第7章：計(jì)數(shù)原理 章末檢測(cè)試卷（解析版）

第7章：計(jì)數(shù)原理章末檢測(cè)試卷一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若，則（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】由題意，得，化簡(jiǎn)可得，解得．故選:B2．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測(cè)）馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先將亮的6盞燈排成一列，根據(jù)題意，因?yàn)殛P(guān)掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，則有5個(gè)符合條件的空位，在5個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排熄滅的燈，有種情況，即有10種關(guān)燈方法.故選：A.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）小王同學(xué)家3樓與4樓之間有8個(gè)臺(tái)階，已知小王一步可走一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數(shù)為（）A．28種B．32種C．34種D．40種【答案】C【解析】①8步走完樓梯，走8步走一個(gè)臺(tái)階，有1種；②7步走完樓梯，走1步兩個(gè)臺(tái)階6步一個(gè)臺(tái)階，有種；③6步走完樓梯，走2步兩個(gè)臺(tái)階4步一個(gè)臺(tái)階，有種；④5步走完樓梯，走3步兩個(gè)臺(tái)階2步一個(gè)臺(tái)階，有種；⑤4步走完樓梯，走4步兩個(gè)臺(tái)階，有1種，共計(jì)34種．故選：C．4．（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均是集合中的元素，若點(diǎn)在第二象限內(nèi)的情況共有種，則的展開式中的第5項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，，的展開式的通項(xiàng)為，則展開式中的第5項(xiàng)為.故選：A5．（2023秋·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）學(xué)校組織社團(tuán)活動(dòng)，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個(gè)社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個(gè)社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（）A．種B．種C．種D．種【答案】D【解析】由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有種故選：D6．（2023秋·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）的展開式中的系數(shù)為（）A．B．C．5D．25【答案】D【解析】展開式中項(xiàng)是與展開式中項(xiàng)相乘加上與展開式中項(xiàng)相乘的和，于是，所以所求系數(shù)為25.故選：D7．（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）已知，則的值為（）A．B．0C．1D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，展開式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即.故選：B8．（2021春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55B．在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小C．在第條斜線上，共有個(gè)數(shù)D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是【答案】A【解析】從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，，其規(guī)律是，所以第9條斜線上各數(shù)之和為13+21=34，故A錯(cuò)誤；第1條斜線上的數(shù)：，第2條斜線上的數(shù)：；第3條斜線上的數(shù)：，第4條斜線上的數(shù)：，第5條斜線上的數(shù)：，第6條斜線的數(shù)：，……，依此規(guī)律，第n條斜線上的數(shù)為：，在第11條斜線上的數(shù)為，最大的數(shù)是，由上面的規(guī)律可知：n為奇數(shù)時(shí)，第n條斜線上共有個(gè)數(shù)；n為偶數(shù)時(shí)，第n條斜線上共有共有個(gè)數(shù)，所以第n條斜線上共，故C正確；由上述每條斜線的變化規(guī)律可知：在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022春·山東青島·高二青島大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?duì)于，，，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】A.由組合數(shù)公式知：，故錯(cuò)誤；B.由組合數(shù)公式知：，，則，故正確；C.由組合數(shù)公式知：，，，所以，故正確；D.由排列數(shù)公式知：，所以，故錯(cuò)誤；故選：BC10．（2023春·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）若二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】BD【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，對(duì)于A，令，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)椋?，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以D正確，故選：BD．11．（2022春·河北唐山·高二?？计谀┮阎恼归_式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為，則下列結(jié)論成立的是（）A．B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為45C．含的項(xiàng)的系數(shù)為210D．展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)【答案】ABC【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，由于第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為，則，故，得.∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正確；則，令，解得，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；令，解得，則含的項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確；令，則r為偶數(shù)，此時(shí)，故6項(xiàng)有理項(xiàng)．故選：ABC12．（2022春·湖北十堰·高二十堰東風(fēng)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）A．所有不同分派方案共種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：所有不同分派方案共種.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，先把4名醫(yī)生分成3組（2人，1人，1人）再分配.則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則企業(yè)可以只有醫(yī)生甲，也可以有醫(yī)生甲和另一名醫(yī)生，則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項(xiàng)D：若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則企業(yè)可以有1名醫(yī)生和沒有醫(yī)生兩種情況,則不同分派方案共（種）.判斷正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2021春·湖南常德·高二?？茧A段練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】1120【解析】所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,,,則展開式的通項(xiàng)公式為，令可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為.14．（2022春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準(zhǔn)備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民．若一個(gè)“蔬菜包”中不同時(shí)含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成___________種不同的“蔬菜包”．【答案】27【解析】當(dāng)土豆和蘿卜都不含有時(shí)，蔬菜包的種數(shù)為；當(dāng)土豆和蘿卜中只含有一種時(shí)，蔬菜包的種數(shù)為，所以可以組成種不同“蔬菜包”種數(shù)為.15．（2022春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則__________.【答案】【解析】由題意可得，在的展開式中，取，即得.16．（2022春·江蘇·高二校聯(lián)考期中）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種___________．（以數(shù)字作答）【答案】72【解析】按照使用顏色的種類分類，第一類：使用了4種顏色，2,4同色，或3,5同色，則共有(種)，第二類：使用了三種顏色，2,4同色且3,5同色，則共有(種)所以共有48+24=72(種)四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期末）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）因?yàn)?，所以?8．（2022秋·福建莆田·高二?？计谀┰诘恼归_式中，求：（1）含的項(xiàng)；（2）展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）；（2）240【解析】（1）展開式中的第項(xiàng)為，其中，令，可得，故含的項(xiàng)為；（2）令，可得，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為.19．（2022春·湖北十堰·高二十堰東風(fēng)高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.（列出過程，用數(shù)字作答）（1）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條？（2）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條？（3）求出圖中總計(jì)有多少個(gè)矩形？【答案】（1）20；（2）175；（3）102【解析】（1）由題意得A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線需要移動(dòng)6次,向右移動(dòng)3次,向上移動(dòng)3次,所以A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有條.（2）設(shè)點(diǎn)G、H、P的位置如圖所示：則點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線可分為4種情況：①沿著A→E→C，共有條最近路線；②沿著A→G→C，共有條最近路線；③沿著A→H→C，共有條最近路線；④沿著A→P→C，共有條最近路線；故由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有條；（3）由題意，要組成矩形則應(yīng)從豎線中選出兩條、橫線中選出兩條，可分為兩種情況：①矩形的邊不在CD上，共有個(gè)矩形；②矩形的一條邊在CD上，共有個(gè)矩形；故圖中共有個(gè)矩形.20．（2022春·山東菏澤·高二菏澤一中?？茧A段練習(xí)）名同學(xué)簡(jiǎn)記為、、、、、到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者（1）一天上午有個(gè)相同的口罩全部發(fā)給這名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個(gè)口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？（2）每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排名，乙場(chǎng)館安排名，丙場(chǎng)館安排名，則不同的安排方法種數(shù)？（3）每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少要去一名，且、兩人約定去同一個(gè)場(chǎng)館，、不想去一個(gè)場(chǎng)館，則滿足同學(xué)要求的不同的安排方法種數(shù)？【答案】（1）126種；（2）60種；（3）114種.【解析】（1）個(gè)相同的口罩，每位同學(xué)先拿一個(gè)，剩下的個(gè)口罩排成一排有個(gè)間隙，插入塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個(gè)人即可，所以不同的發(fā)放方法種.（2）求不同的安排方法分三步：人中選一人去甲場(chǎng)館，剩下的人中選人去乙場(chǎng)館，最后剩下人去丙場(chǎng)館，所以不同的安排方法有種.（3）把視為一人，相當(dāng)于把個(gè)人先分成三組，再分配給三個(gè)場(chǎng)館，分組方法有兩類：第一類，，，去掉在一組的情況，有()種分組方法，再分配給三個(gè)場(chǎng)館，有種方法，第二類，，，去掉在一組的情況，有()種分組方法，再分配給三個(gè)場(chǎng)館，有種方法，所以不同的安排方法有種方法.21．（2023秋·遼寧營(yíng)口·高二統(tǒng)考期末）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在問題中，并對(duì)其求解.條件1：展開式第二項(xiàng)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件2：所有項(xiàng)的系數(shù)和為4096.問題：在的展開式中，______.（1）.求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）.若，求.【答案】（1）選擇條件見解析，；；（2）64【解析】（1）設(shè)展開式的通項(xiàng)為：.若選條件1，有；若選條件2，令，有.因展開式一共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，則.（2）令，得.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法各有多少種？（用式子表達(dá)）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中間；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何兩個(gè)女生都不得相鄰；（7