高等數(shù)學(xué)（第三版） 練習(xí)題答案匯總 練習(xí)1-7

練習(xí)LLl

求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)及其反函數(shù)的圖像.

3-

(1)y=-∣x+6；(2)y=x2.

解(1)函數(shù)的定義域和值域都是R?由y=]x+6得x=故反函數(shù)為y=(x-4,

x∈R.

322

(2)函數(shù)的定義域和值域都是由y=q得X=/，故反函數(shù)為y=∕?

練習(xí)1.1.2

1.指出下列函數(shù)的復(fù)合過程

(1)y=sin3(8x+5)；(3)y=5(Λ+2)2；

解(1)y=/,U=sinf,f=8x+5；

(2)y=5U2,U=x+2.

2.寫出各函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求其定義域.

(1)y=Inu,M=4-V2,U=COSx；(2)y-4u,w=x3+8.

解(1)y=ln(4-cos2x),定義域?yàn)?τo,+∞);

(2)y=λ∕√+8,定義域?yàn)椋?2,÷∞)?

練習(xí)1.2.1

1.利用函數(shù)圖像求下列極限.

(1)?imC(C為常數(shù))；(2)Iimd)*;

XfM)x→+∞2

(3)Iim2x；(4)Iimsinx；

Λ→-Λ>Λ→0

解做出相應(yīng)的函數(shù)圖像(略).

(1)觀察常函數(shù)y=C的圖像知，IimC=C;

(2)觀察函數(shù)y=(%的圖像知，Iimd)X=O；

2χ→∞2

(3)觀察函數(shù)y=2'的圖像知，Iim2x=Iim?=lim??θ;

X→→X).V→002.V→oθ2"

(4)觀察函數(shù)y=sinx的圖像知，Iimsinx=SinO=O.

x→0

2x,0≤x≤l,

2.作出函數(shù)/(X)=的圖像，并求Iim∕?(x).

3—X,l<x≤2x→4

解函數(shù)圖像如下:

第2題圖

觀察圖像知，Iim/(X)=2.

x→l

練習(xí)1.2.2

計(jì)算下列極限：

(1)lim(3x2-5x+2)；(2)HmX+：-；

4

Af2x→∞x-3x+1

r-3Y2-Q

(3)；(4)Iim---------.

—3X1+1x→3χ-3

解(1)lim(3x2-5x+2)=3limX2-51imΛ+lim2=12-10+2=4；

A→2X→2X→2X→2

1111.1

3一十三Iim—+IimF

X+XX→∞XX→αθχz

⑵Iim??im??

Λ→∞x→∞3

1一1節(jié)+-Iim1-Iim?-+IimF

44

XXXTOOXToOXZXTOO?

alim?-Iim3

(3)Iim=^■=3T=0；

?v→3χ2+1Iimx2+Iiml

x→3x→3

/八「χ2^9V(X-3)(X+3)4(

(4)Iim--------=Iim-------------------=lιm(x+3)=6.

X->3χ-3xτ3X—3Λ→3

練習(xí)L2.3

(1)當(dāng)x→l時(shí)，比較無窮小Ir和1-/.

(2)當(dāng)Xfl時(shí)，比較無窮小I-X和;(l-χ2).

+X

解(1)=lim(1^)(1+-?=lim(l+x+x2)=3,

XTl]—XΛ→l?—XXTl

所以，當(dāng)X→l時(shí)，I-X和l-d為同階無窮??；

G「20-A)Ir(I-X)(I+X)I.,,??

(2)Iinn----------=—Iim----------------=—h1m(l+x)=11,

I1-x2'→lI-Jt211

所以，當(dāng)X→l時(shí)，I-X和1(1一/)為等階無窮小，即當(dāng)Xfl時(shí)，I-X?J?(l-χ2).

22

練習(xí)1.3?1

x-l,%<0,

設(shè)函數(shù)/(?=<2√,0≤Λ≤l,

3-X,x>?.

(1)作出函數(shù)圖像，討論函數(shù)在x=0及X=I處的連續(xù)性;

(2)指出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.

解(1)函數(shù)圖像如下：

練習(xí)題1.3.1圖

觀察圖像知，函數(shù)在X=O處不連續(xù)，在x=l處的連續(xù);

(2)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為(-8,0)與［O,+∞).

練習(xí)1.3?2

1.計(jì)算下列極限：

.JK-2+2

(1)Iim2-t;(2)1Iim-==——；

x→2χ->3√χ÷6+1

(3)Iim----------(4)Iimsin2X.

π

DI+cosNΛ→-

3

解(1)函數(shù)y=2*是初等函數(shù)，定義域?yàn)镽,故lim2*=22=4;

x→2

(2)函數(shù)y=是初等函數(shù)，定義域?yàn)椋?,+oo).故

Λ∕X+6÷1

√^2÷23

Z3J冗+6+1√3÷6+l4

(3)函數(shù)y=—!—是初等函數(shù)，定義域?yàn)閧x∣xw(2Z-l)7α∈Z}?故

l÷cosx

Iim----------=-----------=—

XTO1+cosX1+cosO2

2.利用高級(jí)計(jì)算器求方程χ3+l.lχ2+09χT.4=O的實(shí)數(shù)近似解(精確到0.0001).

解設(shè)置保留4位小數(shù)，在輸入窗格輸入“爐+Llf+09χ7.4=0"，點(diǎn)擊輸入，顯示:

a∣√2170S092753aI√2170509275311

X=J--------------+—-+J------------------+—-------≈0.6707

{1800337SJ1800337S30

練習(xí)2.1.1

1.用定義求函數(shù)y=L在x=2處的導(dǎo)數(shù).

?γ_-1

(2)算比值

?x2(2+Δx)

(3)取極限y,=Iim—=Iim-----------

ΔA→O?XΔ,r→O2(2+?x)4

2.求拋物線y=χ2在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程.

解所求切線斜率左=y'L=2=4

由點(diǎn)斜式y(tǒng)-4=4(%-2)

所求切線方程為4x-y-4=0

練習(xí)2.1.2』

(1)y=2j?-lnx+5,求y，；

解y'-6X2---

(2)y=4x+xex,求My

xx

解y'=—4=+e+xeWl=g+2e

2√x

⑶y=三一求HA2

JX—4

-33

解V=——τ(y'∣,=_二

■(3x-4)2-1a'=_2IOO

練習(xí)2.L2.2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并利用軟件進(jìn)行驗(yàn)證.

(1)y=e~x+x?[x;

解y=-e-χ+-√^

2

驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入&(eT(—x)+x6)

點(diǎn)擊輸入得解?

dx

(2)y=ln(l+χ2)；

解y'==2?γ

?l+x2

驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入&(In(I+xT2)),點(diǎn)擊輸入得解.

dx

(3)γ=√l-2x2.

...—4x—2.x

解yt=-/,?=.

2√1-2X2√1-2X2

驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入&(Jl-2xT2),點(diǎn)擊輸入得解

dx

練習(xí)2.1.2.3求下列各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)4x2+γ2=9;

解方程兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，得

4χ

8x+2y?y'=0y'=——

y

(2)xy=2'+/；

解方程兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，得

y+R=21n2+3y2y尸？*、'

x-3y

(3)xy-x2+ey=5

解方程兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，得

y+xy'-2x+ey?y'=Oy'--

x+ey

練習(xí)2.1.3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

(1)y=2X2+X-5；

解y'=4x+ly"-4

(2)y=ln(l+x)

1-1

解y=-----y=---------7

-1+x-(l+x)2

練習(xí)2.1.4

1.求函數(shù)y=(x+5f在x=l,Ar=(M)I時(shí)函數(shù)的增量及微分.

解Ay=[(l+0.01)+5]2-(l+5)2=36.1201-36=0.1201,

dy[t=ι=于(x)??x∣*=]=2(x+5)?ΔX∣Λ?=I=2×6×0.01=0.12

ΔΛ=O.O1-=0.01Δ?=0.01

2.求下列函數(shù)的微分

⑴y=3f-2+5;

X

4

解dy=∕,(x)dx=(6x+-γ)A

X

(2)y=3X^2sin?；

解dy=∕f(x)dx=(-6X^3sinx+3x_2cosx)d?

(3)y=cos(4-3x).

解dy=∕r(x)dx=-sin(4-3x)?(-3)d?=3sin(4-3x)d?

練習(xí)2.2.1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)/(χ)=χ3;

解函數(shù)y=/的定義域?yàn)?-OOJ+oo),且V=3χ2≥0

所以函數(shù)y=/在S+oo)上單調(diào)遞增.

(2)y=2X2-Inx；

2

4r-1,令y'=0,得X=±；(舍負(fù))

解函數(shù)的定義域?yàn)?0,+00),V=--------

X

當(dāng)x∈(0q)時(shí)，y'<0,所以(0,5)為單減區(qū)間.

當(dāng)Xe(L+8)時(shí)，/>0,所以(L+8)為單增區(qū)間.

22

(3)y=i[^.

解函數(shù)的定義域?yàn)?YΛ,+θθ),當(dāng)X=O時(shí),y'不存在.

當(dāng)xe(-∞,0)時(shí)，/<0,所以(-∞,0)為單減區(qū)間.

當(dāng)Xe(O,+8)時(shí)，y'>0,所以(0,+8)為單增區(qū)間.

練習(xí)2.2.2

L求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值:

(1)y=2+X-X2；

解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,E),y'=?-2x,令y'=0,解得x=g.

列表得：

1?1

X(-8，-)(--+co)

22______2________

∕,(x)+Q______—

極大值

f(x)/9

4______

所以x=g為函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值/(；)=；.

(2)y=3x4-4xi+?；

解函數(shù)的定義域?yàn)?-w,+∞),y=12√(x-l),

令y=0,解得4=0,々=1?列表得

X(Fo)OO)1(l,+∞)

-0—0+

y無極值極小值0/

因此，函數(shù)的極小值為F（I）=o.

2.欲做一個(gè)底為正方形，容積為108/的開口容器怎樣做法用料最省.

解設(shè)所求容器底面邊長(zhǎng)為X,容器高為〃.則Zz=*等.

X'

表面積S=χ2+4x∕z=χ2+*,s，=2x—t，令S'=0,得x=6

Xx^

由于駐點(diǎn)唯一，而由實(shí)際問題知道面積的最大值存在，因此駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).

即當(dāng)容器底面邊長(zhǎng)為6m,高為3m時(shí)容器用料最省.

練習(xí)3.1.1

1.求下列不定積分

⑵∫(ev-J=+2)dx

(1)πi

j2XJ√Γ7

⑶∫(x3-l)2dr；(4)?yfx(x-?-)dx；

解⑴?(―H—)dx=—÷21nIX?+C:

rx；

⑵f(e——,1+2)dr=e-arcsinx+2x+C

J√Γ7

?(x3-l)2dx=?(JC6-2X3+l)dx=Jχ7——x4+x+C；

(3)

13_125?2

⑷J石(X——)dx-?(x2-X2)dx=-X2-Ix1+C=-x2?∕x-2y[x+C；

2.一曲線經(jīng)過點(diǎn)（2,7）,且曲線上任意一點(diǎn)（x,y）處的切線斜率為y'=3d+ι,求該

曲線的方程.

解γ=∫（3χ2+l）dx=x3+x+C,由曲線過點(diǎn)（2,7）,得C=一3,故所求曲線的方程為

y=X3+X-3.

練習(xí)3.1.2

1.用湊微分法求下列不定積分

(1)∫(3x+l)5dλ-；(2)∫-^=dr;

(3)∫sin2xcosΛdr;(4)∫xexdr；

解(1)∫(3x+l)5dr=?∫(3x+l)5d(3x+1)=?(3x+1)6+C；

(2)[,?dr=[.?d(x-4)=2?∣x-4+C；

J√x≡4J√x-4

(3)?sin2?eosxdx=?sin2.xd(sin?)=?sin3x+C；

(4)[xev~dχ=-?evd(x2)=—ev÷C.

J2j2

2.用分部積分法求下列不定積分

(1)∫xexdx；(2)∫xcos3xdr；

解(1)∫xexdx=∫?d(e?)=xex-∫exdx=xex-ex+C；

(3)∫xcos3xdx=gjxd(sin3x)=g(xsin3x-jsin3xdx)=g(xsin3x+Jcos3x)+C；

3.用計(jì)算器求下列不定積分

小f~Λc、fCOSX.

(1)I√l-xdx；(2)I------------------rdr；

JsinX(I+sinx)

I------tan^,f/',

解⑴NI-X2dr=Z匕匚+----l√l-Λ-J+c；

J22

CCOSY

(2)[-----------------rdx=--------------ln(∣sin(x)+1∣)+ln(∣Sin(X)∣)+C.

Jsinx(l+sinx)sin(?)+1

練習(xí)3.2.1

1.求Sfddx的值.

解??X2exdr=O.

2.已知j：sinx(ir=2,求Jjsinfck的值.

解fπsinzdr=2.

*0

3.利用定積分的幾何意義求定積分Jj(3-x)dx.

解定積分Jj(3-x)dx的值等于如圖所示梯形的面積，即

?2115

∫Jι(3-2%)dx=-(l+4)×3=y.

練習(xí)3.2.2

1.已知IJ：XdX=?∣,??x5dx=^.,求「(J-4χ+3)dx的值.

解「(/-4Λ^+3)dx=??-x^dx-41xdx÷??-3dx=-.....—+3(2—1)=?.

3

2.已知J°∕3ζjx=τ,J*χ<lr??,求∫1ddχ的值.

解F1/dx=「X%χ+∣dχ3dχ=γ+J.=一”

J-2J-2JO44

3.已知f+ι是/(χ)的一個(gè)原函數(shù)，求，f(x)dx的值.

解由題意，得j∕(X)ClX=X2+1+C,?pF(x)=%2+1,所以

f4

∫ι/(x)dx=F(4)-F(l)=17-2=15.

練習(xí)3.2.3

1.計(jì)算下列各定積分.

2π.

⑴(sιnx-l)dx；⑵∫θ(2x-l)l0dΛ-;

「°；

(3)—r——XAXx；(4)f'?e?d?

j-1√+ιJO

re：

⑸j?Inxdx；(6)J|XIdx.

解⑴∫2π(sinx-l)dx=[-cosx-x]j=(-1-2π)-(l-π)=-2-π；

l0ll

⑵∫θ(2x-l)dx≈^?l[(2x-l)]θ=^(l+l)=l;

∣?oXdx='[^ln∣χ2+lIT=J(InI-In2)=-1n2;

⑶JTW+1

2L」T22

卜

(4)?θ?e?d?=IXdM=e]-kdx=e-[e|°=e-(e-l)=l;

⑸∫Jnxdx=[xlnx[-∫?-dx=e-(e-l)=1；

()

111

(6)IMmX=f(-χ)dχ+fxdx=--X1+=一+—=11?

2-I。2乙2乙

2.用高級(jí)計(jì)算器求下列定積分.

π

23

⑴lo??ɑ%；(2)∫πxsinxdx.

~2

l

解⑴∫√=≈dx=^;

0√4-X26

⑵∫?x,sinXdX=———12.

~22

練習(xí)3.2.4

計(jì)算下列各廣義積分，并說明其斂散性.

f0.廣+8I

(1)Jevdx；(2)∫——TdX;

J-8Ll+f

⑶;如；⑷L7?1χ?

解(1)[°evdx=Γej^∣°=e0-Iimex=1,故「)e*dl收斂；

?-∞LJ-OOX—>-00J-CO

∕c?「+81rη+∞..ITrTC兀

(2)―arctan?1=Iimarctanx-arctan1=-------=—,

JIl+χ2Lj,XTe244

故「8—?lx收斂；

Jll+x2

=

(3)∫4?=Iim2&-24=+∞,故JJ^=dx發(fā)散；

2

(4)?'—^rdX=g[ln11+Y|]=—ɑn2-Iimln(l+x)j=-∞,

故，,^∏?1x發(fā)散.

練習(xí)3.3.1

已知某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度V=Mf)是時(shí)間，的連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)利用定積分計(jì)算物

體在時(shí)間段|工，心]經(jīng)過的路程.請(qǐng)指出：

(1)積分變量與積分區(qū)間；

(2)路程S的微元dS；

(3)路程S.

解(1)積分變量為r,積分區(qū)間為[看，4]；

(2)dS=v(t)dt；

(3)5=∫?(r)dr

練習(xí)3.3.2

1.求下列由曲線和直線圍成的平面圖形的面積

(1)y=e*,x=0,x-l；

(2)y=-y=x,x=2；

X

(3)?=X2,y=x+2.

解⑴A=∫θexdx=∣^exJθ=e-1.

-23

(2)A=∫I~(x-t)dx=-X2-InlXl=一一ln2.

J.2

r2

22l√2x-l√=W+空

(2)A=∫ι(x+2-x)dx=+

23-J-I,366

t?

1J

第I-(I)題圖第I-⑵題圖

第1-(3)題圖

2.求下列由曲線和直線圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

(1)y=-，x=l,x=2；

X

2

(2)y=Xfy=0,x=1.

/1、2-—2

(i)vπdxπ

解<'U=Hri

第2-⑴題圖第2-⑵題圖

練習(xí)3.3.3

1.設(shè)一物體在距離坐標(biāo)原點(diǎn)工處所受的力為V+2x,求作用力使它從工=1移動(dòng)到x=3

所做的功.

3]2

解W=J(X2+2x)dx=-X3+x2=16—.

?313

2.長(zhǎng)50m、寬20m、深3m盛滿水的池子，現(xiàn)將水全部抽出，問需做多少功？

解因?yàn)楣ξ⒃猟W=gp?x?50?20dx,所以

,32

W=∫'gp.χ.50?20dΛ?=9.8?10?10∞-X

°L2」(

=441X105(J)X

第2題圖

4.一直徑為6m的半圓形閘門，其直徑恰好位于水面,求閘門一側(cè)所受的水壓力.

解因?yàn)閴毫ξ⒃猟P=gχ7?x?2j9-fdχ,所以

尸=JogP?X?2?∣9-x1dx

=-gρ￡?∣9-x2d(9-X2)

r「3

2?

3

=-gp-(9-X2)2=176.4×IO(N).第4題圖

L3J0

練習(xí)3?3.4

1.求函數(shù)y=Sinx在區(qū)間［0,兀］上的平均值.

π

解y=---[sinAdx=?[-cosxΓ=—

-π-0jθπl(wèi)joπ

2.有一根長(zhǎng)度為。的細(xì)棒，其上任意點(diǎn)X處的密度夕=V+1,若細(xì)棒的一端與坐標(biāo)原

點(diǎn)重合，求細(xì)棒的平均密度.

13

--x+x--cr+1.

a303

練習(xí)4.1.1

1.試寫出下列各微分方程的階數(shù)

(1)一階；(2)一階；(3)二階；(4)二階.

2.求微分方程y"=x+l,y\x=Q=1,4=O=O的特解.

,2

解兩邊積分得y=∫(x+l)d?=∣x+x÷C1,

再積分得

2

?=∫(?-x+x+C1)d?

13.1?

=—X+—Y+C1X+C2

6212

代入兒=O=I，40=0得，C1=O>C2=I.

所求微分方程的特解為γ=-x3+-x2÷l.

練習(xí)4.1.2

1.求解微分方程yk=(x-l)dy.

11,

解分離變量得—ajy-------ax,

y-X-]

兩邊積分得Inj=ln(x-l)+lnC.

微分方程的通解為y=C(x-l).

2.求解微分方程—e『+3X=O.

心

解分離變量得=e"

dx

ye~γdy—etxdx

兩邊積分得∫ye^'dy=∫eixdx

--e-y2=-eix+C.

231

微分方程的通解3e-y2+2e3x+C=O,其中C=6C∣.

練習(xí)4.2.1

解下列微分方程

1.y,-3x2y=0.

解因?yàn)?，P(X)=-3X2,

由通解公式得y==CeE

2.e"y'+y=O

解變形得y'+e-'y=。，

由于PO:)="*,所以，

y=Ce~^e=Ceex,

所求微分方程的通解y=Cee'x.

練習(xí)4.2.2

求解下列微分方程

1y'+3y=8.

解因?yàn)椋琍(X)=3,Q(X)=8,

由通解公式得

-f3drrfo卜公」

y=ej[I8ejdx+C],

=e^3'[∫Seixdx+C]=e^3x?^e3x+C],

Q

所求微分方程的通解y^e^3x[^e3x+C].

2.y,+y=e^x.

解因?yàn)?，P(X)=I,Q(x)=e-、，

由通解公式得

y-e??'?e~x^dλdx+CJ

=e^v[∫e-xexdx+C]=e-x[x+C].

所求微分方程的通解y=e-x[x+C].

3.Λy+y-e*=0,y⑴=0.

,11

解變形得y+-y=-ex,

XX

』，

于是得P(X)=QM=-e'

XX

y=e停K

由通解公式得eλejxdx-ir-C}

=e^'nx[?-ex^xdx+C}=-{?exdx+C]

X?

=-[ex+C]

X

代入尤=I,y=0得C=-e.

所求微分方程的特解y^-[ex-e].

X

練習(xí)4.3.1

1.求下列微分方程的通解

(1)y"+4y'+3y=0;⑵y"-2y'+3y=0.

解⑴微分方程y"+4y+3y=0對(duì)應(yīng)的特征方程r2+4r+3=0

特征根彳二-3,r2=-↑

x

所求微分方程的通解y=Cle^+C2e~.

(2)微分方程V-2y'+3y=0對(duì)應(yīng)的特征方程r2-2r+3=0

特征根.=2±j472=]±衣

2

v

所求微分方程的通解y=e(C1cos√2x+C2sin√2x).

2.求微分方程y"+2y'+y=0,y(0)=4,/(0)=-2的特解.

2

解微分方程y"+23∕+y=O對(duì)應(yīng)的特征方程r+2r+l=0

特征根力=-1，

x

微分方程的通解y=e-(Cl+C2x).

代入y(0)=4,V(0)=-2,得C1=4,C2=2.

所求微分方程的特解y=e-x(4+2x).

練習(xí)4.3.2

解下列微分方程.

(l)2∕+∕-j=2et;(2)y"-4y=2cosx.

解(1)微分方程2∕+y-y=2/對(duì)應(yīng)的齊次方程2∕+y-γ=0的特征方程

2r2+r-l=0,

特征根rx=-1,為=g，

xr

齊次方程的通解y=cie-+c2e.

x

設(shè)非齊次方程的特解/=b0e,

x

于是y*'=hne,y*"=b0e'.

代入原方程，得?=1.

?

xrx

所求微分方程的通解y=y+y*=Cle~+C2e+e.

(2)微分方程y"-4y=2cosx對(duì)應(yīng)的齊次方程y"-4y=0的特征方程

r2-4=0,

特征根?2=±2，

2x2x

齊次微分方程的通解y=Cie-+C2e

設(shè)非齊次方程的特解y*=Acosx+Bsinx,

于是y*'=-Asinx+3cosx,y*"--Acosx-Bsinx.

代入原方程得

-5ACOSX-58SinX=2cosX,

2

解得A=——.

5

所求微分方程的通解

2

2x2x

y=y+y*=Cle~+C2e—cosx.

練習(xí)4.4

1.某電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)后，每秒溫度升高1℃,設(shè)室內(nèi)溫度恒為15℃,電機(jī)溫度的冷卻速度和

電機(jī)與室內(nèi)溫度之差成正比.求電機(jī)溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)t秒后的溫度(單位℃)為y=T(f),比例系數(shù)為公則dy=dt-k(y-?5}dt,

@+@=1+154.

dt-

1+15%

利用公式(4.4)解得y=T(t')=e^h[ek,+C],

k

代入初始條件W=O=I5,得C=--.

k

故經(jīng)過時(shí)間t后，電機(jī)溫度為7(0=15+,(1--如).

k

2.設(shè)彈簧的上端固定，有兩個(gè)相同的重物寡欲彈簧的下端，使彈簧伸長(zhǎng)了2/.現(xiàn)突然去

掉其中的一個(gè)重物，是彈簧由靜止?fàn)顟B(tài)開始振動(dòng)，求所掛重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

解設(shè)彈簧在自然狀態(tài)下的長(zhǎng)度為L(zhǎng),取彈簧鉛直向下方向?yàn)閄軸的正向，據(jù)彈簧固定

端原點(diǎn)取在L+/處，設(shè)彈性系數(shù)為4,重物位移為工則

d2χ

mg=kl,∕n-J-=mg-k(x+/).

即

X=ClCoS^^f+C,sin.

解得

dx

代入初始條件M=ι,=0，得G=/，C2=O.因此所掛重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

dt/=0

x=lcos

練習(xí)5.1.1

已知點(diǎn)A(2,-l,4),求

(1)點(diǎn)4到原點(diǎn)的距離;(2)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn);

(3)點(diǎn)A關(guān)于yθz平面的對(duì)稱點(diǎn)；(4)點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離;

(5)點(diǎn)A到)Oz平面的距離.

解(1)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為IAOl=02+(-1)2+4z=01；

(2)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(-2,-1,-4);

(3)點(diǎn)A關(guān)于)0Z平面的對(duì)稱點(diǎn)為4(-2,-1,4);

(4)點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為2有；

(5)點(diǎn)A到MZ平面的距離為2.

練習(xí)5.1.2

L設(shè)向量α與X軸、y軸、Z軸之間的夾角分別為2、B、γ,且方向余弦分別滿足:

COSa=O,COS/7=1,COSy=O.判斷向量。與坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面之間的關(guān)系.

解。與y軸正方向同向.

2.已知空間兩點(diǎn)R(4,√∑l)與6(3,0,2),求向量片鳥的坐標(biāo)、模、方向余弦及方向角.

UUir/、IUUir∣

解的卜2；

1√21

COSCT=—,cospz3=-?-,cos/=-—

兀Cπ2π

a=—fp=-,v=—.

343

練習(xí)5.2.1

設(shè)向量α=(2,T,3),?=(-2,-4,1),求為-36,同-網(wǎng)，,-川.

解2Λ-3?=(10,10,3):

因?yàn)?_34=川02+]02+32

所以^^3^=?≡?-ι√≡,√10≡,

∣β∣-∣?∣=√14-√2T；∣α-ft∣=√29

練習(xí)5.2.2.1

1.已知空間三點(diǎn)：A(l,l,l),B(3,-2,-l),C(2,-l,l),求

(1)AB與AC的數(shù)量積；(2)AB與AC的夾角.

解(1)ABAC=(2,-3,-2)(1,-2,0)=2×1—3×(—2)—2x0=8；

ABAC88√85

(2)因?yàn)镃OSe=

∣AB∣∣AC∣√∏√585，

所以θ=areeos^?^?,即AB與AC的夾角為arccos犯史.

8585

2.計(jì)算以下各組向量的數(shù)量積：

(1)α=(l,2,3)與b=(3,2,l);(2)α=(4,-3,4)與6=(2,2,1).

解(1)α?=l×3+2×2+3×l=10;

(2)α?*=4×2+(-3)×2+4×l=6.

練習(xí)5.2.2.2

1、已知空間三點(diǎn)：AQJD，5(3,-2,-1),C(2,-l,l),求

(1)AB與AC的向量積；(2)ΔABC的面積.

解(1)AB=(2,-3,-2),AC=(1,-2,0),則

(2)因?yàn)楱OA8χ4q=J(-4)2+Q2)2+(T)2=歷，

所以ΔAβC的面積為立L

2

2、計(jì)算以下各組向量的向量積：

(1)α=(l,2,3)與b=(3,2,l);(2)α=(4,-3,4)與b=(2,2,1).

2313

解⑴“xb=k