第05講 直線(xiàn)的方程【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（原卷版）

第05講直線(xiàn)的方程【人教A版2019】·模塊一求直線(xiàn)方程的一般方法·模塊二兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系·模塊三直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一求直線(xiàn)方程的一般方法1．求直線(xiàn)方程的一般方法(1)直接法

直線(xiàn)方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線(xiàn)方程.

利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線(xiàn)方程.

若已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則可以利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).【考點(diǎn)1求直線(xiàn)方程】【例1.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)l過(guò)兩點(diǎn)A(-2,0),B(0,1)，則直線(xiàn)l的一般式方程是（

）A．x-2y+2=0 B．x+2y-2=0C．2x-y+2=0 D．2x+y-2=0【例1.2】（2023秋·甘肅臨夏·高二校考期末）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,-2，傾斜角為π4，則直線(xiàn)方程為（A．x+y+2=0 B．x+y-3=0C．x-y-5=0 D．x-y-1=0【變式1.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)A、B是y軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PA=PB，若直線(xiàn)PA的方程為x-y+1=0，則直線(xiàn)PB的方程為（A．x+y-5=0 B．2x-y-1=0C．2x+y-7=0 D．x+y-3=0【變式1.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，已知點(diǎn)A5,-2，B7,3，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則直線(xiàn)A．5x-2y-5=0 B．2x-5y-5=0C．5x-2y+5=0 D．2x-5y+5=0【考點(diǎn)2直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【例2.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）不論k為任何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(-2,3) B．(2,3) C．(2,-3) D．(-2,-3)【例2.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(xiàn)m-1x-m+3y-A．72,52 B．52,【變式2.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線(xiàn)a-1x-y+2a+1=0恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是（A．2,3 B．-2,3C．1,-12 D【變式2.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）以下關(guān)于直線(xiàn)3x-ay+1=0的說(shuō)法中，不正確的是（

）A．直線(xiàn)3x-ay+1=0一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．直線(xiàn)3x-ay+1=0一定不經(jīng)過(guò)第三象限C．直線(xiàn)3x-ay+1=0一定經(jīng)過(guò)第二象限D(zhuǎn)．直線(xiàn)3x-ay+1=0可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)-1模塊二模塊二兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系1．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）【考點(diǎn)3由兩條直線(xiàn)平行求方程】【例3.1】（2023春·湖北恩施·高二?？计谀┻^(guò)點(diǎn)A2,3且平行于直線(xiàn)2x+y-5=0的直線(xiàn)方程為（

A．x-2y+4=0 B．2x+y-7=0 C．x-2y+3=0 D．x-2y+5=0【例3.2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2,-3)，且與直線(xiàn)y=x+1平行，則直線(xiàn)l的方程為（

）A．x-y+2=0 B．x+y+1=0C．x-y-2=0 D．x-y-5=0【變式3.1】（2023春·福建福州·高二?？计谀┤糁本€(xiàn)l1:2x-3y-3=0與l2互相平行，且l2過(guò)點(diǎn)(2,1)，則直線(xiàn)A．3x+2y-7=0 B．3x-2y+4=0C．2x-3y+3=0 D．2x-3y-1=0【變式3.2】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┡c直線(xiàn)y=-2x+3平行，且與直線(xiàn)y=3x+4交于x軸上的同一點(diǎn)的直線(xiàn)方程是（

）A．y=-2x+4 B．y=C．y=-2x-83 D【考點(diǎn)4由兩條直線(xiàn)垂直求方程】【例4.1】（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┙?jīng)過(guò)點(diǎn)P0,1，且與直線(xiàn)y=2x-1垂直的直線(xiàn)方程是（

A．y=2x+1 B．y=-C．y=-12x+1【例4.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在過(guò)點(diǎn)2，1的所有直線(xiàn)中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程是（A．x+2y-5=0 B．2x+y-5=0C．2x+3y-7=0 D．3x+2y-8=0【變式4.1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）直線(xiàn)l的方向向量為2,3，直線(xiàn)m過(guò)點(diǎn)1,1且與l垂直，則直線(xiàn)m的方程為（

）A．2x+3y-5=0 B．2x-3y+1=0C．3x+2y-5=0 D．3x-2y-1=0【變式4.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知A3,1，B1,-2，C1,1，則過(guò)點(diǎn)C且與線(xiàn)段ABA．3x+2y-5=0 B．3x-2y-1=0C．2x-3y+1=0 D．2x+3y-5=0【考點(diǎn)5根據(jù)兩直線(xiàn)平行或垂直求參數(shù)】【例5.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:x+ay-a=0和直線(xiàn)(1)若l1⊥l(2)若l1∥l2【例5.2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知兩直線(xiàn)l1:x+m2y+6=0，l2:(1)相交；(2)平行.【變式5.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）a為何值時(shí)，(1)直線(xiàn)l1:x+2ay-1=0與直線(xiàn)(2)直線(xiàn)l3:2x+ay=2與直線(xiàn)【變式5.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線(xiàn)l1:mx+8y+n=0和l2(1)l1與l2相交于一點(diǎn)(2)l1//l2且(3)l1⊥l2且l1在模塊三模塊三直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用1．直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用利用直線(xiàn)方程解決實(shí)際問(wèn)題，一般先根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，然后分析直線(xiàn)斜率是否存在，從而能夠?yàn)榻鉀Q問(wèn)題指明方向，避免解決問(wèn)題出現(xiàn)盲目性.【考點(diǎn)6直線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用】【例6.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一根鐵棒在40℃時(shí)長(zhǎng)12.506m，在80℃時(shí)長(zhǎng)12.512m．已知長(zhǎng)度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線(xiàn)方程來(lái)表示，試求出這個(gè)方程，并根據(jù)這個(gè)方程求出這根鐵棒在100℃時(shí)的長(zhǎng)度．【例6.2】（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個(gè)矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點(diǎn)Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，經(jīng)測(cè)量BC=70m，CD=80m，（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，求線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大，確定此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)并求出此最大面積（精確到1m2【變式6.1】（2023秋·上海浦東新·高二?？计谥校┳闱虮荣愔?，攻方隊(duì)員在守方隊(duì)員的逼搶下，其行進(jìn)路線(xiàn)可看作一條直線(xiàn)l，已如球門(mén)兩根立柱的坐標(biāo)分別為A-3，0，B3，0，直線(xiàn)l過(guò)兩點(diǎn)-20，現(xiàn)攻方隊(duì)員在行進(jìn)過(guò)程中尋求機(jī)會(huì)射門(mén)，其位置用點(diǎn)P表示，（1）若以攻方隊(duì)員與球門(mén)中心O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離最近為標(biāo)準(zhǔn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若以攻方隊(duì)員對(duì)球門(mén)范圍的視角最大（即∠APB最大）為標(biāo)準(zhǔn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【變式6.2】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、5km.現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)P修建一條直線(xiàn)型公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC（1）記∠CBM=θ，并設(shè)tanθ=k，試確定k（2）設(shè)三角形區(qū)域工業(yè)園的占地面積為S，試將S表示成k的函數(shù)S=fk（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點(diǎn)B的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最??？并求最小面積．模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中下列關(guān)于直線(xiàn)的幾何性質(zhì)說(shuō)法中，正確的有幾個(gè)（

）①直線(xiàn)l：x+y-3=0過(guò)點(diǎn)P②直線(xiàn)y=kx-2在y軸的截距是2③直線(xiàn)x-y+4=0的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限④直線(xiàn)x-3y+1=0A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)l1:mx-y+1=0,l2:3m-2x+my-2=0A．0 B．1 C．0或1 D．13或3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長(zhǎng)為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長(zhǎng)為8.4cm.已知蠟燭長(zhǎng)度l(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線(xiàn)方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)（

）A．25min B．35min C．40min D．45min4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)x+ky-2-3k=0恒過(guò)定點(diǎn)Q,Q點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則l的方程可以是（

）A．x+y-4=0 B．2x-y-1=0 C．3x+y-8=0 D．x+2y-7=05．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．直線(xiàn)y=ax-3a+2a∈R必過(guò)定點(diǎn)B．直線(xiàn)y=3x-2在y軸上的截距為-2C．直線(xiàn)3x+y+1=0的傾斜角為D．過(guò)點(diǎn)-1,2且垂直于直線(xiàn)x-2y+3=0的直線(xiàn)方程為2x+y=06．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線(xiàn)m:xcosα-y=0和n:3x+y-c=0，則（A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．m和n可能平行D．在m上存在一點(diǎn)P，使得n以P為中心旋轉(zhuǎn)后與m重合7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，則BC邊上的高所在直線(xiàn)的方程為（

）．A．3x+2y-3=0 B．2x-y-2=0C．2x-y+1=0 D．2x+y-2=08．（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)l1:2x-y+1=0,l2:3x+ay+7=0,l3:bx+2y-1=0，若A．-5 B．5 C．-7 D．79．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my+1=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx-y-2m+3=0交于點(diǎn)Px,y，則PA+PBA．25 B．32 C．3 D10．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知m∈R，若過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l1：x-my+m-2=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)l2：mx+y+2m-4=0交于點(diǎn)P（P與A，B不重合），則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A．A點(diǎn)的坐標(biāo)為2,1 B．PA⊥PBC．PA2+PB2=2511．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A5,3(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-1,5(3)在x軸，y軸上的截距分別為-3,-1；(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B4,2，且平行于x(5)求過(guò)點(diǎn)A1,3，斜率是3的直線(xiàn)方程(6)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-5,2，且在y軸上截距為2的直線(xiàn)方程12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)l1:ax-by+4=0，l2:(a-1)x+y+b=0，求滿(mǎn)足下列條件的a（1）l1⊥l2，且（2）l1//l2，且l1，13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線(xiàn)l的方程為3x+4y-12=0，求直線(xiàn)l'的方程，使l(1)過(guò)點(diǎn)-1,3，且與l平行；(2)過(guò)點(diǎn)-1,3，且與l垂直；(3)l'與l垂直，且l'14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l:kx-y+2+k=0k∈(1)證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線(xiàn)l交x軸負(fù)