河南省頂尖名校聯盟2021-2022學年高二上學期期中聯考理科數學試題

頂尖名校聯盟2021~2022學年高二上學期期中考試數學（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：必修5，選修21第一章，第二章.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】將分式不等式轉化為一元二次不等式化簡即可.【詳解】解：由題意可得，所以，解得.故選：A.2.在中，已知，，，則的面積為（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計算．【詳解】因為中，已知，，，所以，由余弦定理得，解得或2，所以的面積或．故選：B.3.已知數列為等差數列，為數列的前項和，，則等于（）A.5 B.15 C.30 D.35【答案】D【解析】【分析】根據等差數列的性質，由已知可求得，再由等差數列性質求得．【詳解】因為為等差數列，，得，所以.故選：D．4.已知方程表示一個焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的簡單幾何性質即可求解.【詳解】解：因為方程表示一個焦點在軸上的橢圓，所以有，解得，所以實數的取值范圍為，故選：B.5.已知、、、為實數，則下列命題中正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項的正誤；利用不等式的基本性質可判斷BD選項的正誤.【詳解】對于A選項，取，，則滿足，但此時，A選項錯誤；對于B選項，由于且，所以，所以B選項錯誤；對于C選項，取，，則，成立，但是，所以C選項錯誤；對于D選項，當、中至少有一個為零時，則，此時；當且時，，，有，故D選項正確.故選：D.6.函數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】湊配出積為定值，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A．7.等比數列的前項和為，則（）A.10 B.16 C.22 D.8【答案】A【解析】【分析】首先利用等比數列的前項和，求公比和首項，再求.【詳解】根據題意，等比數列中，若，則，由，則，得，解得，又由，則有，解得，所以，有.故選：A8.已知拋物線為坐標原點，點為拋物線上的一點，且點在軸的上方，若線段的垂直平分線過點，則直線的斜率為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設出點的坐標，寫出的線段所在直線的解析式，進而求出線段垂直平分線所在直線的解析式，通過線段的垂直平分線過點，得到點的橫坐標與的關系，即可求出直線的斜率.【詳解】解：由題意設，則，線段的中點為∴線段的垂直平分線為：∵線段的垂直平分線過點∴解得：∴直線的斜率為：故選：A.9.已知數列的前n項和為，，對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，數列為常數列，令，可得，進而可得，利用裂項求和即可求解.【詳解】數列滿足，對任意的都有，則有，可得數列為常數列，有，得，得，又由，所以．故選：C【點睛】方法點睛：數列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.10.在中，內角、、所對的邊分別為、、，若，角的角平分線交于點，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，結合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得：，，所以，由，有，得，所以，，，，由余弦定理可得.故選：B.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.11.已知，是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線的右支上，若，，則雙曲線經過一、三象限的漸近線的斜率的最大值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據雙曲線定理得到，，由余弦定理得到，結合求出，進而得到，得到雙曲線經過一、三象限的漸近線的斜率最大值.【詳解】設，∴．由題知，∴，故，，∴由余弦定理得．∵，解得，所以，故，∵雙曲線經過一、三象限的漸近線為，∴雙曲線經過一、三象限的漸近線的斜率的最大值為2．故選：12.已知，為橢圓上關于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出點，的坐標，并表示出兩個斜率、，把代數式轉化成與點的坐標相關的代數式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設則，則，，令，則它對應直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”的否定是___________.【答案】，.【解析】【分析】根據特稱命題的否定形式書寫即可.【詳解】命題“，”為特稱命題，則其否定為：，.為全稱命題.故答案為：，.14.若滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標函數對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，由得，由得，是直線的縱截距的相反數，向上平移時，減小，∴向上平移直線，減小，當過時，．故答案為：．15.已知拋物線準線為，點為拋物線上的一個動點，則點到準線和直線的距離之和的最小值為__________，此時點的坐標為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據拋物線的定義把點到的距離轉化到點到焦點的距離，就是求點到直線的距離，從而能求出直線，與拋物線聯立可求點的坐標.【詳解】設過點分別向和作垂線，垂足分別為，因為拋物線的焦點，由拋物線的定義得：，所以只需要求最小即可.當且僅當三點共線時最小，且最小值為點到直線的距離，即.此時直線與垂直，所以，所以直線為：直線與拋物線聯立得，即，且所以，故點答案為：16.數列滿足，則的最大值為___________.【答案】17【解析】【分析】根據可得，，再由，可得，由等差數列的通項公式即可求解.【詳解】由，得有，有；又由，有；再由，有，得，當時，數列為等差數列，由和，可得，此時，，故的最大值為.故答案為：17【點睛】關鍵點點睛：本題考查了數列遞推關系式，解題的關鍵是根據，得出，，求出，同時考查了等差數列的通項公式的應用.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，如圖，為線段上一點，且，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將化為，結合，化簡整理可得，從而可求出，進而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，從而可得，則有，而，所以【詳解】解：（1）根據正弦定理得，整理得因為，所以，又，可得（2）在中，由余弦定理得：將（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因為，所以.18.已知：方程有兩個不等的負實根，：函數的定義域為R．（1）若為真，求取值范圍；（2）若和有且只有一個為真，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據方程有兩個不等的負實根，得到不等式組，求出為真時，再根據對數函數的定義域為R求出，求出均為假命題時的取值范圍，進而得到為真的取值范圍；（2）考慮真假和假真兩種情況下的的取值范圍，進而得到答案.【小問1詳解】若為真，則，解得：，若為真，則恒成立，則，解得：，先考慮均為假命題時，與取交集得：，則若為真，則和至少有一個為真，則；【小問2詳解】真假：與或取交集得：，假真：，綜上：．19.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，且.（1）求值；（2）若以線段為直徑的圓與直線相切，求直線的方程.【答案】（1）2（2）或.【解析】【分析】（1）設點的坐標分別為，直線的方程為，聯立拋物線方程得，已知，利用數量積的坐標運算和韋達定理，即可求出的值；（2）利用韋達定理求出弦長，已知以線段為直徑的圓與直線相切，求出半徑列得方程求解即可算出參數m的值，進而得到直線方程.【小問1詳解】設點的坐標分別為，由點的坐標為，設直線的方程為，聯立方程，消去后整理得，所以，，.又由，解得.所以的值為2.【小問2詳解】由，可得線段中點的坐標為，.若以線段為直徑的圓與直線相切，有，解得所以直線的方程為，即或.20.設數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當時，與已知條件兩式相減可得，再令，計算即可求解；（2）由（1）得，所以，再利用乘公比錯位相見即可求和.詳解】（1）數列滿足當時，兩式作差有，所以當時，，上式也成立所以（2）則，，所以.【點睛】方法點睛：數列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.21.已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過定點的動直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，與其兩條漸近線分別交于（點在點的左邊）兩點，證明：線段與線段的長度始終相等.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得雙曲線的標準方程.（2）設出直線的方程，并分別與雙曲線的漸近線方程、雙曲線方程聯立，利用中點坐標公式判斷出線段和共中點，從而證得線段與線段的長度始終相等.【小問1詳解】由雙曲線可得漸近線方程為，由漸近線方程的斜率為，有，可得.將點代入雙曲線的方程，有.聯立方程，解得，故雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】設點的坐標分別為，線段的中點的坐標為，線段的中點的坐標為.依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，，聯立方程，得；聯立方程，得.所以可得.聯立方程，消去后整理得，由解得，且，由于直線與雙曲線左右兩支分別相交，所以.所以，可得，所以，所以線段和共中點，故有.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.22.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：，橢圓：，點P為橢圓的上頂點，點A，C為橢圓上關