新教材選擇性4.2.3等差數(shù)列的前N項和課件（18張）

4.2.3等差數(shù)列的前n項和學習目標n項和公式及其獲取思路.n項和公式的關(guān)系,在五個量(a1,d,n,an,Sn)中,會由

其中三個求另外兩個.n項和公式解決實際問題.

1|數(shù)列的前n項和一般地,對于數(shù)列{an},把a1+a2+…+an稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn.2|等差數(shù)列的前n項和公式1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差為d,則已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)求和公式Sn=①

Sn=②

na1+

d

n項和公式的函數(shù)特征Sn=na1+

=

n2+

n.(1)該表達式中沒有常數(shù)項;(2)當d≠0時,Sn關(guān)于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次式,即點(n,Sn)在其相應(yīng)的

二次函數(shù)的圖象上,這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù),它的

圖象是拋物線y=

x2+

x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點.3|等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1等差數(shù)列中依次k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…組成公

差為k2d的等差數(shù)列性質(zhì)2若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*),則S2n=n(an+an+1),S

偶-S奇=nd,

=

(S奇≠0,an≠0);若等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(n∈N*),則S2n-1=(2n-1)an

(an是數(shù)列的中間項),S奇-S偶=an,

=

(S奇≠0)性質(zhì)3{an}為等差數(shù)列?

為等差數(shù)列性質(zhì)4若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,

則Sn、Tn之間的關(guān)系為

=

(bn≠0,T2n-1≠0)判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=

(n≥3,n∈N*).

(√)

提示:易知等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=

,由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+an=a3+an-2,所以Sn=

(n≥3,n∈N*).n項和一定是常數(shù)項為0的關(guān)于n的二次函數(shù).

(

?)提示:公差為0時,等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的一次函數(shù).3.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.

(

?)提示:公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的且不含常數(shù)項的二次函

數(shù),題中Sn=n2+1有常數(shù)項,所以{an}不是等差數(shù)列.4.已知{an}是等差數(shù)列,公差d=2,前n項和為Sn,則數(shù)列

也是等差數(shù)列,且公差為1.

(√)提示:由Sn=na1+

得,

=a1+

=n-1+a1,所以數(shù)列

是公差為1的等差數(shù)列.Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,則S2,S4,S6成等差數(shù)列.

(

?)提示:由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)知,S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,只有當該等差數(shù)列

為常數(shù)列時,S2,S4,S6才成等差數(shù)列.

1|等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用

在解決與等差數(shù)列前n項和Sn的性質(zhì)有關(guān)的問題時,恰當運用相關(guān)性質(zhì)可以達到

化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.利用性質(zhì)解決等差數(shù)列前n項和運算的幾種思維方法:(1)整體思路:利用公式Sn=

,先設(shè)法求出整體a1+an,再代入公式求解.(2)待定系數(shù)法:利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程組求出A,

B即可;也可以利用

是關(guān)于n的一次函數(shù),設(shè)

=an+b(a≠0)進行計算.(3)利用相關(guān)性質(zhì)中的結(jié)論進行求解.

(1)已知一個等差數(shù)列的前10項和為30,前30項和為10,則它的前40項和為

;(2)若數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,且

=

,則

=

.解析

設(shè)該等差數(shù)列為{an},其前n項和為Sn.(1)解法一:設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,則

解得

故S40=40a1+

d=40×

+

×

=-40.解法二:易知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等差數(shù)列,設(shè)該數(shù)列為{bn},其公差為d',則{bn}的前3項和為3S10+

d'=S30=10,即S10+d'=

,又S10=30,所以d'=-

,所以S40-S30=S10+3d'=30+3×

=-50,所以S40=-50+S30=-40.解法三:設(shè)Sn=pn2+qn,則

解得

故Sn=-

n2+

n,所以S40=-

×402+

×40=-40.解法四:因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以數(shù)列

也是等差數(shù)列,則點

在一條直線上,即

,

,

三點共線,于是

=

,將S10=30,S30=10代入,解得S40=-40.2|等差數(shù)列前n項和的最值的求法

n項和Sn存在最大(小)值的情形:若a1>0,d<0,則Sn存在最大值,即所有非負項之和;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值,即所有非正項之和.2.求等差數(shù)列(公差d≠0)的前n項和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)用配方法轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的最大(小)值問題,解題時要注意n∈N*;(2)鄰項異號法:可利用

或

來尋找正、負項的分界點.3.一般地,在等差數(shù)列{an}中,當a1>0,且Sp=Sq(p≠q)時,若p+q為偶數(shù),則當n=

時,Sn最大;若p+q為奇數(shù),則當n=

時,Sn最大.

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.解法一:∵S9=S17,a1=25,∴9×25+

d=17×25+

d,解得d=-2,∴Sn=25n+

×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,∴當n=13時,Sn有最大值,最大值為169.解法二:同解法一,求出公差d=-2,∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.∵a1=25>0,d=-2<0,∴{an}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列.由

得

又∵n∈N*,∴當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+

×(-2)=169.解法三:同解法一,求出公差d=-2.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0,由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0,∴a13>0,a14<0.∴當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+

×(-2)=169.3|與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和方法

在數(shù)列{an}中,如果與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和,且此兩項的

和為一個常數(shù),可把正著寫求和與倒著寫求和的兩個和式相加,通過求常數(shù)列的

和求數(shù)列{an}的前n項和,這一求和的方法稱為倒序相加法.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列且公差為d,則數(shù)列

的前n項和Sn=

+

+…+

=

=

.(2)常見的裂項技巧:(i)已知{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則bn=

=

×

.(ii)an=

=

.(iii)an=

=

-

.(iv)an=loga

=loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.

(2021湖北宜昌高二月考)設(shè)n∈N*,正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn+1=Sn+an+2,

.請在①4a3-1,2a4+3,a8成等差數(shù)列;②

=S1S5這兩個條件中任選一個補充在題干中,并解答下面的問題.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=

,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求T6.思路點撥(1)易得an+1-an=2(n∈N*),則數(shù)列{an}是以a1為首項,2為公差的等差數(shù)列,再根據(jù)所

選擇的條件求出a1即可;(2)利用裂項相消法求和,再代入求值.解析(1)選①.由Sn+1=Sn+an+2,得an+1-an=2(n∈N*),所以數(shù)列{an}是以a1為首項,2為公差的等差數(shù)列.由4a3-1,2a4+3,a8成等差數(shù)列,得(4a3-1)+a8=2(2a4+3),解得a1=1,所以an=2n-1(n∈N*).選②.由Sn+1=Sn+an+2,得an+1-an=2(n∈N*),所以數(shù)列{an}是以