5.1導(dǎo)數(shù)的概念及意義（作業(yè)）（解析版）

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及意義（作業(yè)）一、單選題1．（2023·上海·高三專題練習(xí)），在處切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．【詳解】由已知，，令，∴＝，解，∴在處切線方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題2．（2022·上?！らh行中學(xué)高二期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于______．【答案】6【分析】由平均變化率的定義計(jì)算．【詳解】所求平均變化率為．故答案為：6．3．（2022·上海·閔行中學(xué)高二期末）已知函數(shù)，則______．【答案】－1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】．故答案為：．4．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）已知，將函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè).曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值為___________.【答案】π4##45°【分析】利用運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再根據(jù)函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】解：利用運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（左圖），可以看作直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（右圖），根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)自變量x，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，即直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，只能與的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故只需求函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程，，此時(shí)切線方程為，故直線最多繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則函數(shù),的圖像只能繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故的最大值為，故答案為：5．（2022·上海師范大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué)高三期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得出切線方程的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式方程即得．【詳解】由可得，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.6．（2022·上海師大附中高三階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需函數(shù)與直線相交即可.【詳解】若關(guān)于的方程有解，即與的圖像有交點(diǎn)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點(diǎn)為，，則有，解得：，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有交點(diǎn)，即與的圖像有交點(diǎn)，即方程有解.故答案為：7．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求得即為切線斜率，由原函數(shù)求得，由直線點(diǎn)斜式方程整理得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又，故所求切線方程為，即.故答案為：.8．（2022·上海市金山中學(xué)高三期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】解：由可得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以所求切線方程為即，故答案為：9．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）已知為可導(dǎo)函數(shù)，且，則_______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因?yàn)?故答案為：.10．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對(duì)稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為______．【答案】【分析】整體代換求解直線的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的圖象上到直線距離最短的點(diǎn)，即為點(diǎn)，即可求解兩點(diǎn)間的最短距離.【詳解】解：令，則，，．因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令得，，，所以點(diǎn)P到直線距離的最小值為，所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為．故答案為：.三、解答題11．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(