方格并作完全覆蓋示例如圖1；

如圖2，

格黑白方格相間棋盤(pán)能夠被紅線分割為黑白方格依次相鄰且首尾相接的“方格條”，

無(wú)論切掉其中哪兩個(gè)黑白方格，都會(huì)將“方格條”拆