水文隨機(jī)分析課件

2024/3/121水文隨機(jī)分析

2024/3/122第一章隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)隨機(jī)過(guò)程概念隨機(jī)過(guò)程的概率分布及數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的基本分類平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程泊松過(guò)程2024/3/123隨機(jī)過(guò)程概念實(shí)際上，常遇到實(shí)驗(yàn)過(guò)程中隨某個(gè)參變量變化而變化的隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)上稱該隨機(jī)變量為隨機(jī)函數(shù)。（隨機(jī)變量定義：隨機(jī)事件的實(shí)數(shù)值函數(shù)，有一個(gè)基本事件，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)值，這個(gè)實(shí)數(shù)在一次試驗(yàn)中能否發(fā)生，是很難事先確定的）。2024/3/124如南京滁河某站水位或流量，它是隨時(shí)間而變化的，包括年平均流量，年最大流量，日、月平均流量或水位都是隨時(shí)間而變。再如南京日、月平均氣溫值也隨時(shí)間而變化，當(dāng)然南京氣溫值還隨空間位置不同而變化。換句話說(shuō)，參變量不一定總是時(shí)間，可以是其他。這些隨機(jī)變量即為隨機(jī)函數(shù)。特別是：我們常稱以時(shí)間t為參變量的隨機(jī)函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程。當(dāng)然如果涉及水文現(xiàn)象的隨機(jī)過(guò)程則稱為水文隨機(jī)過(guò)程，一般用表示。

2024/3/125t可以是連續(xù)的，也可以是離散的。如t為離散的則簡(jiǎn)稱隨機(jī)序列或時(shí)間序列，如年最大等，如t為連續(xù)的則仍稱隨機(jī)過(guò)程。在給定t情況下，就是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值可以是離散的，也可以是連續(xù)的。（水文上一般是連續(xù)型的，年徑流量、年最高水位等；也有離散的，如年降水天數(shù)，1，2，…，365）2024/3/126隨機(jī)過(guò)程的分類2024/3/127在研究水文隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，如研究洪水過(guò)程，如果把t當(dāng)作連續(xù)的（瞬時(shí)過(guò)程），理論上講是最好的，但這樣的隨機(jī)過(guò)程建模對(duì)資料要求高，工作量很大，實(shí)際上幾乎難于實(shí)現(xiàn)。因此，常根據(jù)實(shí)際水文現(xiàn)象特性對(duì)t作離散化處理，如對(duì)大江大河洪水過(guò)程，不要求t為連續(xù)的，而只要日平均過(guò)程，即一年365個(gè)數(shù)據(jù)則可，經(jīng)驗(yàn)表明：日平均過(guò)程可以近似反映長(zhǎng)江干流洪水。當(dāng)然對(duì)中小河洪水過(guò)程，則不能用日平均流量來(lái)反映，而應(yīng)該取時(shí)段長(zhǎng)為幾個(gè)小時(shí)的平均流量做離散化（山區(qū)河流因流量變化大則應(yīng)更短，一次洪水過(guò)程可用1、2個(gè)小時(shí)平均流量過(guò)程代替洪水過(guò)程）。2024/3/128在任意給定一個(gè)t值，為隨機(jī)變量，既然是隨機(jī)變量，那么就會(huì)有概率分布。，對(duì)于時(shí)刻t1，對(duì)于時(shí)刻t1和t2

。

，n個(gè)時(shí)刻的聯(lián)合分布。

由于研究多維聯(lián)合分布難度很大，因此常需要研究隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征，一般到2階即可。二、隨機(jī)過(guò)程的概率分布與數(shù)字特征2024/3/129隨機(jī)過(guò)程的主要數(shù)字特征

2、方差()

3、自相關(guān)系數(shù)1、數(shù)學(xué)期望2024/3/12101、平穩(wěn)過(guò)程與非平穩(wěn)過(guò)程。主要看隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是否隨時(shí)間變化分類。如年徑流或年降水過(guò)程在人類活動(dòng)影響很小時(shí)可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但洪水過(guò)程不是平穩(wěn)的。2、獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程與非獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程主要看各時(shí)刻狀態(tài)之間是否相互獨(dú)立。年最大洪峰流量過(guò)程為獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程，而日流量過(guò)程則為非獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。其中有一種特殊過(guò)程：Markov（馬爾科夫過(guò)程）如AR（1）過(guò)程，是非獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程里常見(jiàn)的一種，實(shí)際上應(yīng)用此較多。即將來(lái)狀態(tài)與現(xiàn)在有關(guān)，而與其前面狀態(tài)毫無(wú)關(guān)系。10三、隨機(jī)過(guò)程的基本分類2024/3/1211

定義

如果對(duì)于時(shí)間t的任意n個(gè)數(shù)值t1,…,tn和任意實(shí)數(shù)k，隨機(jī)過(guò)程的n維分布函數(shù)滿足關(guān)系式則稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。11當(dāng)n=1

時(shí)，不管K取何值，；任何一維分布都是用同分布。四、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2024/3/1212當(dāng)n=2時(shí)，說(shuō)明二元聯(lián)合分布僅與這兩個(gè)隨機(jī)變量時(shí)間間隔有關(guān)，與取多少無(wú)關(guān)。而且還可以證明，。這種平穩(wěn)過(guò)程，稱為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。由于實(shí)際上要求得多元聯(lián)合分布難度很大，應(yīng)該說(shuō)絕大多數(shù)情況下是不可能辦到的，因此，一般只要求關(guān)心隨機(jī)過(guò)程一、二階矩。當(dāng)，均與無(wú)關(guān)，這時(shí)可稱隨機(jī)過(guò)程為寬平穩(wěn)過(guò)程。今后所說(shuō)平穩(wěn)過(guò)程，一般都是指寬平穩(wěn)過(guò)程。2024/3/1213②寬平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)≤1，。如

，則≥0。b.，偶函數(shù)。③平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)性設(shè)為平穩(wěn)的一個(gè)樣本或一個(gè)現(xiàn)實(shí)，令為一個(gè)樣本或現(xiàn)實(shí)的平均值。當(dāng)，則稱平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2024/3/1214事實(shí)上，這個(gè)概念還是很重要的。在許多實(shí)際隨機(jī)過(guò)程特別是水文過(guò)程中，僅能有一個(gè)樣本或一個(gè)現(xiàn)實(shí)，那么要估計(jì)不同t下，(某一個(gè)時(shí)刻t僅一個(gè)數(shù)據(jù))則無(wú)法進(jìn)行，這時(shí)如果具備歷經(jīng)性，則可用代替。各年年徑流隨機(jī)過(guò)程

這些資料僅有一個(gè)樣本或現(xiàn)實(shí)。2024/3/1215以上用代替，滿足兩個(gè)條件n足夠大，太小了不能反映實(shí)際，誤差大，同時(shí)滿足各態(tài)歷經(jīng)性。2024/3/1216五、泊松過(guò)程①獨(dú)立增量過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程X(t)(t≥0)滿足條件a:b:對(duì)任意時(shí)刻，（任意給定n+1時(shí)刻），如果過(guò)程增量相互獨(dú)立，則稱X(t)為獨(dú)立增量過(guò)程?？梢宰C明它是Markov過(guò)程。②泊松過(guò)程泊松分布：n次獨(dú)立試驗(yàn)中A事件發(fā)生了k次2024/3/1217獨(dú)立增量過(guò)程X(t)，若其增量的頻率分布為泊松分布，t2>t1≥0,n=0,1,2,…則稱X(t)為泊松過(guò)程。2024/3/1218當(dāng)t1=0,t2=t，則，為平均數(shù)值（隨機(jī)變量）

對(duì)于這種隨機(jī)過(guò)程可以在水文中描述，（0，t）時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)降水次數(shù)的概率。（在一段時(shí)間內(nèi)接聽(tīng)電話的次數(shù)也可按泊松分布）2024/3/1219例如，某站汛期[0，t]（t=30,30天內(nèi)）年平均暴雨發(fā)生次數(shù)為4.8次，即=4.8，這個(gè)數(shù)值完全可以根據(jù)實(shí)際觀測(cè)次數(shù)系列求平均得到，則在汛期開(kāi)始30天內(nèi)發(fā)生n次暴雨的概率。

這樣就可以知道發(fā)生不同次數(shù)暴雨的概率，如發(fā)生3-5次概率50%。這對(duì)于防汛決策是有意義的。當(dāng)然這是假定符合泊松過(guò)程為前提。如果要檢驗(yàn)它是否正確，需要有大量資料。如果可找到全國(guó)各地汛期暴雨資料，可以分析我們?cè)谘雌趦?nèi)發(fā)生暴雨次數(shù)是否符合這一泊松過(guò)程規(guī)律。2024/3/1220第二章水文時(shí)間序列的組成分析概述趨勢(shì)項(xiàng)分析處理與檢驗(yàn)跳躍成分分析處理與檢驗(yàn)周期成分的描述與提取2024/3/1221概述趨勢(shì)S（t)2024/3/1222對(duì)系列組成成分分析的目的隨機(jī)模擬，包括年月徑流系列，洪水系列(n年)，如長(zhǎng)江中下游地區(qū)洪水模擬可以計(jì)算三峽水庫(kù)防洪效益的計(jì)算誤差。

預(yù)測(cè)（外延），西北干旱區(qū)出口徑流作2年預(yù)測(cè)，上海水情中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，晉江水情預(yù)測(cè)。

2024/3/1223一般的水文隨機(jī)序列，非周期[Tt（趨勢(shì)），Ct（突變），跳躍Kt等]周期[簡(jiǎn)單或復(fù)合周期成分]隨機(jī)成分

當(dāng)，則僅為隨機(jī)成分，這時(shí)要作預(yù)測(cè)？比有確定性成分時(shí)難度大，往往不易預(yù)測(cè)準(zhǔn)確。反之，如S（t)=0,則系列僅有確定性成分，這時(shí)候一般易于進(jìn)行預(yù)測(cè)，但如果規(guī)律性發(fā)生變化，則預(yù)測(cè)會(huì)出問(wèn)題，如樹(shù)與小孩生長(zhǎng)例子。2024/3/1224當(dāng)，則，這時(shí)只要趨勢(shì)及周期等成分分析的比較好，則預(yù)測(cè)就比較可靠。當(dāng)然如果這種確定性成分在今后時(shí)期內(nèi)不是按現(xiàn)有資料變化規(guī)律變化，那么預(yù)測(cè)起來(lái)精度也是不能保證的。要注意的是有些情況下，2024/3/1225第二節(jié)趨勢(shì)項(xiàng)分析處理與檢驗(yàn)對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，呈現(xiàn)出系統(tǒng)而連續(xù)的增加或減少的變化。這種有規(guī)則變化稱為趨勢(shì)。這種趨勢(shì)可分整體趨勢(shì)與局部趨勢(shì)，往往是由于人為或自然原因造成，而不是隨機(jī)抽樣波動(dòng)或觀測(cè)資料誤差所致。如氣候因素年際變化，若有某種明顯趨勢(shì)，那么年降水量序列和年徑流序列則有可能出現(xiàn)相應(yīng)的趨勢(shì)。在一定時(shí)期內(nèi)湖泊中泥沙逐漸淤積，年平均水位就有升高的趨勢(shì)；如沿河逐年提高防洪堤，年最大洪峰流量就有增大趨勢(shì)等。流域內(nèi)，灌溉面積不斷增加，流域蒸發(fā)量有增加趨勢(shì)，當(dāng)然徑流量就有減少趨勢(shì)。為了排除趨勢(shì)成分應(yīng)從物理成因和統(tǒng)計(jì)分析兩個(gè)方面著手進(jìn)行。2024/3/1226查明趨勢(shì)現(xiàn)象及其產(chǎn)生原因，然后使用數(shù)學(xué)方法加予描述，進(jìn)而加于排除。趨勢(shì)變化可以是線性和非線性的，常用多項(xiàng)式來(lái)描述。趨勢(shì)項(xiàng)剩余項(xiàng)為系數(shù)，一般實(shí)際上先用簡(jiǎn)單線性模型來(lái)描述如何定？2024/3/1227利用現(xiàn)有觀測(cè)數(shù)據(jù)，使得殘差最小為原則。

,來(lái)優(yōu)化確定系數(shù)。如果是一元線性，僅有兩個(gè)參數(shù)。優(yōu)化計(jì)算在許多方面都有應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)優(yōu)化適線，回歸分析，最小二乘法、流域模型參數(shù)優(yōu)化計(jì)算等2024/3/1228分離趨勢(shì)方法還有差分法，如：見(jiàn)下一個(gè)片子趨勢(shì)項(xiàng)目檢查（驗(yàn)）方法：①移動(dòng)平均法（把原系列從變幅大→變幅小，容易看出是否有趨勢(shì)）若觀測(cè)值為，若移動(dòng)平均區(qū)段為h，例h=3則移動(dòng)平均值其中為權(quán)重系，，當(dāng)相等則是簡(jiǎn)單的算術(shù)平均，當(dāng)不等時(shí)，則為加權(quán)平均。

2024/3/12292024/3/1230得到新系列，（比原來(lái)少2項(xiàng)）一般通式：移動(dòng)平均值y為h為奇數(shù)時(shí)，為系數(shù)，當(dāng)則為算術(shù)平均，還可加權(quán)取值，

2024/3/1231h為偶數(shù)，移動(dòng)平均后僅有n-h個(gè)數(shù)據(jù)。H的選擇一般根據(jù)時(shí)間序列的周期來(lái)選擇，即區(qū)段長(zhǎng)度等于周期長(zhǎng)度，如對(duì)月平均徑流量時(shí)間序列，由于存在年周期，h=12

2024/3/1232②Kendall秩次相關(guān)檢驗(yàn)（水資源綜合規(guī)劃中使用此方法分析降水和徑流變化趨勢(shì)）

對(duì)于序列，先確定所有對(duì)偶值中的出現(xiàn)個(gè)數(shù)（設(shè)為P），順序的子集是：

如果按順序前進(jìn)的值全部大于前一個(gè)值，是一種上升趨勢(shì)，則，系為等差級(jí)數(shù)，總和為2024/3/1233如果序列全部倒過(guò)來(lái)，即由大到小排列，則P=0，為下降趨勢(shì)，（說(shuō)明P數(shù)值不能太多，也不能太少）P的數(shù)學(xué)期望（值）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量當(dāng)

2024/3/1234：無(wú)趨勢(shì)，當(dāng)，接受無(wú)趨勢(shì)，：無(wú)趨勢(shì)

，拒絕原假設(shè)。

例12個(gè)數(shù)據(jù)，看是否有趨勢(shì)，Xt509490475482513535498540550560545530789864531010故趨勢(shì)明顯，有上升趨勢(shì)。2024/3/1235③Spearman秩次相關(guān)檢驗(yàn)分析序列Xt與時(shí)序t的相關(guān)關(guān)系，在運(yùn)算時(shí)，Xt用其秩次Rt（即把序列Xt從大到小排列時(shí)，Xt所對(duì)應(yīng)的原來(lái)序列中的序號(hào)），t仍為時(shí)序秩次相關(guān)系數(shù)：n為序列長(zhǎng)度，，顯然如秩次與t序號(hào)相近時(shí)則d小，秩次相關(guān)系數(shù)大，接近1，趨勢(shì)顯著。若反過(guò)來(lái)，則達(dá)最大，r接近-1。r是否異于0，用t檢驗(yàn)。：無(wú)趨勢(shì)。2024/3/1236

R=-0.471T=-3.12

趨勢(shì)顯著

也可以建立線性回歸方程檢驗(yàn)線性趨勢(shì)是否明顯，當(dāng)然還要以肉眼觀看其變化趨勢(shì)，這是最直觀的。

例子：數(shù)據(jù)與上面同t123456789101112數(shù)據(jù)509490475482513535498540550560545590排序560550545540535530513509498490482475Rt109118612517243Dt=Rt-t978416-2-7-2-8-7-19d2814964161364494644981

R=-0.471T=-3.12

2024/3/1237第三節(jié)：跳躍成分分析處理與檢驗(yàn)跳躍是指水文系列急劇變化的一種形式，當(dāng)水文序列從一種狀態(tài)過(guò)渡到另一種狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)。平穩(wěn)過(guò)程（序列）跳躍大小跳躍一般也出現(xiàn)序列均值、方差與自相關(guān)系數(shù)等參數(shù)之中，實(shí)際上多在均值中尋找跳躍。2024/3/1238跳躍是由于人為或天然原因造成，如修筑水庫(kù)前的壩下年最大流量序列與修建水庫(kù)后經(jīng)過(guò)水庫(kù)調(diào)節(jié)后的年最大流量序列，就是人為引起的跳躍，修造后均值與方差變?。ㄟ@是事實(shí)）。又因?yàn)樾藿ㄋ畮?kù)增加水的面積，蒸發(fā)增加，可能引起下游年徑流量均值的跳躍。如尼羅河阿斯旺壩斷面年徑流系列。

為從水文序列中排除跳躍成分，也和趨勢(shì)分析一樣，應(yīng)先查明跳躍現(xiàn)象產(chǎn)生原因，并進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，再加排除。2024/3/1239跳躍成分是否存在的檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方法：分成兩個(gè)樣本，假設(shè)前面樣本分布，后面樣本分布

若拒絕，認(rèn)為總體發(fā)生顯著變化，跳躍顯著；若接受，認(rèn)為總體發(fā)不發(fā)顯著變化，跳躍不明顯。關(guān)鍵，如何定：

①調(diào)查流域自然地理?xiàng)l件變化，確定因自然或人為原因使序列發(fā)生顯著變化的時(shí)間②用時(shí)序累積值相關(guān)曲線法確定③統(tǒng)計(jì)推斷確定，也可以目估看變化2024/3/1240時(shí)序累積值曲線法：設(shè)確定序列，參證序列（無(wú)跳躍和趨勢(shì)突變），兩個(gè)序列的累積值分別為點(diǎn)繪關(guān)系圖（如右圖）如果研究序列跳躍不顯著，則為一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，否則為折線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)即為。圖中，1956年為研究序列的一個(gè)跳躍點(diǎn)，當(dāng)然選擇參證序列時(shí)，參證序列不應(yīng)包含有暫態(tài)（趨勢(shì)、跳躍、突變等成分2024/3/1241分布一致性檢驗(yàn)，①秩和檢驗(yàn)法假定前后兩個(gè)分布密度為和，從總體中取樣本長(zhǎng)度分別為，方法：將兩個(gè)樣本所有數(shù)據(jù)依小→大排列并統(tǒng)一編號(hào)，規(guī)定每個(gè)數(shù)據(jù)在排列中所對(duì)應(yīng)的序數(shù)稱為該數(shù)的秩，對(duì)于相同的數(shù)值，則用它的序數(shù)的平均值作秩?，F(xiàn)記容量小的樣本各數(shù)值的秩之和為W（統(tǒng)計(jì)量），秩的檢驗(yàn)就是對(duì)W作檢驗(yàn)（W太大或太小都證明總體前后不一致）：當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量W近似于正態(tài)分布，2024/3/1242于是可用U檢驗(yàn)~N（0，1）——小樣本容量——大樣本容量接受，否則拒絕。2024/3/1243例子：對(duì)所有數(shù)據(jù)由小→大排，所排序號(hào)為該數(shù)據(jù)的秩，把數(shù)據(jù)容量小的，如本例把個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)秩累加起來(lái)為W，再求U。W太大或太小,表明有跳躍成份。t12345678910111213Xt250210230275220245221265247220250205215t14151617181920212223Xt231202206209218204209219202214Xt*202202204205206209209210214215218219220wi22345778910111213Xt*220221230231245247250250265275wi141516171819202122232024/3/1244

②游程檢驗(yàn)法有一觀測(cè)值序列：11，9，7，12，14，15，16，10，13，假設(shè)分割點(diǎn),將它們由小到大的順序進(jìn)行排列。7，9，10，11，12，13，14，15，16把屬于的記為A，的記為B

，這樣得到一個(gè)新的序列。，把每一連續(xù)出現(xiàn)同一字母的稱為1個(gè)游程，每個(gè)游程所含元素的個(gè)數(shù)為游程長(zhǎng)，例如上式中，有2個(gè)A游程，游程長(zhǎng)度為2；有2個(gè)B游程，游程長(zhǎng)度分別為1和4，全部游程數(shù)為4個(gè)。2024/3/1245

當(dāng)游程出現(xiàn)個(gè)數(shù)較期望的游程少時(shí)，就比較趨向于拒絕兩個(gè)樣本來(lái)自同一總體的假設(shè)。因?yàn)榇藭r(shí)長(zhǎng)的游程較多,表明個(gè)別樣本中的元素有較大聚集現(xiàn)象，因此,我們認(rèn)為不服從同一總體，這是游程檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想。2024/3/1246游程個(gè)數(shù)檢驗(yàn)法：當(dāng)游程總個(gè)數(shù)K服從正態(tài)分布跳躍不顯著2024/3/1247K太多、太少都說(shuō)明有跳躍上例計(jì)算游程數(shù)K=6U=2.77

拒絕有跳躍成分。以上秩和檢驗(yàn)與游程檢驗(yàn)均屬于非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，其他還有參數(shù)檢驗(yàn)，如方差、均值齊性檢驗(yàn)等。當(dāng)經(jīng)過(guò)成因分析和統(tǒng)計(jì)推斷，水文系列中有趨勢(shì)或跳躍明顯時(shí)，可用適當(dāng)方法加以描述，再?gòu)男蛄兄信懦?，剩余的就是具有原始狀態(tài)或一致條件。2024/3/1248突變成分檢測(cè)：由于人為或自然原因，水文序列中可能出現(xiàn)突變。這一變化一過(guò)就又恢復(fù)原狀，這可看作是跳躍的一個(gè)特殊情況，如由于塌方攔截江河，形成水庫(kù)，以后又潰壩，這就引起流量突變，但臨時(shí)水壩沖毀，又恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)。2024/3/1249第四節(jié)：周期成分的描述與提取一、周期成因周期地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)：對(duì)于月徑流、旬徑流、日平均徑流存在年周期，周期分別是12個(gè)月、36旬和365天。對(duì)月、旬、日降水量、蒸發(fā)量一樣存在著年周期。地球自轉(zhuǎn)：氣溫、蒸發(fā)量等存在24小時(shí)周期。近似周期月球繞地球旋轉(zhuǎn)影響，潮水位過(guò)程出現(xiàn)周期，但頻率不可通約。太陽(yáng)黑子影響等影響，存在若干年為一個(gè)周期（近似）可能不均勻變化周期。大氣環(huán)流2024/3/1250如黃河上游和松花江相鄰兩年年徑流之和與前一年太陽(yáng)黑子數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)樘?yáng)黑子有一定循環(huán)周期，因而年徑流多年變化中也可能存在一定循環(huán)周期。再如1960年代分析結(jié)果，長(zhǎng)江漢口站最大流量多年變化有55年主要周期，1989-90年代作分析，長(zhǎng)江宜昌站100年資料（1881-1980）分析汛期流量存在15年主周期。2024/3/1251二、周期成分描述及譜分析

存在簡(jiǎn)單周期成分，（同正弦或余弦表示）—振幅—角頻率當(dāng)時(shí)，周期，∴周期對(duì)于月徑流序列，應(yīng)該存在T=12這一情況。—相位這個(gè)正弦函數(shù)，均值等于0，方差這個(gè)有周期過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)出周期性質(zhì)或特點(diǎn)。

具有復(fù)合周期的周期成分，可用以下公式（傅立葉級(jí)數(shù)表示）。2024/3/1252為基本周期，這個(gè)式子說(shuō)明序列Xt可由l個(gè)諧波（周期）線性疊加而成，而且不同諧波周期與基本周期是倍比關(guān)系。

——為Xt

平均值。2024/3/1253那么如何根據(jù)已有實(shí)測(cè)序列求，下面先介紹譜分析技術(shù)方法---方差線譜。滿足一定條件時(shí)，進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，用上面式子表示。l為諧波總個(gè)數(shù)（n為偶數(shù)，）諧波振幅。角頻率（為基本角頻率，令f=1/n）2024/3/1254分析一下：在已知前提下，關(guān)系一一對(duì)應(yīng)，不同角頻率下諧波振幅，反映諧波大小?？梢宰C明：為對(duì)應(yīng)諧波方差大小。反映不同頻率諧波所占比重，愈大，諧波周期含量愈大，愈顯著。方差譜密度2024/3/1255代表任一點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的方差密度為方便定義，方差譜密度函數(shù)可以證明實(shí)用時(shí)

，（對(duì)稱函數(shù)）從圖形中要以看出哪一個(gè)頻率下譜密度大，即該周期諧波分量比較大?？梢愿鶕?jù)實(shí)測(cè)樣本估計(jì)出來(lái)（仍是離散化）2024/3/1256計(jì)算時(shí)m取值：，但自相關(guān)系數(shù)求相關(guān)系數(shù)（糾偏系數(shù)，對(duì)估計(jì)量而言）從估計(jì)結(jié)果可以知道哪些周期諧波比重大，哪些小不顯著。2024/3/1257三、用簡(jiǎn)單分波法分析系列周期（近似）

—隨機(jī)水文系列，—趨勢(shì)，跳躍，突變—不含非周期確定性成分序列（趨勢(shì)項(xiàng)或跳躍項(xiàng)）簡(jiǎn)單分波法尋找后序列中周期項(xiàng)，把（一般即可）。一般針對(duì)年、月徑流，年、月降水量序列2024/3/12581、分析思路：①先分離第一周期，得出余波，計(jì)算余波系列均方差。②對(duì)余波A1分離第二周期，得出余波，計(jì)算余波系列均方差（顯然會(huì)愈來(lái)愈少）。③對(duì)余波分離第三周期（如果存在），得余波（如果已無(wú)第二周期那么就不要做第③

），計(jì)算。④再對(duì)余波分離第四周期（如存在），得，計(jì)算（如果已無(wú)第三周期就不再做第④

）。2024/3/12592、分析周期用途：①了解序列未來(lái)變化規(guī)律②用于預(yù)測(cè)未來(lái)年份或月份的水文特征如對(duì)年徑流序列分析下來(lái)有2個(gè)周期：第一個(gè)7年周期，其周期值已知，P1674.2P2658.2P3426.2P4520.4703.1P5751.4P6907.5P7第二個(gè)3年周期，Q1Q2Q392.7-22.9-78.6此時(shí)，可以用于預(yù)測(cè)，先假設(shè)無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)，即T=02024/3/1260(預(yù)則值)，作為第n+1年的周期項(xiàng)取值，再加T(n+1)（如果有趨勢(shì)的話）。則：2024/3/12613、第一周期分離與提取要對(duì)n個(gè)數(shù)據(jù)分析周期，顯然根據(jù)這些數(shù)據(jù)分析出來(lái)同期不可能超過(guò)（偶數(shù)），（奇數(shù)）?！嘀芷陂L(zhǎng)度為：對(duì)于任意l年周期成分是否顯著，。①計(jì)算整個(gè)系列均值②把現(xiàn)有時(shí)間序列分組（分成m行，l組，各組數(shù)據(jù)至多m個(gè)）如不為整數(shù)，取行。2024/3/1262按l年分組即周期長(zhǎng)為l年情況對(duì)于水文時(shí)間序列數(shù)據(jù)，按時(shí)間順序，從左→右，從上→下排列。（先取l=2作周期顯著性檢驗(yàn)，再取l=3，再按次序來(lái)作）2024/3/1263③計(jì)算每一個(gè)組計(jì)算均值，，及，，每一組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，最多為。④計(jì)算組間離差平方和，

或計(jì)算組內(nèi)離差平方和，⑤：不存在長(zhǎng)度為l的周期成分，：當(dāng)顯著性水年，可查F表，當(dāng)由樣本計(jì)算則原假設(shè)成立，當(dāng)，則拒絕原假設(shè)即存在明顯的長(zhǎng)度為l的周期成分。2024/3/1264如何理解？假如一組數(shù)據(jù)完全按周期排列，即每7年重復(fù)同一套數(shù)據(jù)（7個(gè)數(shù)據(jù)不同差異較大），在這種情況下，按分組，計(jì)算大小則F很大，存在周期但是如按分組（打亂了），小大F很小，周期不顯著實(shí)際做的時(shí)候要計(jì)算，或2024/3/1265年數(shù)據(jù)顯然在時(shí)，周期顯著，其他情況下不顯著，有時(shí)可能出同幾個(gè)F計(jì)算值超過(guò)，這時(shí)應(yīng)選哪個(gè)？選F值最大的。2024/3/1266⑥如何提取出這個(gè)7年周期值就是在時(shí)，計(jì)算的作為周期為7年周期成分，⑦求余波⑧求余波均方差2024/3/12674、第二周期分離與提取這時(shí)分析序列的周期成分，不再是原序列，而是對(duì)余波進(jìn)行，余波與原水文序列差別主要在，一般水文序列不為負(fù)值，但余波有正有負(fù)，正負(fù)相抵消。分析周期方法與第一周期分析完全一樣，只不過(guò)這時(shí)分組組數(shù)l應(yīng)不包括第一周期長(zhǎng)度（如第一周期長(zhǎng)度7年，則這時(shí)對(duì)l

=7可不進(jìn)行周期顯著性檢驗(yàn)）。2024/3/1268求余波求余波（殘差）均方差，比第一余波均方差要小。假如經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)時(shí)明顯存在周期，這時(shí)對(duì)余波序列，求時(shí)分組平均值，如2024/3/12695、第三、四周期分離與提取

與第二周期完全一樣，不再敘述。當(dāng)然，分析周期成分個(gè)數(shù)愈多，最后余波均方差會(huì)愈小，但由于實(shí)際上資料較短，本身存在誤差，不一定愈多愈好。（特別用于預(yù)報(bào)時(shí)）原則上，為了提高周期分析精度，應(yīng)使資料盡可能長(zhǎng)一些。當(dāng)增加新的資料，則應(yīng)重新分析周期成分。（哪怕只增加一年或一次）另外顯著性水平大小選取對(duì)周期成分判斷也會(huì)有影響，所做假設(shè)檢驗(yàn)前提是系列符合正態(tài)分布，事實(shí)上也未必成立。這樣分析出來(lái)的周期成分會(huì)犯錯(cuò)誤。對(duì)周期成分還可以通過(guò)小波分析，最大熵估計(jì)等方法。2024/3/1270四、平穩(wěn)隨機(jī)成分的分析

當(dāng)前面介紹非周期成分及周期成分被提取之后，所得序列隨機(jī)成分原序列非周期周期一般可認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于這樣一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)成分，一般情況下，還可以分成相依隨機(jī)成分+獨(dú)立成分。對(duì)于這種平穩(wěn)隨機(jī)成分，可以用不同隨機(jī)模型：線性、非線性（模型加以描述）。即平穩(wěn)相依成分純隨機(jī)——不同t之間相互獨(dú)立，平穩(wěn)獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程2024/3/1271即方差為為常數(shù)，但不同時(shí)刻t時(shí)相互獨(dú)立。在水文計(jì)算中，主要研究的就是平穩(wěn)獨(dú)立隨機(jī)序列，如年最大洪峰或洪量序列、年最大t天暴雨量序列。當(dāng)中無(wú)相依成分，則為純隨機(jī)序列。對(duì)于純隨機(jī)序列，其分布線型（我國(guó)一般）：對(duì)數(shù)正態(tài)，P-III等，有時(shí)為了簡(jiǎn)化，要用正態(tài)分布，當(dāng)然對(duì)年最高水位還采用極值分布。如何檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)序列是平穩(wěn)獨(dú)立隨機(jī)序列？2024/3/1272一般是通過(guò)計(jì)算自相關(guān)系數(shù)作檢驗(yàn)根據(jù)不同k做計(jì)算，看是否落在上下置信項(xiàng)之間。若都落在置信項(xiàng)之間，則認(rèn)為是獨(dú)立的，若不在之間，那么就是有相關(guān)。事實(shí)上，我們處理一個(gè)無(wú)確定性成分的年徑流序列，它一般并不是獨(dú)立，而是有一定相關(guān)關(guān)系，但年最大洪峰、洪量序列一般可認(rèn)為是獨(dú)立平穩(wěn)序列。因此把年徑流序列當(dāng)作純隨機(jī)成分作頻率計(jì)算會(huì)帶來(lái)一些誤差。2024/3/1273對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列，若不是獨(dú)立的，則應(yīng)該把該序列分成兩部分：相依部分與純隨機(jī)部分。對(duì)相依部分（成分）可以用下面介紹的平穩(wěn)隨機(jī)模型加以描述。有些同學(xué)未學(xué)習(xí)過(guò)隨機(jī)水文學(xué)課程，故這里把幾種常見(jiàn)純隨機(jī)變量的隨機(jī)數(shù)生成復(fù)習(xí)一下。2024/3/1274①[0，1]均勻分布生成，在FORTRAN語(yǔ)言下，調(diào)用RANDOM(u)即可生成一個(gè)[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)，如需生成100個(gè)[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)u。

DIMENSIONA（100）

DO10I=1，10010CALLRANDOM（A(I)）

WRITE(*,*)ASTOPENDVB語(yǔ)言用內(nèi)部函數(shù)RND生成。2024/3/1275②正態(tài)分布生成生成出這樣生成……是相互獨(dú)立隨機(jī)數(shù)

，即符合均值為0，方差1正態(tài)分布。對(duì)于一般正態(tài)分布，把轉(zhuǎn)換成……2024/3/1276③對(duì)數(shù)正態(tài)分布生成X----三參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)生成生成出這樣生成出來(lái)符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其平均值為，均方差，偏態(tài)系數(shù)。2024/3/1277生成un+1,un+2,un+3NoYesz’=x+yz=z’/+a0生成u1,u2,…,unP-III分布隨機(jī)數(shù)的生成EX,Cv,Cs2024/3/1278舉例：EX=103.4,CV=0.482,CS=1.621,生成的隨機(jī)數(shù)有:u1=0.86515，u2=0.69186，u3=0.41686,u4=0.86122要求生成一個(gè)P-III分布隨機(jī)數(shù).(1)

n=1p=0.522(2)生成y

(3)生成x,由u2，u3，u4

成立2024/3/1279

不同P情況下，抽樣效率不一樣

P愈小，效率愈高。

(4)問(wèn)題:如何生成第二個(gè)P-III隨機(jī)數(shù)?2024/3/1280第三章水文隨機(jī)模擬第一節(jié)概述第二節(jié)線性平穩(wěn)水文序列模型（ARMA(p,q)）第三節(jié)分?jǐn)?shù)高斯噪聲模型第四節(jié)季節(jié)性隨機(jī)模型第五節(jié)散粒噪聲模型第六節(jié)多變量模型2024/3/1281第一節(jié)概述兩種模擬水文模擬：確定模型結(jié)構(gòu)+估計(jì)參數(shù)→短期水文預(yù)報(bào)

水文隨機(jī)模擬：通過(guò)隨機(jī)數(shù)生成，得到很長(zhǎng)水文模擬系列，可以充分利用已有序列信息。主要應(yīng)用:理論研究（參數(shù)估計(jì)方法比較），風(fēng)險(xiǎn)與可靠性分析。

2024/3/1282主要簡(jiǎn)要介紹：ARMA(p,q)及其簡(jiǎn)化模型AR(p)，季節(jié)性AR(p)，多站AR(1)。2024/3/1283不同水文變量采用模型

對(duì)于平穩(wěn)的年徑流，年降水量過(guò)程，一般采用ARMA(p,q)模型，特別是AR(P)模型加以描述。但如有長(zhǎng)持續(xù)性特征，應(yīng)用分?jǐn)?shù)高斯噪聲模型。對(duì)于月、日旬徑流或降水過(guò)程：也可以做平穩(wěn)化變換（中心化和標(biāo)準(zhǔn)化變換）變成平穩(wěn)過(guò)程，但如果以上變換后仍是不平穩(wěn)的，則采有非平穩(wěn)模型季節(jié)性模型，如月徑流或日徑流過(guò)程，可用季節(jié)性AR(1)，AR(2)模型描述，解集模型。洪水過(guò)程：對(duì)于特大江河一般可采用平穩(wěn)模型。（長(zhǎng)江干流，漢江，長(zhǎng)江上游地區(qū)，珠江流域），對(duì)于一般河流，可采用季節(jié)性AR(P)模型、散粒噪聲、解集模型等（山區(qū)性河流漲落明顯）2024/3/1284水文隨機(jī)模擬一般程序?qū)崪y(cè)資料選樣與審查（有時(shí)包括調(diào)查雨洪資料）水文隨機(jī)序列組成分析與處理隨機(jī)模型選擇模型參數(shù)估計(jì)結(jié)束水文隨機(jī)序列生成模型殘差項(xiàng)獨(dú)立計(jì)算檢驗(yàn)有時(shí)還有正態(tài)性檢驗(yàn)?zāi)M序列檢驗(yàn)包括Box—Cox，對(duì)數(shù)變換等(有些模型需要序列是正態(tài))有時(shí)還要定階不合理合理模型檢驗(yàn)不好2024/3/1285第二節(jié)線性平穩(wěn)水文序列模型（ARMA(p,q)）一、模型形式一般形式（直接形式）（離均差） 研究變量Xt，中心化變量,標(biāo)準(zhǔn)化變量

。 自回歸模型AR(P)：

是p個(gè)參數(shù)，也是參數(shù)，另一個(gè)是的方差，這個(gè)模型中與相互獨(dú)立，但與有關(guān)，p為階數(shù)。2024/3/1286

顯然這個(gè)模型告訴大家的是，t時(shí)刻值與前面p個(gè)時(shí)刻取值有關(guān)且是線性之和，這在水文中有現(xiàn)實(shí)意義，如年、月徑流量大小是與前面時(shí)刻取值大小有關(guān)的。 表示殘差，不同時(shí)刻t的殘差要求獨(dú)立同分布（但不一定是正態(tài)分布）。這一條件要求較高，所以水文變量不一定都能滿足這一要求，即白噪聲的要求，也是上面一般工作程序中所要做的檢驗(yàn)內(nèi)容之一。如果出現(xiàn)這種情況，應(yīng)該把殘差(假如用表示)，用以下形式表示：,q為階數(shù)這個(gè)模型稱為自回歸滑動(dòng)平均模型，ARMA(p,q),共p+q+2個(gè)參數(shù).2024/3/1287 該模型能表征許多水文變量的變化特征，因此使用比較多。當(dāng)，自回歸模型。當(dāng)，滑動(dòng)平均模型。對(duì)于用表示 對(duì)于用表示

為的均方差。這三種形式都可使用。2024/3/1288傳遞形式 對(duì)AR(1)模型

,不失一般性，令

逐次用代入上式 這說(shuō)明由無(wú)數(shù)個(gè)獨(dú)立白噪聲線性疊加而成的，是其權(quán)重，時(shí)間距離愈遠(yuǎn)，權(quán)重愈小。2024/3/1289如用Green函數(shù)表示，（對(duì)AR(1)模型而言）對(duì)模型（一般ARMA模型）傳遞形式：

2024/3/1290逆轉(zhuǎn)形式 即把用表示形式 如對(duì)MA(1)模型

2024/3/1291也有逆轉(zhuǎn)形式這兩種形式在作水文時(shí)間序列預(yù)測(cè)時(shí)都用到。2024/3/1292二、自回歸模型定階與參數(shù)估計(jì)AR(P)

[對(duì)公式可用乘以方程兩邊求數(shù)學(xué)期望， 經(jīng)過(guò)整理可得出]矩法參數(shù)估計(jì)：（P個(gè)方程，P個(gè)未知數(shù)）

2024/3/1293有了樣本那么可以估計(jì)出參數(shù)。(k階自相關(guān)系數(shù))這樣方程中參數(shù)均可估計(jì)出

不是真正的相容估計(jì)，模型定階AR(P)2024/3/1294BIC定出的階數(shù)P一般要比AIC小，是相合估計(jì)量，一致性估計(jì)量P上限值一般取為或。對(duì)于以上參數(shù)估計(jì)公式k階自相關(guān)系數(shù)當(dāng)P=1，2024/3/1295 對(duì)AR（1）模型，當(dāng)為正數(shù)，按指數(shù)衰減，一直不為0（理論上）。因此，如果實(shí)際上計(jì)算出來(lái)自相關(guān)系數(shù)，若能符合上述要求（指數(shù)衰減要求）的話，那么可以認(rèn)為用AR（1）模型來(lái)描述。AR（P）平穩(wěn)性條件，方程根如都在單位園內(nèi)，即，則是平穩(wěn)的，否則模型不平穩(wěn)。2024/3/1296三、一階自回歸模型建模與模擬一階自回歸模型，一階馬爾科夫模型最常用。參數(shù)估計(jì)2024/3/1297平穩(wěn)性條件，要求在單位圓內(nèi)即，一般都能滿足。自相關(guān)系數(shù)有正有負(fù)按指數(shù)衰減①k∴不單單是圖①情況下才可以用AR（1）模型加予描述2024/3/1298隨機(jī)模擬：正態(tài)殘差若用,則要模擬水文時(shí)間序列，必須生成白噪聲序列：由[0,1]均勻分布隨機(jī)數(shù)，生成生成時(shí)從t=1開(kāi)始，或任意原序列中的數(shù)值2024/3/1299要生成水文序列，如年徑流等

一般為了消除初值影響，前50~100次去掉，甚至可以更多一點(diǎn)，顯然這樣生成序列符合正態(tài)分布。問(wèn)題將會(huì)出現(xiàn)，即出現(xiàn)負(fù)值，這是不符水文變化特性的?！?2024/3/12100 解決方法： ①把原序列先變成正態(tài)序列模擬正態(tài)序列

同上述方程建模，包括定階P及估計(jì)參數(shù)，這樣即可生成很長(zhǎng)y的模擬序列

至于完全可以利用，轉(zhuǎn)換在統(tǒng)計(jì)書(shū)上都有（隨機(jī)水文學(xué)）,上一章已經(jīng)講過(guò)。

2024/3/12101②把殘差項(xiàng)改成,分布均值0，方差1，其偏態(tài)系數(shù)為一階自相關(guān)系數(shù),

偏態(tài)系數(shù)

這樣生成序列只能說(shuō)近似符合P-III分布分布用舍選抽樣生成2024/3/12102四、二階自回歸模型建模與模擬AR（2）r平穩(wěn)域要求(主要要求)模型形式2024/3/12103隨機(jī)模擬先假定為原序列中最后兩個(gè)數(shù)值,從t=2開(kāi)始去掉前50~100次,這是正態(tài)過(guò)程2024/3/12104非正態(tài)過(guò)程與AR（1）不一樣,殘差P-III分布t-1t-12024/3/12105五、滑動(dòng)平均模型 水文上用得少（中心化,即減去均值后） 該過(guò)程肯定是平穩(wěn)的，但是否可逆，需要滿足以下條件（其參數(shù)估計(jì)在參數(shù)估計(jì)中做介紹） 若方程根都在單位園內(nèi)，則MA(q)系列滿足可逆性條件。

2024/3/12106

自相關(guān)系數(shù)是截尾的模型估計(jì)系數(shù)

2024/3/12107六、ARMA(p,q)模型主要特點(diǎn)：比AR(p)和MA(q)能更好地反映水文變量在時(shí)序上變化統(tǒng)計(jì)特性，具有更大彈性。在達(dá)到一定的要求下，較AR(p)和MA(q)具有更少參數(shù)。但ARMA(p,q)模型參數(shù)估計(jì)較復(fù)雜。2024/3/12108

可逆平穩(wěn)條件：

根要求在單位圓內(nèi)則平穩(wěn)。

根要求在單位圓內(nèi)則可逆。

2024/3/12109

參數(shù)估計(jì)①對(duì)系列(中心化系列),按自回歸模型估計(jì)參數(shù)(矩法)②從原始系列yt中減去具有參數(shù)的AR（P）系列③用矩法滑動(dòng)平均模型估算參數(shù)參數(shù)矩法估計(jì)較粗，精度不高也可以用最小二乘法估計(jì)t-12024/3/12110

不同參數(shù)，使得

所對(duì)應(yīng)的值，即為最小二乘估計(jì)。（該方法精度較高）

ARMA（1,1）為較常用不做詳細(xì)介紹（有興趣自己看書(shū)）

實(shí)例：用AR（p）模擬年徑流過(guò)程用AR（p）模型模擬大渡河下游水文站銅街子控制站的年徑流過(guò)程，F(xiàn)=7.64萬(wàn)km2，資料1937～1979年，銅街子站附近擬建一個(gè)水電站，現(xiàn)需對(duì)未來(lái)年徑流變化作分析，資料是一致，可靠及有代表性（無(wú)趨勢(shì)，無(wú)明顯周期存在）

2024/3/12111

從年徑流過(guò)程線上看，無(wú)趨勢(shì)存在,從計(jì)算的自相關(guān)系數(shù)看,有明顯相依性，考慮用AR(p)來(lái)加以模擬，用修正糾編矩法計(jì)算

考慮到系列偏態(tài)特征明顯,建模時(shí)應(yīng)考慮其偏態(tài)特性。

先對(duì)序列建立AR（1）模型

2024/3/12112是平穩(wěn)的模型t=1生成隨機(jī)數(shù)t=2生成隨機(jī)數(shù),，代入模型得…2024/3/12113

當(dāng)然在生成年徑流序列之前還應(yīng)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹溪?dú)立性前提條件

對(duì)做獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算出

2024/3/12114作獨(dú)立性檢驗(yàn)，查，具備零相關(guān)。

∴符合建模前提條件，即殘差具有獨(dú)立性。年徑流模擬成果檢驗(yàn)

AR(1)2-3階相關(guān)系數(shù)差別較大14890.1280.3330.4250.1810.075長(zhǎng)系列14910.1280.3310.420.3020.206實(shí)測(cè)值14890.1260.2880.3720.1180.008短系列AR(2)14890.1290.3370.4260.3040.172長(zhǎng)系列148914890.1250.3540.2180.076短系列2024/3/12115用AIC（p）定階進(jìn)一步從理論上證明P=2是最佳的。實(shí)用性檢驗(yàn)：短序列檢驗(yàn)即生成K個(gè)43年資料，然后計(jì)算各個(gè)43年序列的。對(duì)K個(gè)43年系列求所列參數(shù), 的平均值與均方差。以正負(fù)一個(gè)均方差為檢驗(yàn)可接受區(qū)間。P0123AIC451.7445.3446448.2BIC2024/3/12116第三節(jié)分?jǐn)?shù)高斯噪聲模型 用ARMA（p，q）僅能模擬短持續(xù)水文過(guò)程，當(dāng)水文隨機(jī)過(guò)程表現(xiàn)出長(zhǎng)持續(xù)性（連續(xù)豐水年組或枯水年組交替出現(xiàn)）在相關(guān)系數(shù)圖緩慢衰減時(shí)，此時(shí)應(yīng)使用分?jǐn)?shù)高斯噪聲模型。 （類似滑動(dòng)平均）獨(dú)立的正態(tài)分布。M—記憶長(zhǎng)度，取值較大。2024/3/12117Hurst系數(shù)K計(jì)算若有一個(gè)系列2024/3/12118 即把每年與平均值之差累加起來(lái)，相當(dāng)于水庫(kù)按平均流量泄水，水庫(kù)累計(jì)水量。相當(dāng)于調(diào)節(jié)庫(kù)容（極差）

Hurst建議：Vn為Xt的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于ARMA模型，n無(wú)窮大時(shí),K=0.52024/3/12119 利用以上k計(jì)算公式，對(duì)800個(gè)系列（河川徑流，降水量，氣溫，樹(shù)木年輪等）計(jì)算k的數(shù)值。 發(fā)現(xiàn) 但對(duì)于ARMA(p、q)，當(dāng) 這與Hurst計(jì)算實(shí)際系列不一致，出現(xiàn)矛盾，這種現(xiàn)象叫赫斯特現(xiàn)象。（原因：樣本序列不夠長(zhǎng)或非平穩(wěn)式序列或具有很長(zhǎng)相關(guān)結(jié)構(gòu)）。2024/3/12120

實(shí)際工作中，當(dāng)n逐漸加大，k較快趨于0.5，可認(rèn)為水文序列為短相關(guān)結(jié)構(gòu)模型，可用ARMA（p，q）模擬；而當(dāng)n逐漸加大，k較慢趨于0.5或不趨于0.5，則可把水文序列當(dāng)作長(zhǎng)持續(xù)模型。 由于該模型缺乏物理基礎(chǔ)，因此實(shí)際上未得到普遍應(yīng)用。2024/3/12121第四節(jié)季節(jié)性隨機(jī)模型一、季節(jié)性AR（1）模型是一種比較實(shí)用模型，除了模擬洪水進(jìn)程外，還可以用于模擬月徑流過(guò)程。1、模型形式，第年份，

t為截口， 當(dāng)表示月徑流序列時(shí)，形式：

2024/3/12122—第t個(gè)截口水文序列均值—均值0，方差1，的P—Ⅲ分布隨機(jī)數(shù)（獨(dú)立）—為待定系數(shù)，不隨而變，但隨t而變。∴稱為季節(jié)性模型，因?yàn)槟Ｐ蛥?shù)在年內(nèi)不同月份間是變化的，隨t而變。2024/3/121232、參數(shù)估計(jì)

為第t個(gè)截口的均方差，為第t-1個(gè)截口的均方差，為第t-1與第t個(gè)截口的相關(guān)系數(shù)，Cst為第t個(gè)截口偏態(tài)系數(shù)。2024/3/121243、水文序列的模擬逐年進(jìn)行模擬。每年生成步驟：先第一截口即x1,1生成，可用純隨機(jī)模型生成。如已知，則按P-Ⅲ生成方法生成。第二截口生成：

其余截口類似于第2截口，直至最后一個(gè)截口這是生成第一年，對(duì)于第2年生成從頭開(kāi)始生成第一截口仍采用純隨機(jī)模型生成。一直到第k年。

2024/3/121254、實(shí)例（含如何檢驗(yàn)）對(duì)長(zhǎng)江支流烏江武隆站1954-1983年共30年洪水過(guò)程建立了季節(jié)性AR（1）模型，每年取最大20d平均流量作為其洪水過(guò)程（用日平均流量過(guò)程代表洪水過(guò)程，該流域平均）屬大江大河。檢驗(yàn)時(shí)，殘差檢驗(yàn)：獨(dú)立性；截口特性檢驗(yàn)：截口均值、Cv、Cs、最大值、最小值及一階自相關(guān)系數(shù)，還有時(shí)段量特性檢驗(yàn)，全部屬于實(shí)用性檢驗(yàn)。生成500個(gè)30年資料，對(duì)每個(gè)截口先計(jì)算檢驗(yàn)參數(shù)數(shù)，再統(tǒng)計(jì)500組各檢驗(yàn)參數(shù)的樣本平均值與均方差2024/3/12126

經(jīng)過(guò)計(jì)算絕大部分能通過(guò)一個(gè)方差檢驗(yàn)（這個(gè)應(yīng)該說(shuō)較容易通過(guò)，因?yàn)榻r(shí)中考慮了這些截口特性參數(shù)）

實(shí)際上水文上更關(guān)心的是時(shí)段量，如最大洪量的平均值，的檢驗(yàn)

2024/3/12127時(shí)段量長(zhǎng)度19.989.800.835實(shí)測(cè)模擬0.3360.4250.067實(shí)測(cè)模擬9.989.800.835實(shí)測(cè)模擬750.8051.164.1530.3670.4120.0600.8820.7200.525326.5725.932.1780.3510.4270.06407020.9120.593從該表時(shí)段量檢驗(yàn)結(jié)果中可以看出，大部分能通過(guò)一個(gè)均方差檢驗(yàn)，但還是有偏差。事實(shí)上對(duì)于模擬洪水過(guò)程，還應(yīng)打印出其過(guò)程線，看是否符合水文實(shí)際情況（憑肉眼看看，特別是看特大洪水過(guò)程）。

2024/3/12128是否相關(guān)獨(dú)立除了不同截口間的獨(dú)立性，還要看各截口的自相關(guān)如何，如

該模型參數(shù)較多，在樣本長(zhǎng)度n較小時(shí)，可能導(dǎo)致模型不穩(wěn)定，誤差大。如果考慮平穩(wěn)模型則參數(shù)大大減少（作標(biāo)準(zhǔn)化變換后序列相關(guān)結(jié)構(gòu)是平穩(wěn)的）。季節(jié)性AR（1），還可應(yīng)用于模擬月徑流過(guò)程，缺點(diǎn)未直接考慮更高階自相關(guān)，如等自相關(guān)關(guān)系，參數(shù)較多。

殘差特性的獨(dú)立性檢驗(yàn)2024/3/12129二、解集模型（相關(guān)解集Disaggregationmodel） 形式：由ValenciaSchaake提出

2024/3/12130殘差為：P-Ⅲ分布，均值0，方差1，（獨(dú)立同分布）（X,Y都是離均系列）該模型把總量X分解成各個(gè)分量A反映不同分量所占比重，B表示不同分量之間相關(guān)程度。2024/3/12131當(dāng)X表示年徑流量，年徑流等于不同月份月徑流量之和。表示月徑流量，當(dāng)模擬洪水過(guò)程時(shí)，X表示每年洪水過(guò)程總量（如長(zhǎng)江洪水模擬時(shí)，X表示180天洪水總量，而y表示每天流量值，顯然）2024/3/12132參數(shù)估計(jì)，用矩法：已知資料設(shè)2024/3/12133寫(xiě)出通式：對(duì)對(duì)2024/3/12134偏態(tài)分布的考慮：2024/3/12135為了求殘差偏態(tài)系數(shù)，此時(shí)應(yīng)把分解成（水文序列非負(fù)定矩陣一般解滿足）

隨機(jī)模擬時(shí)，先生成X（可以用純隨機(jī)模型或AR（p）模擬）通過(guò)生成重復(fù)上述步驟可生成所需水文過(guò)程2024/3/12136優(yōu)點(diǎn)：①結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，概念清楚；②總量分成分量后，各分量之間之和嚴(yán)格等于總量，即保持水量平衡；③應(yīng)用較廣。不足：①模型參數(shù)太多；②相關(guān)結(jié)構(gòu)不一致。

實(shí)例對(duì)宜昌站180天洪水過(guò)程采用解集模型模擬效果較為理想（約100年資料），殘差為

P-Ⅲ分布。

2024/3/12137第五節(jié)多變量模型實(shí)際上常會(huì)碰到模擬幾個(gè)站點(diǎn)水文序列的情況，由于上下游之間存在相關(guān)關(guān)系，因此不能分別模擬，而應(yīng)同時(shí)模擬。2024/3/12138多變量AR（1）與AR（2）模型：2024/3/12139不僅與有關(guān)，還與其他站時(shí)刻值有關(guān)。到底是什么分布？一般是正態(tài)分布。另一種對(duì)數(shù)正態(tài)變換后作變換生成，至于如何進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可自行查閱有關(guān)文獻(xiàn)。2024/3/12140二階模型：為正態(tài)分布。

先生成第一截口分布隨機(jī)數(shù)，在通過(guò)建立第二截口與第一截口關(guān)系的生成公式：2024/3/12141長(zhǎng)江三峽多站洪水模擬AR（3）及一種特殊變換:2024/3/12142第四章水文隨機(jī)序列的預(yù)報(bào)概述平穩(wěn)線性最少方差預(yù)報(bào)AR（p）序列預(yù)報(bào)門(mén)限自回歸模型2024/3/12143第一節(jié)概述模機(jī)水文模型應(yīng)用：最簡(jiǎn)單一個(gè)例子：對(duì)中心化（離均差后）系列建立了一階自回歸模型：（1）

—水文序列已知1984年2024/3/12144對(duì)（1）式取數(shù)學(xué)期望得：（預(yù)報(bào)公式）其實(shí)，這是一個(gè)期望預(yù)報(bào)，把隨機(jī)變量取為0值（平均值）因此一步預(yù)報(bào)誤差：已知水文序列作預(yù)報(bào)。①建立水文隨機(jī)模型（假如無(wú)趨勢(shì)及周期）②給出預(yù)報(bào)公式和預(yù)報(bào)方法。③利用現(xiàn)在及過(guò)去觀測(cè)值作預(yù)測(cè)，必要時(shí)作實(shí)時(shí)修正。④區(qū)間預(yù)報(bào)，誤差分析，對(duì)模型作評(píng)定及檢驗(yàn)。2024/3/12145第二節(jié):平穩(wěn)線性最小方差預(yù)報(bào)對(duì)正態(tài)平穩(wěn)系列作l步預(yù)報(bào)問(wèn)題：當(dāng)前時(shí)刻k和過(guò)去時(shí)刻為已知，需對(duì)時(shí)刻隨機(jī)變量是，可記為。所謂平穩(wěn)線性最少方差預(yù)報(bào)定義為：∴∴水文變量2024/3/12146一、ARMA（p、q）序列差分形式公式：離均化ARMA（p、q）兩端取數(shù)學(xué)期望（條件,l>p,q)）當(dāng)MA(0,q)模型時(shí)，如當(dāng)為AR（p）模型時(shí)，將在后面作介紹。2024/3/12147二、ARMA（p、q）序列傳遞形式預(yù)報(bào)公式：把上式(2)式中t用代替2024/3/12148上式兩邊取條件數(shù)學(xué)期望該公式2024/3/12149三、ARMR（p、q）遞推預(yù)報(bào)公式（可用于實(shí)時(shí)修正）對(duì)（2）式作一些變換，把k改為k+12024/3/12150事實(shí)上以上公式含義：要做k+1時(shí)刻l步預(yù)報(bào)等于在k時(shí)刻作l+1步預(yù)報(bào)值+（k+1時(shí)刻實(shí)測(cè)值與在k時(shí)刻對(duì)k+1時(shí)刻預(yù)測(cè)值之差）*權(quán)重系數(shù)。相當(dāng)于對(duì)時(shí)刻作預(yù)測(cè)時(shí)，用誤差來(lái)校正預(yù)測(cè)值，把這個(gè)稱為實(shí)時(shí)校正（現(xiàn)時(shí)校正）。預(yù)測(cè)如顯然在時(shí)刻預(yù)測(cè)比用預(yù)測(cè)效果要好，用了誤差校正。2024/3/12151預(yù)報(bào)誤差（評(píng)定與檢驗(yàn)）[合格率（允許相對(duì)誤差范圍內(nèi),如20%）合格率>85%，甲等；70%-84%，乙等；60%-69%，丙等]（枯季徑流允許誤差30%，每日徑流20%）2024/3/12152如區(qū)間估計(jì)。2024/3/12153第三節(jié)AR（p）序列預(yù)報(bào)（一般ARMA(p,q)模型有此結(jié)果）一步預(yù)報(bào)公式先估計(jì)模型參數(shù)2024/3/12154再作一步預(yù)報(bào)，又由預(yù)報(bào)如此遞推可以作l步預(yù)測(cè)，當(dāng)然還可以作實(shí)時(shí)校正預(yù)報(bào)。實(shí)例：某站中心化模型已建立（正態(tài)分布假定）求預(yù)測(cè)1983-1985平均流量。2024/3/12155①以1982年為k時(shí)刻進(jìn)行預(yù)報(bào)區(qū)間預(yù)報(bào)2024/3/12156實(shí)時(shí)校正：以1983年為k+1進(jìn)行實(shí)時(shí)校正預(yù)報(bào)2024/3/12157第四節(jié):門(mén)限自回歸模型(1978年提出H.Tong）（ThresholdAutoregressiveModel）

觀察：①②

這樣生成不是線性模型生成隨機(jī)過(guò)程，若生成數(shù)據(jù)100年，用線性模型擬合效果較差即殘差相關(guān)比較大，不一定獨(dú)立，正態(tài)。2024/3/12158模型形式（一般）一般l取2～3，不宜取太多了，否則太復(fù)雜。這個(gè)模型實(shí)際說(shuō)明了隨機(jī)序列是分段線性的，即每個(gè)區(qū)間內(nèi)可用自回歸模型來(lái)描述，但這些模型序數(shù)在不同區(qū)間是不一樣的。2024/3/12159建模：已知當(dāng)用傳統(tǒng)線性模型建模時(shí)發(fā)現(xiàn)，獨(dú)立性差，或預(yù)測(cè)精度較差，則可以考慮用門(mén)限自回歸模型來(lái)建模，（當(dāng)然還應(yīng)考慮是否在成因上做分段線性合理性）據(jù)以上模型采用以上已知數(shù)據(jù)，來(lái)辯認(rèn)模型參數(shù)步驟如下：1：令。分成段，如確定各段自回歸階數(shù)，L為逐段自回歸允許最大階數(shù)，這里都認(rèn)為各段有相同L值。2024/3/12160把實(shí)數(shù)軸分成l個(gè)區(qū)間一般是預(yù)報(bào)值取為這樣可以把取值區(qū)間分l成個(gè)。對(duì)于已知觀察分析動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)中在不同區(qū)間個(gè)數(shù)（以排在開(kāi)始統(tǒng)計(jì)），如L=3，d=1，從開(kāi)始統(tǒng)計(jì)在不同區(qū)間個(gè)數(shù)。2024/3/12161記第一個(gè)區(qū)間N1個(gè)第二個(gè)區(qū)間N2個(gè)第l個(gè)區(qū)間Nl個(gè)設(shè)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)中有：對(duì)于第一段線性自回歸模型具體形式已知：2024/3/12162用最小二乘法可求出可以想象，給定以上一組系數(shù)則可求出一組殘差及其殘差平方和，即可得第一段自回歸模型，其他段求法一致。顯然不同2024/3/121632、對(duì)于固定RSS(k1)為第1個(gè)模型殘差平方和（最小二乘法估計(jì)參數(shù)）顯然k1愈大，則殘差愈小，但AIC考慮懲罰因子則第二項(xiàng)大，故找到。其他段的自回歸模型階數(shù)一樣估計(jì)。2024/3/121643、固定

達(dá)到最少的即為門(mén)限值4、估計(jì)值A(chǔ)IC（）一般5、2024/3/12165不同那么d初值取多少？若效果不好，可先進(jìn)行常用2024/3/12166第五章方差分析單因素方差分析多因素方差分析（雙因素方差分析）2024/3/12167單因素方差分析（引例）某農(nóng)科所為了比較四種不同的肥料對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，進(jìn)行了下面試驗(yàn)。他們選擇采用一塊肥沃程度比較均勻的土地，分成十六塊。為了減少土地肥沃程度的影響，作了以上試驗(yàn)安排：A1表示第一種肥料A3表示第三種肥料A2表示第二種肥料A4表示第四種肥料2024/3/12168每種肥均施在由上到下不同層次的土地中，并可得出16塊土地農(nóng)作物產(chǎn)量通過(guò)上表，來(lái)推斷不同肥料對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量有無(wú)影響？如果影響顯著，施哪一種肥料產(chǎn)量最高，而哪一種肥料最好？2024/3/12169在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，考慮因素稱為因子，因子不同狀態(tài)稱為水平，上例中一個(gè)因子是肥料，有四個(gè)不同水平，A1，A2，A3，A4

。由表又可知，肥料不同可能產(chǎn)生產(chǎn)量不同。因此，采用不同肥料所得產(chǎn)量不可以當(dāng)作來(lái)自同一總體的樣本，而應(yīng)看作4個(gè)不同總體.抽取的樣本長(zhǎng)度為4的樣本。通常假定這里要求假定方差相等，即方差齊性，那么要知道四種不同肥料對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量的影響有關(guān)顯著差別可歸結(jié)為作檢驗(yàn)：2024/3/1217012r總體參數(shù)結(jié)果因子一、數(shù)學(xué)模型①將作分解②求2024/3/12171其中反映了水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，稱作水平的主效應(yīng)，總結(jié)方差分析模型如下：2024/3/12172二、與估計(jì)三、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)誤差平方和組內(nèi)差不