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文檔簡介
2023-2024學年上海市浦東新區(qū)高二上學期期中數(shù)學模擬試題
一、填空題(每小題3分,共36分)
I.公理2:不在同一直線上的點確定一個平面.
2.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個平面上的_________直線都垂直,那么此
直線與該平面垂直.
3.三垂線定理:平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在一
垂直.
4.已知球的半徑為3,則該球的體積為.
5.一個圓柱的底面半徑為3cm,高為4cm,則它的側(cè)面積為cm2.
6.已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的兩倍,則這條斜線和這個平面所成的角的
大小為.
7.一個正四棱柱底面邊長為1,高為2,則它的表面積是.
8.如圖是一個正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列說法中,正確的序號是.
(1)直線"'與直線相交;
(2)直線S與直線。£平行;
(3)直線與直線DE是異面直線;
(4)直線S與直線8G成60。角.
9.若空間三條直線blc,則。,6的位置關(guān)系是.
10.在正方體/BCD-4片G2中,平面43CA與平面/8CD所成的銳二面角的大小
是.
11.如圖,正方體々co-45GA的所有棱中,其所在的直線與直線84成異面直線的共有
條.
12.在《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉席(應(yīng)e〃a。).已知在鱉If
M-N8C中,MAmABC,MA=AB=BC=2,則該鱉席的外接球的表面積為
二、選擇題(每小題3分,共12分)
13.“兩條直線沒有公共點”是“兩條直線平行”的()
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.非充分非必要條件
14.設(shè)加,〃是兩條不同的直線,。是平面,則下列命題正確的是()
A.若加//a,〃//a,則加〃〃B.若冽//a,九ua,則加〃〃
C.若加//〃,〃//1,則加//aD.若加//〃,加則冽//a
15.如圖,A、B、C、。是某長方體四條棱的中點,則直線48和直線。的位置關(guān)系是()
C.異面D.垂直
16.已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上,則這個球的體積為()
三、解答題
17.正四棱柱/BCD-4與G2,的底面邊長/3=2,若異面直線4/與4。所成角的大小為
arctan1,求正四棱柱ABCD-A^QD,的側(cè)面積和體積.
------------
18.如圖,正三棱錐尸-48c的底面邊長為2,側(cè)棱長為3.
(1)求正三棱錐尸-4BC的表面積;
(2)求正三棱錐尸-A8C的體積.
19.如圖所示,已知四棱錐尸-/BCD中,底面48co是直角梯形ND//3C,AB1BC,AB=AD=\,
BC=2,P5_L平面/BCD,PB=1.
(I)求證:CD1PD;
(II)求四棱錐尸-48CD的表面積.
20.如圖,已知圓錐的頂點為尸,底面圓心為O,高為26,底面半徑為2.
⑴求該圓錐的側(cè)面積;
(2)設(shè)0408為該圓錐的底面半徑,且乙408=90。,/為N2的中點,求二面角尸-48-。的大
小(用反三角表示)
21.如圖,尸N_L平面/BCD,四邊形/BCD是矩形,PA=AD,M,N分別是A8,PC的中點.
(1)求證:跖V〃平面尸4D;
(2)求證:平面MVD_L平面尸CO.
1.三##3
【分析】根據(jù)公理2判斷可得;
【詳解】解:公理2:不在同一直線上的三點確定一個平面
故三
2.兩條相交
【分析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理得解;
【詳解】解:直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線都垂直,
那么此直線與該平面垂直.
故兩條相交
3.平面上的射影
【分析】由三垂直線定理及其逆定理可得答案.
【詳解】解:由三垂線定理得:平面上的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則
它也與這條斜線垂直;
由三垂線定理的逆定理得:平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它與這條斜線在平
面上的射影垂直;
所以平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的射影垂
直,
故平面上的射影.
4.367r
【分析】根據(jù)球的體積公式計算可得;
44
【詳解】解:因為球的半徑尺=3,所以球的體積〃=33=36萬;
33
故36萬
5.24%
【分析】由圓柱的側(cè)面積公式計算可得答案.
【詳解】解:圓柱的底面半徑為3cm,高為4cm,則它的側(cè)面積為27rx3x4=24"cn?,
故答案為.24〃
n
6.-##60°
3
【分析】根據(jù)線面角的定義計算可得;
【詳解】解:因為斜線段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的兩倍,記這條斜線和這個平面
所成的角為0,貝!Icos8=;,因為。<0段,所以6=(
峙
7.10
【分析】利用正四棱柱的性質(zhì)進行計算即可
【詳解】因為正四棱柱底面邊長為1,高為2,
所以它的表面積為2x1x1+4x1x2=10,
故10
8.(3)(4)##(4)(3)
【分析】還原正方體/BCD-EFG8,結(jié)合圖形即可判斷(1)(2)(3),再連接NX,AC,貝1Ja田。
為異面直線CH與直線BG所成的角,根據(jù)三角形的性質(zhì)即可求出異面直線所成角;
【詳解】解:由正方體的平面展開圖可得正方體/2C。-EFG//,
可得'與ED為異面直線,故(1)錯誤;
CH與。E為異面直線,故(2)錯誤;
直線3G與直線DE是異面直線,故(3)正確;
連接AC,由正方體的性質(zhì)可得M〃8G,所以ZAf/C為異面直線S與直線8G所成的角,
因為ANHC為等邊三角形,所以乙4〃C=60。,即直線S與直線8G所成角為60。,故(4)正確;
故(3)(4).
【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷可得;
【詳解】解:因為空間三條直線a,c,b^c,所以。與6的位置關(guān)系是平行,相交或異面;
故平行,相交或異面
71。
10.-##45
4
【分析】利用正方體的幾何性質(zhì)以及二面角的定義找到對應(yīng)的平面角,在三角形中求解即可.
【詳解】正方體/3CD—44G。中,8C1平面/2瓦4,
又45U平面片4,
所以48LBC,又AB,BC,
所以N&B4是平面&BCD]與平面4BCD所成的銳二面角的平面角,
rr
在直角△484中,乙424=1,
7T
所以平面45CA與平面/BCD所成的銳二面角的大小是.
4
,,71
故)
4
11.6
根據(jù)幾何體依次寫出與直線B4成異面的直線即可得解.
【詳解】正方體9CD-44G。的所有棱中,其所在的直線與直線34成異面直線如下:
AD,DC,DD[,BG,GDi,GC,一共6條.
故6
此題考查異面直線的辨析,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體特征準確找出與直線24成異面的直線.
12.12萬.
【分析】證明3CL8M,可得MC是外接球的直徑,求得長度后可球表面積.
【詳解】因為M4_L平面NBC,3Cu平面48C,所以M4_LBC,同理肱4_LNC,
又AB_LBC,48nM4=/,/瓦他4<=平面吊48,所以8cl平面M43,
又MBu平面"ZB,所以所以MC的中點。到〃,4民。四點距離相等,為四面體
M-ABC外接球球心,
又由已知得/c=百萬=2血,MC=W+Q6¥=2拈,
所以外接球表面積為S=4Tx(g)2=12".
故12萬.
關(guān)鍵點點睛:本題考查求三棱錐外接球表面積,解題關(guān)鍵是打到外接球球心,求出球半徑.三棱
錐的外接球球心在過各面外心與該面垂直的直線上.
13.B
【分析】找出“兩條直線沒有公共點”的等價條件,結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)
論.
【詳解】“兩條直線沒有公共點”o“兩條直線平行或異面”,
所以,“兩條直線沒有公共點”是“兩條直線平行”的必要非充分條件.
故選:B.
14.D
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,逐項判定,即可求解.
【詳解】對于N中,茗則加與〃相交,平行或異面,故/錯誤;
對于2中,若m//a,wua,則機與"平行或異面,故2錯誤;
對于C中,若機//","http://1,則陰有可能在平面C內(nèi),故C錯誤;
對于。中,若m"n,maa,nua,由直線與平面平行的判定定理,可得加//a,
所以。是正確的.
故選:D
15.A
【分析】如圖,延長GM到N,使=連接AN,DN.由NB和。。分別平行于正方體的兩條
相交的對角線,從而得與。C相交.
【詳解】如圖,延長GM到N,使MN=;GM,連接AN,DN.
■:ABHFM,AN〃FM,
,A,B,N三點共線,
同理D,C,N三點共線,
.:48與。。相交,
故選:A.
本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考
查運算求解能力,是中檔題.
16.A
【分析】將正四面體放入正方體中,可得正方體的棱長為也,求出正方體外接球的體積即為正
2
四面體外接球的體積.
如圖將棱長為1的正四面體片-/C,放入正方體/3CD-48CQ中,
且正方體的棱長為lxcos450=42
2
22
所以正方體的體對角線NG=++
、2,
所以正方體外接球的直徑2H="
12
44㈤3
所以正方體外接球的體積為丁二產(chǎn)=——71,
8
因為正四面體的外接球即為正方體的外接球,
所以正四面體的外接球的體積為如兀,
8
故選:A.
17.5=32,7=16.
【分析】首先根據(jù)異面直線所成的角,求6月,再求正四棱柱的側(cè)面積和體積.
【詳解】VAAJ/BB,,
Be]
.??面直線4/與BC所成角是NC8H,,tanZCB.B
XDDyZ
BC=AB=2,BBt=4,
.?.正四棱柱的側(cè)面積5=4x2x4=32,體積-=2倉啦4=16.
18.(1)672+73;(2)—.
3
(1)取8c的中點。,連接PD,利用勾股定理求得尸。,可得三角形尸8C的面積,進一步可得
正三棱錐尸-4BC的側(cè)面積,再求出底面積,則正三棱錐尸-4BC的表面積可求;
(2)連接設(shè)。為正三角形ZBC的中心,則P。工底面求解尸。,再由棱錐體積公式
求解.
【詳解】(1)取BC的中點。,連接尸口,
在RtAPJSZ)中,可得尸。=yJpB2-BD2=272.
:.S&PKC=^BC-PD=2s/2.
???正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形,
/.正三棱錐尸-4BC的側(cè)面積是3sSBC=6V2.
???正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形,?.-L"x2xsn16。。一技
則正三棱錐P-48c的表面積為6亞+6;
(2)連接4D,設(shè)。為正三角形ZBC的中心,則P。工底面NBC.
S.OD=-AD=—.
33
在Rt△尸。。中,PO=Jp。2-亦=進'.
3
正三棱錐P-ABC的體積為工54謝-PO=—.
33
本小題主要考查錐體的表面積和體積的求法,屬于中檔題.
直+收+6
19.(I)見解析;(II)
2
【分析】(I)在梯形/BCD中,易求得又由依,平面/BCD,得PBLCD,利用線
面垂直的判定定理,即可得到CD_L平面尸50,即可得到CD_LP£>.
(II)由(I)求得5仔8=坐,進而根據(jù)依,平面43。,得至(JAPND,△尸84APCD,
SAP/D,SAP/W,
APCZ)都為直角二角形,分別求得5ApBC,S梯形4BCD的面積,即可求解.
【詳解】(I)在梯形48co中,易求CD=拒,8。=血,尸。=百,尸N=后,
?1?BC=2,:.CD1BD.
:必,平面,ABCD,:.PB1CD,
又PBcBD=B,:.CD1平面PBD,
又尸。u平面尸8D,...CD,PD,.
(II)由(I)知S"CD=L曰密=叵
APCD22
又???DAHBC,BC3,尸3,平面ABCD,
APADCPBA^PCD都為直角三角形.
:.S"AD=^~>S"AB=不,S"BC=''所以,,S梯形”8=J,
..?四棱錐尸-4BCD的表面積為在+也+°+1+呂=13任6.
22222
本題主要考查了空間中位置關(guān)系的判定與證明,及幾何體的表面積的計算,其中解答中熟記線面
位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理,以及準確計算幾何體中每個面的面積是解答的關(guān)鍵,著重考查
了空間想象能力,以及推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.
20.⑴8元
(2)arctan遍
【分析】(1)根據(jù)題意,由勾股定理求出圓錐的母線,結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式計算即可求解;
(2)如圖,由題意可得、<W_L/8,則/尸MO為二面角尸-4B-O所成角.在放APOM中,
解三角形即可求解.
【詳解】(1)由題意知,。尸_L平面。LB,OBu平面048,
所以O(shè)PLO3,所以圓錐的母線:曲后7萬=4,
所以圓錐的側(cè)面積S=Ttlr=8兀;
(2)如圖,連接9,M為NB的中點,PA=PB,貝!|PW_L/8,
又AO/8為等腰三角形,04=OB,所以
所以ZPMO為二面角產(chǎn)一月8-。所成角.
在等腰直角AO48中,04=02=2,所以。0=也,
在MAPOM中,OP=26,OM=6.,ianZPMO=—==V6,
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