有限元分析離散方法

有限元分析離散方法離散化方法：有限差分法，有限元法，有限體積法所謂區(qū)域離散化，實質(zhì)上就是用一組有限個離散的點來代替原來連續(xù)的空間。實施過程是;把所計算的區(qū)域劃分成許多互不重迭的子區(qū)域，確定每個子區(qū)域的節(jié)點位置及該節(jié)點所代表的控制容積。節(jié)點：需要求解的未知物理量的幾何位置；控制容積:應(yīng)用控制方程或守恒定律的最小幾何單位。一般把節(jié)點看成是控制容積的代表?？刂迫莘e和子區(qū)域并不總是重合的。在區(qū)域離散化過程開始時，由一系列與坐標(biāo)軸相應(yīng)的直線或曲線簇所劃分出來的小區(qū)域稱為子區(qū)域。網(wǎng)格是離散的基礎(chǔ)，網(wǎng)格節(jié)點是離散化物理量的存儲位置。大家都知道，常用的離散化方法有：有限差分法，有限元法，有限體積法。1.有限差分法是數(shù)值解法中最經(jīng)典的方法。它是將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域，然后將偏微分方程（控制方程）的導(dǎo)數(shù)用差商代替，推導(dǎo)出含有離散點上有限個未知數(shù)的差分方程組。這種方法發(fā)展比較早，比較成熟，較多用于求解雙曲線和拋物線型問題。用它求解邊界條件復(fù)雜、尤其是橢圓型問題不如有限元法或有限體積法方便。2.有限元法是將一個連續(xù)的求解域任意分成適當(dāng)形狀的許多微小單元，并于各小單元分片構(gòu)造插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（變分或加權(quán)余量法），將問題的控制方程轉(zhuǎn)化為所有單元上的有限元方程，把總體的極值作為各單元極值之和，即將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各節(jié)點上待求的函數(shù)值。對橢圓型問題有更好的適應(yīng)性。有限元法求解的速度較有限差分法和有限體積法慢，在商用CFD軟件中應(yīng)用并不廣泛。目前的商用CFD軟件中，F(xiàn)IDAP采用的是有限元法。3.有限體積法又稱為控制體積法，是將計算區(qū)域劃分為網(wǎng)格，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個互不重復(fù)的控制體積，將待解的微分方程對每個控制體積積分，從而得到一組離散方程。其中的未知數(shù)十網(wǎng)格節(jié)點上的因變量。子域法加離散，就是有限體積法的基本方法。就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間產(chǎn)物。4.有限分析法：同有限差分法一樣，用一系列網(wǎng)格線將區(qū)域離散，所不同的是每個節(jié)點與相鄰8個鄰點組成。在計算單元中把控制方程中的非線形項局部線形化，并對該單元上未知函數(shù)的變化型線作出假設(shè)，把所選定型線表達(dá)式中的系數(shù)和常數(shù)項用單元邊界節(jié)點上未知的變量值來表示，這樣該單元內(nèi)的被求問題就轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件下的一個定解問題，可以找出分析解；然后利用這一分析解，得出該單元中點及邊界上8個鄰點上未知值間的代數(shù)方程，此即為單元中點的離散方程。兩種離散方法外節(jié)點法：節(jié)點在子域的四角，先定節(jié)點位置而計算相應(yīng)的界面內(nèi)節(jié)點法：節(jié)點在子域中心，子域與控制容積重合。計算時先定界面后算出節(jié)點位置。5.邊界元法(Boudarvelementmethod,BEM)上面四種方法都必須對整個區(qū)域作離散化處理，用分布在整個區(qū)域上的有限個節(jié)點上函數(shù)的近似值來代替連續(xù)問題的解。在邊界元方法中應(yīng)用格林函數(shù)公式，并通過選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)把空間求解域匕的偏微分方程轉(zhuǎn)換成為其邊界上的積分方程，它把求解區(qū)中任一點的求解變量(如溫度)與邊界條件聯(lián)系了起來。通過離散化處理，由積分方程導(dǎo)出邊界節(jié)點上未知值的代數(shù)方程。解出邊界上的未知值后就可以利用邊界積分方程來獲得內(nèi)部任一點的被求函數(shù)之值。邊界元法的最大優(yōu)點是，可以使求解問題的空間維數(shù)降低一階，從而使計算工作量及所需計算機(jī)容量大大減小。邊界元法推廣應(yīng)用的一個最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函數(shù)基本解。雖然對不少偏微分方程這種基本解業(yè)已找出，但對Navier-Stoles方程這樣的非線性偏微分方程，至今尚未找到其基本解。目前的一種處理方式是，把Navier-Stokes方程中的非線性項看作是擴(kuò)散方程的源項并通過迭代的方式來求解，但一般只能獲得Re較低情形的解。最近文獻(xiàn)中采用高階渦量一流函數(shù)方程的邊界元方法，已使獲得頂蓋驅(qū)動流穩(wěn)定解的Re高達(dá)10000.本文來自:博研石油論壇詳細(xì)出處參考/thread-11065-1-4-1.html有限元法finiteelementmethod有限元法是一種高效能、常用的計算方法．有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系．基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。方法運用的基本步驟：步驟1：剖分:將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個元素的集合．元素（單元）的形狀原則上是任意的．二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等．每個單元的頂點稱為節(jié)點（或結(jié)點）．步驟2：單元分析:進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點上的函數(shù)值展開，即建立一個線性插值函數(shù)步驟3：求解近似變分方程用有限個單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數(shù)是只包含有限個待定節(jié)點參量的簡單場函數(shù)，這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計使用。結(jié)合計算機(jī)輔助設(shè)計技術(shù)，有限元法也被用于計算機(jī)輔助制造中。有限單元法最早可上溯到20世紀(jì)40年代。Courant第一次應(yīng)用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問題?，F(xiàn)代有限單元法的第一個成功的嘗試是在1956年，Turner、Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時，將鋼架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題，給出了用三角形單元求得平面應(yīng)力問題的正確答案。1960年，Clough進(jìn)一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了"有限單元法"，使人們認(rèn)識到它的功效。我國著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國，對它的應(yīng)用起了很大的推動作用。有限體積法（FVM）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數(shù)。有限差分法finitedifferencemethod微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法?；舅枷胧前堰B續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點稱作網(wǎng)格的節(jié)點；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。有限差分法的主要內(nèi)容包括：如何根據(jù)問題的特點將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分；如何把原微分方程離散化為差分方程組以及如何解此代數(shù)方程組。此外為了保證計算過程的可行和計算結(jié)果的正確，還需從理論上分析差分方程組的性態(tài)，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。對于一個微分方程建立的各種差分格式，為了有實用意義，一個基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就是相容性要求。另外，一個差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。此外，還有一個重要的概念必須考慮，即差分格式的穩(wěn)定性。因為差分格式的計算過程是逐層推進(jìn)的，在計算第n＋1層的近似值時要用到第n層的近似值，直到與初始值有關(guān)。前面各層若有舍入誤差，必然影響到后面各層的值，如果誤差的影響越來越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩(wěn)定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認(rèn)為格式是穩(wěn)定的。只有在這種情形，差分格式在實際計算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精確解。關(guān)于差分格式的構(gòu)造一般有以下3種方法。最常用的方法是數(shù)值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫積分插值法，因為在實際問題中得出的微分方程常常反映物理上的某種守恒原理，一般可以通過積分形式來表示。此外還可以用待定系數(shù)法構(gòu)造一些精度較高的差分格式。來自百度百科。有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別有限差分方法(FDM)是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標(biāo)，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。