2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)訓(xùn)練-解直角三角形的應(yīng)用

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練一解直角三角形的應(yīng)用

一、綜合題

1.如圖，在AZBC中，AB=AC=10,tanB=。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以

點(diǎn)D為頂點(diǎn)作NADE=NB,射線DE交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作ZFIAD交射線DE于F,連接CF.

(2)當(dāng)DEliAB時(shí)(如圖2),求4E的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)FC=FD時(shí)，直接寫出BD的長(zhǎng).

2.如圖，已知：在RtZSABC中，斜邊AB=Io,SinA=卷，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重

合)，

PQ平分NCPB交邊BC于點(diǎn)Q,QMLAB于M,QN_LCP于N.

(1)當(dāng)AP=CP時(shí)，求QP；

(2)若四邊形PMQN為菱形，求CQ；

(3)探究：AP為何值時(shí)，四邊形PMQN與ABPQ的面積相等？

3.如圖①，AABC中，ZABC=45o,AHJ_BC于點(diǎn)H,點(diǎn)D在AH上，且DH=CH,連接BD.

(1)求證：BD=AC;

（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到AEHF（點(diǎn)B,D分別與點(diǎn)E,F對(duì)應(yīng)），連接AE.

i）如圖②，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（F不與C重合），若BC=4,tanC=3,求AE的長(zhǎng)；

ii）如圖③，當(dāng)AEHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)

G,連接GH,試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由。

4.在AABC中，AB=AC,NBAC=45。，將XABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到XADE,連

接BD、CE,直線BD、CE相交于點(diǎn)F.

（1）求證BD=CE.

（2）求乙BFC的度數(shù).

（3）若AB=AC=2,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng).

5.如圖，四邊形ABC。為矩形，G是對(duì)角線8。的中點(diǎn).連接GC并延長(zhǎng)至F,使CF=GC,以

DC,C尸為鄰邊作菱形。CFE,連接CE

（1）判斷四邊形CEr）G的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）連接。F,若BC=√3,求DF的長(zhǎng).

6.己知：如圖，AABC為等邊三角形，AB=4√3,AHlBC,垂足為點(diǎn)H,點(diǎn)D在線段HC上,

且HD=2,點(diǎn)P為射線AH上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，線段PD的長(zhǎng)為半徑作QP,設(shè)AP=x.

(1)當(dāng)x=3時(shí)，求。P的半徑長(zhǎng)；

(2)如圖1,如果。P與線段AB相交于E、F兩點(diǎn)，且EF=y,求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并

寫出它的定義域；

(3)如果APHD與AABH相似，求X的值(直接寫出答案即可).

(1)問題提出：如圖1,在四邊形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,ZBAD=ZBCD=90°,

ZADC=60°,則四邊形ABCD的面積為.

(2)問題探究：如圖2,在四邊形ABCD中，NBAD=NBCD=90。，NABC=I35。，AB=

2√2，BC=3,在AD、CD上分別找一點(diǎn)E、F,使得ABEF的周長(zhǎng)最小，并求出ABEF的最小周

長(zhǎng)；

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知點(diǎn)A(-3,1),點(diǎn)B(0,5),過點(diǎn)A作直線1_LAB,過

點(diǎn)B作BD〃L交X軸于點(diǎn)D,再以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作弧，交直線1于點(diǎn)C(點(diǎn)C位于第

四象限)，連結(jié)BC,CD.

（2）點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，且BM=CA,求DM的長(zhǎng).

（3）點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

①若點(diǎn)N是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=CN,求DM+DN的最小值.

②若點(diǎn)N是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=CN,求DM+DN的最小值（直接寫出答案）.

9.小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在的水平線的夾角為120°

時(shí)，感覺最舒適（如圖1）,側(cè)面示意圖為圖2.使用時(shí)為了散熱，她在底板下墊入散熱架ACO'后,

電腦轉(zhuǎn)到40'B'位置（如圖3）,側(cè)面示意圖為圖4.已知04=0B=24cτn,0'C1OA于點(diǎn)

C,0'C=12Cm.

（1）求?CAO'的度數(shù);

（2）顯示屏的頂部B'比原來升高了多少？

（3）如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏0'B'與水平線的夾角仍保持120°,則顯示屏0'B'

應(yīng)繞點(diǎn)0'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？

10.小強(qiáng)洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖如圖所示，洗漱臺(tái)（矩形ABCD）靠墻擺放，高AD=80cm,寬

AB=48cm,小強(qiáng)身高166cm,下半身FG=IOOcm,洗漱時(shí)身體前傾，下半身與地面的夾角

乙FGK=80°,上半身與下半身所成夾角乙EFG=125°,腳與洗漱臺(tái)距離GC=15cm,點(diǎn)、D,

C,G,K在同一直線上.

（1）求此時(shí)小強(qiáng)腰部點(diǎn)F到墻AD的距離.

（2）此時(shí)小強(qiáng)頭部點(diǎn)E是否恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn)O的正上方？若是，請(qǐng)說明理由；若不

是，則他應(yīng)向前還是向后移動(dòng)多少厘米，使頭部點(diǎn)E恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn)。的正上方？（計(jì)

算過程及結(jié)果的長(zhǎng)度均精確到Iem.參考數(shù)據(jù)；sin80o≈0.98,cos80o≈0.17,√2≈1.41）

11.如圖，在梯形ABCD中，AD/∕BC,AB=CD,AD=5,BC=15,COS乙4BC=g.E為射線

CD上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF〃BE,與射線CD相交于點(diǎn)F.聯(lián)結(jié)BF,與直線AD相交于點(diǎn)G.設(shè)

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;

S

（3）如果S3邊形ABEF=,求線段CE的長(zhǎng).

四邊形ABCD

12.如圖.RtAABC中，ZC=90o,AC=BC=4.P是BC上一點(diǎn)（不與B,C重合），連接AP.將

AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AQ.連接BQ.分別交AC,AP于點(diǎn)D,E?作QF_LAC于點(diǎn)F.

A

(1)求證：QF=AC;

(2)若P是BC的中點(diǎn)，求tan/ADQ的值；

(3)若△AEQ的內(nèi)心在QF上，直接寫出BP的長(zhǎng)

13.如圖，^ABC內(nèi)接于。O,AB=BC,A為CD中點(diǎn)，CD與AB相交于點(diǎn)E,過B作BFll4C,交

CD延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：ΔACE-ΔABC;

(2)求證：BF=FE；

(3)延長(zhǎng)FB交AO延長(zhǎng)線于M.若tcmF=',CD=8√3,求BM的長(zhǎng).

14.如圖，一艘輪船位于燈塔B的正西方向上的A處，且燈塔B到A處的距離為40海里，輪船沿

東北方向勻速航行，速度為20海里/時(shí).

北

D

西------A--------?--------東

i

(I)多長(zhǎng)時(shí)間后，輪船行駛到達(dá)位于燈塔B的西北方向上的C處?(結(jié)果保留根號(hào))

(2)若輪船不改變方向行駛，當(dāng)輪船行駛到達(dá)位于燈塔B的北偏東15。方向上的D處時(shí)，求燈

塔B到D處的距離.(結(jié)果保留根號(hào))

15.如圖，已知拋物線V=?x2+mx+n與X軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y=-x+b交拋物線

于另一點(diǎn)C(-5,6),點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合)，作DE〃AC,交

該拋物線于點(diǎn)E.

(1)求m,n,b的值；

(2)求tanNACB；

(3)探究在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在/DEA=45。，若存在，則求此時(shí)線段AE的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖，AB是。O的直徑，PB與。O相切于點(diǎn)B,連接PA交。O于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求證：ZBAC=ZCBP;

(2)求證：PB2=PC?PA;

(3)當(dāng)AC=6,CP=3時(shí)，求SinNPAB的值.

答案解析部分

L【答案】(1)證明：’.[B=AC,

.*.Z,B=Z-ACBJ

?Λ?ADC=乙ADE+Z-CDE=z.5+?BAD,乙ADE=Zfi,

：.Z.BAD=乙CDE,

△ABDDCE

(2)解：如圖中，過點(diǎn)A作AM_LBC于M,

A

?.?在RtUBM中，tanB=第=

.??4M=[BM,

.".AB=Λ∕AM2+BM2=?M，

q

AB=10,

.?.BM=8,

VAB=AC,AM±BC,

：.BC=2BM=16,

VDEHAB,

.??BAD=?ADE,

?Λ?ADE=ZB,乙B=(ACB,

：.Z.BAD=乙ACB,

9Cz.ABD=乙CBA,

△ABDSXCBA,

?AB_BD∏∏10_BD

??Cβ=rfl16=T0,

：.BD=竽，

VDEIlAB,

.BD_AE

?頻=宿

25,,

,?=世r,

1610

.125

''aδeγ=~32

(3)解：過點(diǎn)F作FH_LBC于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AM_LBC于點(diǎn)M,ANJLFH于點(diǎn)N,

則ZNHA=ZAMH=ZANH=90o,

四邊形AMHN為矩形.

ΛZMAN=90o,MH=AN,

由⑵得BM=CMWBC=8,AM=1BM=6,

VAN±FH,AM±BC,

NANF=90。=NAMD.

VZDAF=90o=ZMAN,

.".ZMAD+ZNAD=ZNAF+ZNAD,即ZNAF=ZMAD,

Λ?AFN<^?ADM,

.AN_AF

,"AM~AD,

tan?ADF=tanB==/

.AN_AF_3

''AM~AD~4,

,AN=^AM=M

4L

ΛCH=CM-MH=CM-AN=∣.

又?.?FHLDC,FD=FC,

ΛCD=2CH=7,

.".BD=BC-CD=16-7=9.

2.【答案】（1）解：VAB=IO,SinA=1,

.?.BC=8,

則AC=√√IB2_BC2=6,

VPA=PC.

ΛZPAC=ZPCA,

：PQ平分∕CPB,

.,.∕BPC=2∕BPQ=2∕A,

ΛZBPQ=ZA,

ΛPQ√AC,

ΛPQIBC,又PQ平分NCPB,

ΛZPCQ=ZPBQ,

PB=PC,

.?.P是AB的中點(diǎn)，

ΛPQ=?AC=3

(2)解：?.?四邊形PMQN為菱形,

，MQ〃PC,

ΛZAPC=90o,

/.i×AB×CP=AXAC×BC,

則PC=4.8,

由勾股定理得，PB=6.4,

VMQ/7PC,

.PB_BM_BM_BQR6.4_8-CQ

,,PC~MQ~MP~QC,即rl森一~CQ~，

解得，CQ=竽

(3)解：?.?PQ平分NCPB,QM±AB,QN±CP,

QM=QN,PM=PN,

S?PMQ=S?PNQ，

V四邊形PMQN與^BPQ的面積相等，

ΛPB=2PM,

AQM是線段PB的垂直平分線，

ΛZB=ZBPQ,

ΛZB=ZCPQ,

Λ?CPQ^ΔCBP,

.CP_CQ_PQ

''BC~CP~BP,

.CP_BQ

"'^BC-2BM'

.?.CP=4×??=4×?=5,

BM4

.?.CQ=等，

.?.BQ=8-等=著,

?RM-4X39-39

??bm^5x~8~TO,

ΛAP=AB-PB=AB-2BM=?

3.【答案】(1)證明：在RIaAHB中，NABC=45。，ΛAH=BH,在ABHD和^AHC中,

AH=BH,ZBHD=ZAHC=90o,DH=CH,

Λ?BHD^△AHC,

BD=AC

(2)解:i）如圖,

.AHT

??tanC=3?''CH-3

設(shè)CH=X,.?.BH=AH=3x,

BC=4,3x+x=4,X=I,

.?.AH=3,CH=I,

由旋轉(zhuǎn)知，NEHF=NBHD=NAHC=90。，EH=AH=3,CH=DH=FH,

ΛZEHA=ZFHC,招=於=1,

EHA^?FHC,

ΛZEAH=ZC,

/.tanZEAH=tanC=3,

過點(diǎn)H作HP±AE,

ΛHP=3AP,AE=2AP,

在RtAAHP中，AP2+HP2=AH2,

ΛAP2+(3AP)2=9,

ΛAP=???θ,

ΛAE=等

ii)由①有，ZiAEH和AFHC都為等腰三角形，

ΛZGAH=ZHCG=90o,

Λ?AGQ^?CHQ,

.AQ_GQ.?Q_CQ

""CQ~HQ','CQ~HQ'

VZAQC=ZGQE,

Λ?AQC<^ΔGQH,

.EF_AC_AQ.QCO_1

■■HG=GH=GQ=sm30=?

4.【答案】(1)證明：Y將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADE,

.".?CAE=?BAD,AC=AE,AB^AD,NBAC=NZME=45°,

'：AB=AC,

：.AC=AE=AB=AD,

：.^AECADB(SAS)

.?.BD=CE

(2)解：過點(diǎn)A作/M_LBD于M,AN1CE于N,

當(dāng)Z.CAE=Z.BAD<45°時(shí),如圖，

VAC=AE=AB=AD,

:?z.1=z2=z.3=z4,

????AMB=乙ANF=90°，

在四邊形ANFN中，乙BFC+乙MAN=180°,乙MAN=43+?BAE+Zl=Zl+Z2+乙BAE

乙BAC=45°

???乙BFC=180°-45°=135°；

當(dāng)Z.CAE=乙BAD>45°時(shí),如圖,

???乙BAC=?DAE=45°

?Z-BAC+Z-BAE=Z-DAE+Z-BAE,

：?4DAB=?CAE,

??,AC=AE=AB=AD,

11

???Zl=?EAN=^?CAE,z2=?BAM=^?DAB,

：,Zl=乙EAN=z2=?BAM

.?.乙MAN=乙BAN+?BAM=Zl+乙BAN=乙BAC=45°

????AMF=乙ANF=90°,

???乙MFN=180°一乙MAN=135°,

???Z,BFC=180o-LMFN=45°,

故(BFC=45°或135°

(3)解：如圖，AB與EC交于G,

D

四邊形ADFC是菱形,

：.AC//BD,

：.?FBA=乙BAC=45°,

???乙BFC=45°,

.?./.FGB=?AGC=90°,

在RtAAGC中，AC=2,

??AG=AC-cos45°=2×?=√2，

：.GB=AB-AG=2—近,

BG2-√2

2√2-2

?

5.【答案】(1)解：四邊形CEDG是菱形,

證明：?；四邊形ABCD為矩形，G是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，.?.GB=GC=GD,

VCF=GC,...GB=GC=GD=CF,

Y四邊形DCFE是菱形，ΛCD=CF=DE,DE〃CG,

ΛDE=GC,.?.四邊形CEDG是平行四邊形，

,.?GD=GC,.?.四邊形CEDG是菱形

(2)解：方法一：設(shè)DF交CE于點(diǎn)N,如圖所示:

“I-----?.

B

F

VCD=CF,GB=GD=GC=CF,

Λ?CDG是等邊三角形，

.?.ZGCD=ZGDC=ZCGD=60°,

ZDCF=I800-ZGCD=I80°-60°=120°,

?.?四邊形ABCD為矩形，,ZBCD=90o.

在Rt?BCD中，tan60。==空，/.CD=?◎飛=也=1,

CDtan6073

???四邊形DCFE是菱形，

oo

DN=FN,CNlDF1ZDCE=ZFCE=?ZDCF=?×120=60,

在RtZiCND中，DN=CD?sinNDCE=lxsin60。=IX坐=字，

.*.DF=2DN=2×岑=√J.

方法二：證明AFDG2aBCD,得DF=BC=√3.

6.【答案】(1)解：YAABC為等邊三角形，.?.AB=AC=4√5,ZB=60°.

又??ZB=4√3,AH±BC,

?'??W=AB-SinzB=4√3×??6?

即得PH=AH-AP=6-x=3.

在RtAPHD中，HD=2,

利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√32+22=√13.

.?.當(dāng)x=3時(shí)?，G)P的半徑長(zhǎng)為√13.

(2)解：過點(diǎn)P作PMLEF,垂足為點(diǎn)M,連接PE.

在RtAPHD中，HD=2,PH=6-X.

利用勾股定理，得PD=y∕PH2+DH2=√(6-%)2+4.

ABC為等邊三角形，AH±BC,

ΛZBAH=30o.即得PM=^AP=^x.

在0P中，PE=PD.

VPMlEF,P為圓心，

二?EM=,EZ7=訝y.

于是，在Rt?PEM中，由勾股定理得PM2+EM2=PE2.

即得^x2+^y2=(6-x)2+4.

，所求函數(shù)的解析式為y=√3X2-48%÷160,

定義域?yàn)閷W(xué)絲苧色.

(3)%=6-2y/3，％=6-2.，％=6+2：,x=6+2√3.

7.【答案】⑴36

(2)解：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MG交AD于點(diǎn)E,交

CD于點(diǎn)F,連接BE,BF,過點(diǎn)G作GNLBC于點(diǎn)N交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

ΛBF=MF,BE=EG,BG=2BA=4√2.BM=2BC=6

Λ?BEF的周長(zhǎng)為BE+EF+BF=EG+EF+MF=MGo

兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)ABEF的周長(zhǎng)最小.

VZNBG+ZABC=180°

.?.NNBG=180°-135°=45°,

??.?NBG是等腰直角三角形，

ΛNB=NG=BGsinZNBG=BGsin45o=4√2X孝=4

MN=BM+BN=6+4=10,

在Rt?MNG中

MG=√Λ∕G2+MN2=√42+IO2=2√29?

.?.ΔBFE的最小周長(zhǎng)為2聞.

8.【答案】(1)解：過點(diǎn)A作AEJ_y軸于點(diǎn)E,如圖1

AZAEB=90°

VA(-3,1),點(diǎn)B(0,5)

.?.AE=3,OE=I,OB=5

BE=OB-OE=4

?,?AB=√ΛF2+BE2=5

(2)解：連接DM,如圖1,

YBD〃直線1

ΛZDBM=ZBCA

在4DBM與^BCA中

BM=CA

乙DBM=乙BCA

DB=BC

Λ?DBM?BCA(SAS)

：.DM=BA=5

(3)解：①延長(zhǎng)BA到點(diǎn)B，,使AB'=AB,連接BD,如圖2

，直線1垂直平分BBlBB'=2AB=10

Y點(diǎn)N為直線1上的動(dòng)點(diǎn)

ΛBN=B,N

在^DBM與^BCN中

(BM=CN

I乙DBM=乙BCN

(DB=BC

???△DBMgZ?BCN(SAS)

ΛDM=BN

ΛDM+DN=BN+DN=B,N+DN

J當(dāng)點(diǎn)D、N、B，在同一直線上時(shí)，DM+DN=BW+DN=BD最小

??,直線UAB

ΛZBAC=ZBOD=90o

在Rt?BAC與Rt?BOD中

(BC=BD

UB=OB=5

ΛRtΔBAC^RtΔBOD(HL)

ΛZABC=ZOBD

ΛZABC-ZOBC=ZOBD-ZOBC

即NABo=NCBD

ΛZABO=ZACB

在RtZkABE中，SinZABO=蕓=|

，在RtAABC中，SinZACB=需=|

JBD=BC=IAB=學(xué)

YBD〃直線1

ΛZB,BD=180o-NBAC=90。

,BD=.2+BB'2=J(第2+1()2=絆I

ΛDM+DN的最小值為?^?.

②當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，由①可知DM+DN最小值為亨

當(dāng)點(diǎn)N在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,

過點(diǎn)B作BF〃DC交直線1于點(diǎn)F,連接MF、DF,過點(diǎn)D作DGL直線1于點(diǎn)G

.?.四邊形BDCF是平行四邊形

ΛBF=CD,CF=BD=孕，ZMBF=ZBCD=ZBDC=ZNCD

在^BMF與aCND中

BM=CN

乙MBF=4DCD

BF=CD

Λ?BMF^?CND(SAS)

ΛMF=DN

.?.DM+DN=DM+MF

.?.當(dāng)D、M、F在同一直線上時(shí)，DM+DN=DM+MF=DF最小

,.?ZBAG=ZABD=ZAGD=90°

.?.四邊形ABDG是矩形

ΛAG=BD=?,DG=AB=5

?.?RMABC中，AC=√BC2-相=俯;―52=至

/.AF=CF-AC=穿一冬=冬

，F(xiàn)G=AF+AG=|+半=10

,DF=√FG2+DG2=VlO2+52=5√5

V5√5<粵?

.?.當(dāng)N在射線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DM+DN的最小值為5√5.

9.【答案】（1）解：：O'CJ.04于點(diǎn)C,OA=OB=24cm,0'C=12cm,

AsinzMOz===?=I??"CA°'=30o.

(2)解：如圖5,過點(diǎn)B作BDLAo交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

圖5

^?AOB=120o，C.?BOD=60°.

DnG—

VsinzBOD=詼，：?BD=OB?sinZFOD=24X^=12√3(cm)

'."4。'8'+440'。=120。+60。=180。，即夕、0'、C三點(diǎn)共線,

：.B'C=0'B'+O'C=OB+O'C=36(cm),

.?.顯示屏的頂部B'比原來升高了(36-12√5)cm

(3)解：顯示屏0'B'應(yīng)繞點(diǎn)0'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。.理由如下：如圖6,

設(shè)電腦顯示屏0'B"繞點(diǎn)0'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度至O'E處，過點(diǎn)。'作O'FIlAC.：電腦顯

示屏0'B'與水平線的夾角仍保持120o,C.?EO'F=120o，"：/.B'O'F=WCA=90°,

.?.?EO'B,=120°-90°=30°,即α=30。....顯示屏O'B'應(yīng)繞點(diǎn)0'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。.

10.【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)F作FNLDK于點(diǎn)N,W-FMIAD于點(diǎn)M.

在RtAFGN中，,:乙FGK=80o,FG=100cm,

ΛGN=FG-coszFGK=100-cos80o≈17(cm).

：.DN=DC+CG+GN=48+15+17=80(cm).

,."FN1DK，F(xiàn)MLAD,

：.?FMD=乙FND=90o,

Y四邊形ABCD是矩形，

/.ZD=90°.

.??四邊形MDNF是矩形.

"：MF=DN=80cm.

.?.此時(shí)小強(qiáng)腰部點(diǎn)F到墻AD的距離為80cm.

(2)解：此時(shí)小強(qiáng)頭部點(diǎn)E沒有在洗漱盆AB中點(diǎn)O的正上方.

如圖，過點(diǎn)E作EPIAB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)OB交FN于點(diǎn)H.

"."?EFG=125°,

J.?EFM=125o+IO0-90°=45°.

'JEF=166-FG=166-100=66(cm),

ΛFQ=66?sin45o≈47(cm).

：?PH≈47cm.

"：AB=48cm,點(diǎn)。為力B的中點(diǎn),

`.AO=BO=24cm.

?；GN≈17cm,CG=15cm,

：.0H=24÷15÷17=56(cm).

V56>47.

.?.此時(shí)小強(qiáng)頭部點(diǎn)E沒有在洗漱盆AB中點(diǎn)0的正上方.

：.0P=OH-PH=56-47≈9(cm).

.?.他應(yīng)向前移動(dòng)9cm.

11.【答案】(1)解：分別過點(diǎn)A、D作AMLBC、DN±BC,垂足為點(diǎn)M、N.

VAD∕∕BC,AB=CD,AD=5,BC=I5,

11

=^^BC-AD)=^(15-5)=5.

在Rt?ABM中，NAMB=90。，

?Λ∏Λ4BM55

-cosδabm=AB=AB=13-

.?.AB=13.

(2)解：?.?需=y，.?.d^≤=y+ι.即得DG=金

VZAFD=ZBEC,ZADF=ZC.ΛΔADF^ΔBCE.

.FD_AD_5_1

-eFC=FC=15=3.

又?.?CE=x,FD=^x,AB=CD=B.即得FC=WX+13.

15

VAD//BC,.FDDG/_y+ι

'^~FC~^BC,∣x+1315

.39-2x

??y=^^

.?.所求函數(shù)的解析式為y好,函數(shù)定義域?yàn)?<x<挈.

(3)解：在RtAABM中，利用勾股定理，得AM=y∕AB2-BM2=12.

:?S四邊形ABCD=%(40+BC)TM=女5+15)X12=120.

S

..四邊形ABEF_2

-S=3，

四邊形ABCD

：?S四邊形ABEF=80-

設(shè)SΔADF=S.由△ADFSABCE,集=：，得SABEC=9S-

過點(diǎn)E作EHLBC,垂足為點(diǎn)H.

由題意，本題有兩種情況：

(1)如果點(diǎn)G在邊AD上，則S四邊形ABCD~S四邊形ABEF=8S=40.

ΛS=5.

??^ΔBEC=9S=45.

11

,SABEC=”C?EH=*x15?E”=45?

：.EH=6.

由DNJ_BC,EH±BC,易得EH〃DN.

.CE_EH_6_1

^CD=DN=12=2?

又CD=AB=13,.;CE=竽.

(??)如果點(diǎn)G在邊DA的延長(zhǎng)線上，則S四邊膨ABCD*'四邊形ABEF+$AADF="S.

.?.8S=200.解得S=25.

,SABEC=9S=225.

11

?'?SΔBEC=?fie?EW=?×15?FW=225.解得EH=30.

.CE_EH_30_5

,'CD=DN^U=2-

."E=竽.

."E=竽畤.

12.【答案】(1)證明：由題意得，PA=AQ,ZPAQ=90o

???ZPAC+ZQAF=90o

XVZC=90o

???ZPAC+ZAPC=90o

.?ZQAF=ZAPC

又?.?NQFA=NC=90°

Λ?QAF^?APC(AAS)

ΛOF=AC

(2)解：若P是BC的中點(diǎn)

貝IJPC=IBC=2

由(1)知，ΔQAFΔAPC

/.AF=PC=2

.*.FC=AC-AF=2

VQF=AC=BC,NQFD=NC=90。，ZQDF=ZBDC

Λ?QDF^?BDC(SAS)

ADF=DC=I

又?.?QF=AC=4

AtanZADQ=熟=4

(3)解:AEQ的內(nèi)心在QF上

.?.QF平分NAQD,即NAQF=NDQF

VQFlAC

ΛZQFA=ZQFD=90o

XVQF=QF

Λ?APC^ΔDFQ(ASA)

ΛAF=DF

XVDF=DC

/.AF=DF=DC=?

.?.PC=AF=W

.,.BP=BC-PC=4-g=∣

13.【答案】(1)證明：???4為CD中點(diǎn)，

???胞=Af,

：.?ACE=?ABC,

VZ-CAE=乙BAC,

?ΔACE?ΔABC

(2)證明：-ΔACEΔABC,

tCA_BA

最=阮'

?：AB=BC,

?CA=CE，

????CEA=?CAE,

vBFHAC,

：??FBE=Z-CAE,

vZ-FEB=Z-CEA,

：.乙FBE=?FEB,

???BF=FE

（3）解：連接08,0C,設(shè)ZM與CO交于點(diǎn)〃，如圖所示:

???4為8中點(diǎn)，

：,OA1CD,

：,CH=HD=WCD=4√3,乙AEH+Z.EAH=90°,

???乙FEB=乙AEH,

???乙FEB+?EAH=90°,

???乙F