北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題1.3 含30 角的直角三角形性質(zhì)專項訓(xùn)練（30道）（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.3含30°角的直角三角形性質(zhì)專項訓(xùn)練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，選擇題10道，填空題10道，解答題10道，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，綜合性較強(qiáng)！1．(2023秋?婁星區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠A＝30°，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD2．(2023春?丹東期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝4，則BC的長為（）A．8 B．10 C．11 D．123．如圖，∠AOB＝60°，點P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，則OP的長是（）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm4．(2023春?濮陽期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于點D，AD＝4，則BC的長為（）A．8 B．4 C．12 D．65．(2023春?新城區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝10，點D是BC邊上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則BE+CF的長是（）A．5 B．6 C．8 D．106．(2023春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD＝2，則AD等于（）A．10 B．8 C．6 D．47．(2023秋?朝陽縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．68．(2023秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△DCE都是等邊三角形，B，C，E三點在同一條直線上，若AB＝3，∠BAD＝150°，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．69．(2023?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．1010．(2023春?織金縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC﹣BE＝AE；②點E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二．填空題（共10小題）11．(2023秋?撫順縣期末）右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，則DE長為．12．(2023秋?沂水縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，點D，E分別是邊BC，AC上的點，且BD＝2CD，DE∥AB，則DE的長是．13．(2023春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，若BF＝2，則CF的長為．14．(2023春?墾利區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，則△ABC的周長為cm．15．(2023春?九江期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，F(xiàn)為AC上一點，F(xiàn)D垂直平分AB，交AB于點D，線段DF上點E滿足EF＝2DE＝2，連接CE、EB，若BE＝EC，則CF的長為．16．(2023春?沂源縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為．17．(2023春?濟(jì)寧期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D為AB的中點，DE⊥AC于點E，EF∥AB，AD＝6，則△EFC的周長為．18．(2023秋?西城區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E．若AD＝12，則DE＝；△EDC與△ABC的面積關(guān)系是：S△EDCS19．(2023秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，則BC的長為．20．(2023秋?梁園區(qū)期末）如圖，∠ABC＝60°，AB＝3，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)△ABP是鈍角三角形時，t滿足的條件是．三．解答題（共10小題）21．(2023春?渠縣校級期末）如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC邊的中點，DE⊥AC．求證：CE＝3AE．22．(2023秋?無棣縣期末）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE交BC的延長線于點F．若CD＝3cm，求DF的長．23．(2023秋?豐臺區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC于點D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求證：AE＝CD．24．(2023秋?溫嶺市期中）一艘輪船自西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75°，航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60°，若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東航行，有無觸礁的危險？并說明原因．25．(2023春?揭西縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D，E．（1）求證：AE＝2CE；（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．26．(2023秋?西華縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，CD的垂直平分線MF交AC于F，交BC于M，MF的長為2．（1）求∠ADE的度數(shù)；（2）△ADF是正三角形嗎？為什么？（3）求AB的長．27．(2023秋?官渡區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．28．(2023春?昌圖縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？29．(2023秋?禹州市期中）如圖，△ABC是等邊三角形，P是△ABC的角平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．（1）若BQ＝2，求PE的長（2）連接PF，EF，試判斷△EFP的形狀，并說明理由．30．(2023?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分線BE交AC于點E．點D為AB上一點，且AD＝AC，CD，BE交于點M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點H，證明：AB＝4MH．專題1.3含30°角的直角三角形性質(zhì)專項訓(xùn)練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，選擇題10道，填空題10道，解答題10道，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，綜合性較強(qiáng)！一．選擇題（共10小題）1．(2023秋?婁星區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠A＝30°，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD【解題思路】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BC＝2BD，在直角△ACD中AC＝2CD．【解答過程】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CD是AB邊上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD，AC＝2CD．故選：D．2．(2023春?丹東期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝4，則BC的長為（）A．8 B．10 C．11 D．12【解題思路】依據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依據(jù)AD⊥AB交BC于點D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，進(jìn)而得出BC的長．【解答過程】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵AD⊥AB交BC于點D，∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝8+4＝12．故選：D．3．如圖，∠AOB＝60°，點P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，則OP的長是（）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm【解題思路】過點P作PE⊥OB于點E，根據(jù)△PCD為等腰三角形，則E為CD的中點，再由△POE為直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．【解答過程】解：如圖，過點P作PE⊥OB于點E，則PE⊥CD，∵PC＝PD，∴△PCD為等腰三角形，∴點E為CD的中點，∵OC＝5cm，OD＝8cm，∴CD＝3cm，∴OE＝6.5cm，∵∠AOB＝60°，∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，∴OP＝2OE＝13cm，故選：A．4．(2023春?濮陽期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于點D，AD＝4，則BC的長為（）A．8 B．4 C．12 D．6【解題思路】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即BD＝AD＝4．Rt△ACD中，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得CD＝2AD＝8，由此可求得BC的長．【解答過程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AD＝4，∴CD＝2AD＝2×4＝8，∵∠C+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ADC＝∠DAB+∠B，∴∠DAB＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，故選：C．5．(2023春?新城區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝10，點D是BC邊上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則BE+CF的長是（）A．5 B．6 C．8 D．10【解題思路】先設(shè)BD＝x，則CD＝10﹣x，根據(jù)△ABC是等邊三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CF和CF，再相加即可．【解答過程】解：設(shè)BD＝x，則CD＝10﹣x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE=12同理可得，CF=10?x∴BE+CF=x故選：A．6．(2023春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD＝2，則AD等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【解題思路】先由直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，由AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，垂足為E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根據(jù)CD＝2可得出BD的長，進(jìn)而得出AD的長．【解答過程】解：連接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故選：D．7．(2023秋?朝陽縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【解題思路】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，從而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，從而可推出AD＝DF，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)即可求得AD的長，即得到了DF的長．【解答過程】解：∵△ABC是等腰三角形，D為底邊的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故選：C．8．(2023秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△DCE都是等邊三角形，B，C，E三點在同一條直線上，若AB＝3，∠BAD＝150°，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根據(jù)很30度角的直角三角形性質(zhì)得出DC＝2AC，求出即可．【解答過程】解：∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故選：D．9．(2023?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【解答過程】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵點E為AD的中點，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故選：D．10．(2023春?織金縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC﹣BE＝AE；②點E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答過程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE=12∠∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正確；∵EB＝EC，∴點E在線段BC的垂直平分線上，②正確；∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，∴AEB＝60°，∵AD⊥BE，∴∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠C，③正確；∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴BC＝2AB，同法AB＝2AD,∴BC＝4AD,④錯誤，故選：B．二．填空題（共10小題）11．(2023秋?撫順縣期末）右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，則DE長為1.85m．【解題思路】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答過程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC=12∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵點D是斜梁AB的中點，∴DE=12BC＝1.85故答案為：1.85m．12．(2023秋?沂水縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，點D，E分別是邊BC，AC上的點，且BD＝2CD，DE∥AB，則DE的長是2．【解題思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=12AB＝3，由BD＝2CD可得CD＝1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DEC＝∠A＝30°，即可得DE＝2【解答過程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=12∵BD＝2CD，∴CD＝1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴DE＝2CD＝2．故答案為：2．13．(2023春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，若BF＝2，則CF的長為4．【解題思路】連接AF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠B＝∠C＝30°，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解CF的長．【解答過程】解：連接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF＝2BF，∵BF＝2，∴CF＝4．故答案為4．14．(2023春?墾利區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，則△ABC的周長為12cm．【解題思路】利用平行線的性質(zhì)和CD⊥AD，先得到∠DCB的度數(shù)，再求出∠ACD的度數(shù)，再直角三角形中，利用30°角所對的邊與斜邊的關(guān)系求出AC，最后求出等邊三角形的周長．【解答過程】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L△ABC＝AB+AC+BC＝12（cm）．故答案為：12．15．(2023春?九江期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，F(xiàn)為AC上一點，F(xiàn)D垂直平分AB，交AB于點D，線段DF上點E滿足EF＝2DE＝2，連接CE、EB，若BE＝EC，則CF的長為4．【解題思路】連接AE，過點E作EG⊥AC交AC于點G，根據(jù)已知條件，可得等腰三角形AEC，利用等腰三角形的三線合一解題即可．【解答過程】解：如圖，連接AE，過點E作EG⊥AC交AC于點G．在△ABC中，∠CAB＝30°，F(xiàn)D垂直平分AB，EF＝2DE＝2，∴FD＝3DE＝3，AF＝2FD＝6，AE＝BE，∵BE＝EC，∴AE＝EC，∴GF=12EF＝1，AG＝∴CF＝GC﹣GF＝5﹣1＝4．故答案為：4．16．(2023春?沂源縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為16．【解題思路】過B點作BD⊥AC，交CA的延長線于點D，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求得∠BAD的度數(shù)，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解BD的長，利用三角形的面積公式可求解△ABC的面積．【解答過程】解：過B點作BD⊥AC，交CA的延長線于點D，，∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠C＝∠ABC＝15°，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC＝8，∴BD=12∴△ABC的面積為：12故答案為16．17．(2023春?濟(jì)寧期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D為AB的中點，DE⊥AC于點E，EF∥AB，AD＝6，則△EFC的周長為27．【解題思路】利用含30度角的直角三角形求出AE的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定求出△EFC各邊長，周長即可求．【解答過程】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC．∵點D為AB的中點，AD＝6，∴AB＝2AD＝12．∵DE⊥AC于點E，AD＝6，∴∠ADE＝30°，∴AE=12∴CE＝AC﹣AE＝9．∵EF∥AB，∴∠FEC＝∠A＝60°，∵∠C＝60°，∴△EFC是等邊三角形．∴△EFC的周長＝9+9+9＝27．故答案為27．18．(2023秋?西城區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E．若AD＝12，則DE＝6；△EDC與△ABC的面積關(guān)系是：S△EDCS△ABC=【解題思路】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠BAC＝60°，由直角三角形的性質(zhì)得出DE＝6，由直角三角形的性質(zhì)得出BC＝4EC，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．【解答過程】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC=12∠∵AD＝12，∴DE=12∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC=12∴BC＝4EC，∵S△EDC=12ED?EC=12×6×EC＝3EC，S△ABC=1∴S△EDC故答案為：6，1819．(2023秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，則BC的長為6．【解題思路】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AMN＝30°，根據(jù)角平分線的定義求出∠NMC＝∠ACM＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出即可≤【解答過程】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵M(jìn)N平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝60°∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM=12∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案為：6．20．(2023秋?梁園區(qū)期末）如圖，∠ABC＝60°，AB＝3，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)△ABP是鈍角三角形時，t滿足的條件是0＜t＜32或t【解題思路】過A作AP⊥BC和過A作P'A⊥AB兩種情況，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答．【解答過程】解：①過A作AP⊥BC時，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP=3∴當(dāng)0＜t＜32時，△②過A作P'A⊥AB時，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∴當(dāng)t＞6時，△ABP'是鈍角三角形，故答案為：0＜t＜32或三．解答題（共10小題）21．(2023春?渠縣校級期末）如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC邊的中點，DE⊥AC．求證：CE＝3AE．【解題思路】連接AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半進(jìn)行求解即可．【解答過程】證明：如圖，連接AD，∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠C=1∵DE⊥AC，∴∠ADE＝∠C＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．22．(2023秋?無棣縣期末）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE交BC的延長線于點F．若CD＝3cm，求DF的長．【解題思路】由等邊三角形性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證得∠EDC＝60°，再根據(jù)利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解．【解答過程】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴DE＝CD＝3（cm），∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，∴DF＝2DE＝6（cm）．23．(2023秋?豐臺區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC于點D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求證：AE＝CD．【解題思路】由等邊三角形的性質(zhì)得出CD＝AD=12AB，由平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠ABC＝60°，則∠ABE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AE【解答過程】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD=1∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AE=12∴AE＝CD．24．(2023秋?溫嶺市期中）一艘輪船自西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75°，航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60°，若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東航行，有無觸礁的危險？并說明原因．【解題思路】作PD⊥AB，利用直角三角形性質(zhì)求出PD長，和3.8海里比較即可看出船不改變航向是否會觸礁．【解答過程】解：有觸礁危險．理由如下：作PD⊥AB于D，∵A處測得小島P在北偏東75°方向，∴∠PAB＝15°，∵在B處測得小島P在北偏東60°方向，∴∠APB＝15°，∴AB＝PB＝7海里，∵∠PBD＝30°，∴PD=12∴該船繼續(xù)向東航行，有觸礁的危險．25．(2023春?揭西縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D，E．（1）求證：AE＝2CE；（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．【解題思路】（1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得BE＝2CE，則可證得結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可證明△BCD為等邊三角形．【解答過程】（1）證明：連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等邊三角形，理由如下：連接CD．∵DE垂直平分AB，∴D為AB中點，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等邊三角形．26．(2023秋?西華縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，CD的垂直平分線MF交AC于F，交BC于M，MF的長為2．（1）求∠ADE的度數(shù)；（2）△ADF是正三角形嗎？為什么？（3）求AB的長．【解題思路】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；（2）求出DF＝CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可；（3）求出CF和DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AF，求出AC，即可求出AB．【解答過程】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12×∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED=12×∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；（2）△ADF是正三角形，理由是：∵CD的垂直平分線MF交AC于F，交BC于M，∴DF＝CF，∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，∴∠ADF＝60°，即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，∴△ADF是正三角形；（3）∵CD的垂直平分線MF，∴∠FMC＝90°，∵∠C＝30°，MF＝2，∴FC＝2MF＝4，∵DF＝FC，∴DF＝4，∵△ADF是等邊三角形，∴AF＝DF＝4，∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，∵AB＝AC，∴AB＝8．27．(2023秋?官渡區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．【解題思路】先延長AD、BC交于E，根據(jù)已知證出△EDC是等邊三角形，設(shè)CD＝CE＝DE＝x，根據(jù)AD＝4，BC＝1和30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出x的值即可．【解答過程】解：延長AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形，設(shè)CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴2（1+x）＝x+4，解得；x＝2，∴CD＝2．28．(2023春?昌圖縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？【解題思路】用含t的代數(shù)式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，當(dāng)BP＝BQ時，可得到關(guān)