2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題03 阿氏圓（知識(shí)解讀）

專題03阿氏圓（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題；本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法?！痉椒记伞堪⑹蠄A問(wèn)題問(wèn)題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問(wèn)題關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型【典例分析】【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問(wèn)題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過(guò)程（部分）：解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點(diǎn)P是⊙B上一點(diǎn)，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為．【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為．【變式2-1】如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD＝5，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．【變式2-2】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，連接CD，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，連接BF．（1）如圖①，當(dāng)θ＝60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）如圖②，連接AF，求BF+AF的最小值．專題03阿氏圓（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題；本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法?！痉椒记伞堪⑹蠄A問(wèn)題問(wèn)題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問(wèn)題關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型【典例分析】【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問(wèn)題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過(guò)程（部分）：解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，當(dāng)PC+kPD取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C，P，M三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一點(diǎn)M，使得CM＝CD＝，∴的最小值為．【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點(diǎn)P是⊙B上一點(diǎn)，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為．【答案】【解答】解：連接BP，在BC上截取BQ＝1，連接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)依次在同一直線上時(shí)，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案為：．【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為．【答案】2．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE＝OA，連接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【變式2-1】如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD＝5，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE＝OB，連接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分別是OA的中點(diǎn)，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值為13，∴PC+PD的值最小值為．故答案為：．【變式2-2】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，連接CD，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，連接BF．（1）如圖①，當(dāng)θ＝60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）如圖②，連接AF，求BF+AF的最小值．【解答】解：（1）∵將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，如圖，∴∠BAD＝θ，AB＝AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵θ＝60°，∴∠DAC＝120°∴∠ADC＝∠ACD＝30°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，∴∠EDA＝∠EAD，∠CAE＝90°，∴DE＝AE＝，∵AB＝AC＝6，∴DE＝AE＝AC?tan30°＝2，∴CE＝4，∴CD＝CE+DE＝6，∵DF＝2CF，∴CF＝CD＝2，∴EF＝CE﹣CF＝2；（2）如圖，過(guò)F作FH