2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 函數(shù)y=Asin(ω+φ)的圖象二 學(xué)案

函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象(二)

＜學(xué)習(xí)目標(biāo)抬頭望星光

1.理解參數(shù)A0M的意義，并會(huì)利用函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式.(數(shù)學(xué)抽象)

2.會(huì)利用正弦型函數(shù)解決實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

教材認(rèn)知?內(nèi)化必備知識(shí),穩(wěn)中求逝，沐日中之光

【情境導(dǎo)學(xué)】

摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往

上升，可以俯瞰四周景色，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面的高度為110m,最低點(diǎn)距離地

面10m,已知摩天輪共有40個(gè)座艙，開動(dòng)后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一

周的時(shí)間大約為20min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)完一周后

下艙.

當(dāng)游客距離地面高度不低于85m時(shí),可以看到游樂園全貌，問在游客乘坐摩

天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中,有多少分鐘可以看到游樂園全貌?當(dāng)甲、乙兩人先后坐上

相鄰的座艙，何時(shí)二人距離地面的高度相等？

y=4sin(cox+0沖，常數(shù)4刈,①的實(shí)際意義

(1)振幅囿：小球能偏離子衡位置的最大距離.

(2)初相在決定x=0時(shí)小球的位置(即Asin。)中起關(guān)鍵作用.

(3)周期7=白:小球完成一次運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間.

(4)頻率后:單位時(shí)間內(nèi)能夠完成的運(yùn)出逑.

【自我小測】

1.辨析(正確的打“小,錯(cuò)誤的打入”)

⑴將函數(shù)產(chǎn)3sin2%的圖象向左平移一個(gè)單位長度后所得圖象的解析式是

y=3sin(2%+：).(x)

提示:將函數(shù)產(chǎn)3sin2%的圖象向左平移:個(gè)單位長度后所得圖象的解析式是

y=3cos2x

⑵利用圖象變換作圖時(shí)先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”中平移的長度一致.

(x)

提示:“先平移,后伸縮”的平移單位長度為血而“先伸縮,后平移”的平移單位長度

為內(nèi).故當(dāng)時(shí)平移的長度不相等.

3

⑶由圖象求解析式時(shí)，振幅A的大小是由一個(gè)周期內(nèi)圖象中最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)

的值確定的.N)

提示:|川=上迪盧為嗎

2.(教材改編題)已知函數(shù)危)=Asin(cox+0)(其中4＞0,口＞0,|/|＜九)的部分圖象如圖所

示，則函數(shù)兀0的解析式為(

A./(%)=2sin(%+工)

B./(x)=2sin(2x+^)

C.危)=2sin(%T)

D.火%)=2sin(2%-|^)

【解析】選B.由題圖知:A=2且￡三*三,則7=冗，

所以空=兀，貝U口=2,即危)=2sin(2%+0),

3

又sinf+0)=],可彳導(dǎo)2+/=2+2而,左ez,貝U(p『+2kji,kRZ,

6623

又磔＜71,即又0時(shí)有片H

綜上於)=2sin(2%+]).

=1合作探究?形成關(guān)鍵能力在知識(shí)的是點(diǎn)開疆柘土

類型一三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)

[例1](2023德州高一檢測)某用電器電流/(mA)隨時(shí)間心)變化的關(guān)系式為

/?)=人皿口”)(4〉0?！?,|0|＜堂,如圖是其部分圖象

⑴求/Q)=Asin(ft＞”)的解析式;

(2)若該用電器核心部件有效工作的電流|/|必須大于150mA,則在一個(gè)周期內(nèi)，該

用電器核心部件的有效工作時(shí)間是多少?(電流的正負(fù)表示電流的正反方向).

【解析】⑴因?yàn)橹芷赥=2x［擊-（-肅）］=以,

所以刃=午=150兀，

又A=300,所以/。）=300$山（150兀什9）,

將點(diǎn)（-焉，。）代入上式，得sin"-》=0,

又陽所以此=0,冶,

266

所以/(0=300sin(l50K/+-);

6

(2)當(dāng)舊［0百時(shí)，此時(shí)150兀聯(lián)可屈汽

/□ooo

令|/Q)|=|3OOsin(15O兀什2)|〉150,

6

貝Usin(15O7U+￡)〉?或sin(150jir+^)<-|,

所以*150我<*或?<150互總旦

666666

解得或-<%<工，

22515090

1cli11

由二-------二------

225-----225'90150225’

得在一個(gè)周期內(nèi)，該用電器核心部件的有效工作時(shí)間是點(diǎn)+義

乙乙D乙乙。乙乙D

【總結(jié)升華】

處理物理學(xué)問題的策略

⑴正弦型函數(shù)常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特

點(diǎn)是具有周期性.

⑵明確物理概念的意義,此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其

意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題.

【即學(xué)即練】

已知彈簧上掛著的小球上下振動(dòng)時(shí)，小球離開平衡位置的位移s（cm）隨時(shí)間心）

的變化規(guī)律為s=4sin（2t+§飛［0,+8）.用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡圖,并回答

下列問題.

（1）小球在開始振動(dòng)（仁0）時(shí)的位移是多少？

（2）小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少?

（3）經(jīng)過多長時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？

【解析】列表如下：

.7T-77r57r

f-612317^

2W7137c

071：——271

22

sin（2t+1）

010-10

S040-40

2V3cm.

（2）小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和-4cm.

⑶因?yàn)檎駝?dòng)的周期是冗,所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是71s.

類型二已知圖象求正弦型函數(shù)解析式（直觀想象）

［例2］（2023?煙臺(tái)高一檢測涵數(shù)危）=Asin（s+0）（4〉（）M>O,O<0<7i）的部分圖象如圖

所示.

⑴求函數(shù)危）的解析式；

⑵若將危）的圖象向右平移三個(gè)單位長度得到函數(shù)g（%）的圖象，求g（%）的單調(diào)遞減

區(qū)間.

【解析】⑴由題圖可知AN且蕓（今有所以T=n,

ZDOZ

因?yàn)槎?空所以⑴=2,

所以#%）=2sin（2%+0）,

又因?yàn)榛鸬ぃ?0,

O

所以2sin（q+9）=0,即《+0=2祈4GZ,

因?yàn)?<0<九,所以0=去

所以府）=2sin（2%+》

⑵由⑴知危）=2sin（2%+或，將危）的圖象向右平移論單位長度得到

g(%)=2sin[2(%q)+§=2sin(2%q),

令二+2航32%」二巴+2祈4￡Z,解得史+祈3把山+也,左￡Z,

2321212

所以g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[*包詈+祈],依Z

【備選例題】

如圖是函數(shù)產(chǎn)《皿3+0)(4〉0。＞0,陽竹)的圖象的一部分,求此函數(shù)的解析

式.

【解析】方法一：(逐一定參法)由題圖知A=3,

不空代尸兀，所以①二*2,

所以y=3sin(2%+0).

因?yàn)辄c(diǎn)(T，。)在函數(shù)圖象上，

6

所以1x2+0=2E,左￡Z,又|例＜3

所以片去所以y=3sin(2%+；).

方法二:(待定系數(shù)法)由題圖知A=3.

因?yàn)閳D象過點(diǎn)質(zhì)0)和底,0),

36

/TT3,

------F0=71,二

3-----,，,02,

所以5113,?解得e--

（丁+8=2n,I”1

所以y=3sin(2%+$.

方法三:(圖象變換法)由A=3,T=7i,

點(diǎn)(J,0)在圖象上，

可知函數(shù)圖象由y=3sin2x向左平移2個(gè)單位長度而得，所以y=3sin[2(%+?],

66

即y=3sin(2x+g.

【總結(jié)升華】

由y=Asin(cvx+0)的圖象求其解析式

(DA一般可由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)來確定囿,囿=3戶嗎

⑵口:因?yàn)?=空,所以往往通過求周期T來確定①.可通過已知曲線及其與％軸的交

(X)

點(diǎn)來確定7,注意相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的水平距離為(，相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)

(最低點(diǎn))之間的水平距離為T.

⑶。以“五點(diǎn)作圖法”中的最高點(diǎn)作為突破口，即當(dāng)cvx+0帶+2祈,左GZ時(shí),y有最大

值,或者由“五點(diǎn)作圖法”中的第一個(gè)點(diǎn)(-%)作為突破口，從圖象的升降情況找準(zhǔn)

第一個(gè)點(diǎn)的位置.

【即學(xué)即練】

e

(2023?鐵嶺高一檢測)已知函數(shù)產(chǎn)/(%)=4sin(cox+0X%R5A>00>0,|夕|<])的部分

圖象如圖所示.

271

0\5TV

12

-1

(1)求危)的最小正周期及解析式；

⑵將函數(shù)產(chǎn)”)的圖象向右平移g個(gè)單位長度得到函數(shù)產(chǎn)g(%)的圖象，求函數(shù)g(x)

在區(qū)間

[0點(diǎn)上的最大值和最小值.

【解析】(1)由題圖可知yd%)的最大值為1,最小值-L故A=l；

所以①=2,7=兀，

將點(diǎn)(爭-1)代入尸/⑴5K*)=sin(*+0)=-1,

所以詈+0=手+2祈,左eZ,0=1+2祈4eZ,

因?yàn)镮磯有所以T

Zo

所以危尸sin(2%+?.

6

⑵由產(chǎn)/(%)的圖象向右平移!個(gè)單位長度得到函數(shù)g(%)=sin[2O?+m]=sin(2%-?,

o666

因?yàn)椋ヒ?,5

所以2吟母力爭,

所以當(dāng)即％=0時(shí),sin(2%T)min=-；;

6662

當(dāng)三，即時(shí),sin(2%q)max=l.

6236

所以g(%)在區(qū)間。會(huì)上的最大值和最小值分別是1和-|.

類型三正弦型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

［例3］少林寺作為國家5A級(jí)旅游景區(qū)，每年都會(huì)接待大批游客，在少林寺的一家專

門為游客提供住宿的客棧中，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的食物有些月份剩余不少,

浪費(fèi)很嚴(yán)重.為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，計(jì)劃適時(shí)調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)

月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化，并

且有以下規(guī)律:①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同;②入住客棧的

游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多,相差約400;③2月份入住客棧的游客約為

100人,隨后逐月遞增，在8月份達(dá)到最多.

⑴試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)

系；

⑵請(qǐng)問客棧在哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份及以上的食物？

【解析】⑴設(shè)該函數(shù)為於)=新皿口%+0)+5(4>0,口>0,|@<兀),其中產(chǎn)1,2,,12.

根據(jù)①，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12;

由②，可知#2)最小48)最大，且火8)次2)=400,故該函數(shù)的振幅為200;

由③，可知危)在⑵8］上是增函數(shù)，且#2)=100,所以火8)=500.

根據(jù)上述分析可得空=12,故co^,

36

由｛f二解得A=200,5=300,

當(dāng)％=2時(shí)其r)最小，當(dāng)％=8時(shí)月%)最大，

故sin(2xP+0)=-l,且sin(8xE+0)=i,可彳導(dǎo)(p=-—+2kji,k^7j,

由mi〈匹得0=岑

6

所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的函數(shù)關(guān)系式為

危)=200sin吟W)+30001,2,,12).

(2)由條件，可知200sin(V^)+300>400,

66

化簡得sin(-x-—)>-,SP2kTi+-^x-—<2kTi+—,k^Z,

6626666

解得12人+63把12人+10,

因?yàn)椋ァ闚*,且1Sg12,所以％=6,7,8,9/0,

即客棧在6,7,8,9,10月份要準(zhǔn)備400份及以上的食物.

【總結(jié)升華】

解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

⑴審清題意:讀懂題中的“文字”“圖象”“符號(hào)”等語言，理解所反映實(shí)際問題的背景,

得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

⑵建立函數(shù)模型:整理數(shù)據(jù)，引入變量,找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識(shí)、

生活常識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，即建立三角函數(shù)模型；

⑶解答函數(shù)模型:利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解答得到的三角函數(shù)模型，求得結(jié)果；

（4）得出結(jié)論:將所學(xué)結(jié)論翻譯成實(shí)際問題的答案.

【即學(xué)即練】

（2023.沈陽高一檢測）在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)

象叫做潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化.

如圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位:米）與時(shí)間％（單位:時(shí)）的大致關(guān)

系：

O24681012141618202224x

假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示.

⑴請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型產(chǎn)^皿⑺+0+.漢口中弓^^飛叫根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水

深y與時(shí)間％的函數(shù)的近似解析式；

⑵根據(jù)該港口的安全條例,要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必

須立即離港一艘船滿載貨物吃水（即船底到水面的距離）6米,計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨.

①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；

②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開始卸貨，已知卸貨時(shí)

吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸

貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不

計(jì)?？看a頭和駛離碼頭所需時(shí)間）.

【解析】⑴觀察題圖知,2A=ll-5,解得A=3,/z=笥=8,空=14-2,解得①=?,

2（x）o

顯然函數(shù)y=3sin（%+夕）+8的圖象過點(diǎn)（2,11）,即sin（09）=l,

OD

又-寧。書因此片已

ZZo

所以函數(shù)解析式為y=3sin令+$+8,%￡［0,24］.

(2)①依題意,產(chǎn)皿"+”8之6+3.5,整理得卜ing%+;)>|

10<%<2410<%<24

即有仁+2加等%+仁詈+2m心？

10<%<24

即［12k<x<4+12k(/cGZ)

IO<%<24'

解得0<^<4或12sg16,

所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.