2023年新高考匯編:三角函數(shù)與解三角形(解析版)_第1頁
2023年新高考匯編:三角函數(shù)與解三角形(解析版)_第2頁
2023年新高考匯編:三角函數(shù)與解三角形(解析版)_第3頁
2023年新高考匯編:三角函數(shù)與解三角形(解析版)_第4頁
2023年新高考匯編:三角函數(shù)與解三角形(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩35頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

重難點02三角函數(shù)與解三角形

命題趨勢

新高考中,三角函數(shù)與解三角形依然會作為一個重點參與到高考試題中,熟練掌握三角函數(shù)的圖象與

性質(zhì)、三角恒等變換公式及正、余弦定理,在此基礎(chǔ)上掌握一些三角恒變換的技巧,如角的變換,函數(shù)名

稱的變換等,此外,還要注意題目中隱含的各種限制條件,選擇合理的解決方法,靈活實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.

滿分技巧

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間.①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則,將解析式先化簡,并注意復

合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”;②求形如尸4sin(S+3)或)=∕cos{ωx+φ](其中,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,

要視“5+O”為一個整體,通過解不等式求解.但如果“<0,那么一定先借助誘導公式將?;癁檎龜?shù),防止

把單調(diào)性弄錯.

2,求三角函數(shù)的最小正周期,一般先通過恒等變形化為?=∕sin(0x+e),y=Aco^ωx+φ),尸4tan(sx+9)的

,,2rτ2ππ,

形式,再分別應(yīng)用公式T=而,r=-,Γ=j~j?求解.

3,對于函數(shù)產(chǎn)4sin(SX+9),其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的

零點,因此在判斷直線EO或點(xo,0)是否為函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可通過檢驗

f(XO)的值進行判斷.

4、若/(x)=∕sin[ωx+φ)為偶函數(shù),貝1J9=E+'(?∈Z),同時當X=O時,/(x)取得最大或最小值.若

f(x)=NSin(ωx+φ)為奇函數(shù),則夕=4兀(?∈Z),同時當X=O時,f(x)=O.

2、利用正、余弦定理求邊和角的方法

(1)根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形,并在圖形中標出相關(guān)的位置.

(2)選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,

要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不

明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.

3、求三角形面積的方法:

1)若三角形中已知一個角(角的大小,或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或該兩邊之積,

套公式求解.

2)若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面積,總之,結(jié)合圖形恰當

選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

幾何中的長度、角度的計算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計算,這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.

解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形,把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中.

熱點解讀

熱點1、新題型的考查

(1)以數(shù)學文化和實際為背景的題型;(2)多選題的題型;(3)多條件的解答題題型.

熱點2、與其它知識交匯的考查

(1)與函數(shù)、導數(shù)的結(jié)合;(2)與平面向量的結(jié)合;(3)與不等式的結(jié)合;(4)與幾何的結(jié)合.

A卷(建議用時90分鐘)

—?、單選題

1.(2021?上海虹口?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=αsinx+8CoSX,其中α>0,h>Q,若/(x)0對任意的XeR

恒成立,則下列結(jié)論正確的是()

A.B."x)的圖像關(guān)于直線X=4寸稱

C.在上單調(diào)遞增D.過點伍力)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點

【答案】D

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡,進而根據(jù)函數(shù)在x=£處取得最大值求出參數(shù),然后結(jié)合三角函數(shù)的

4

圖象和性質(zhì)判斷答案.

22

【詳解】由題意,/(x)=asinx+bcosx=y∣a+bsin(x+^)τtan¢=2,而函數(shù)在X=A處取得最大值,所

2b

以(+3=?∣?÷2?zr(?∈Z)=>e=^+2kn(k∈Z),所以/(X)=+bsin(x+?,ta∏ζp=-=l=>a=ft,貝IJ

a

/(x)=V∑αsin(x+()

S>°)?

對A,因為Sin(X)=Sin*曰<sin(聿+:)=?*+冬*=也乎,即/圖<(JA錯誤;

對B,因為Sin(Y→A)=Sirvr=O,所以B錯誤;

對C,因為X+?G∣,y,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以C錯誤;

對D,因為f(x)的最大值為缶,而6=q<缶,所以過點(。,6)的直線與函數(shù)/(x)的圖象必有公共點,

D正確.故選:D.

2.(2021?廣東?珠海市第二中學模擬預測)已知A為銳角"8C的內(nèi)角,滿足SinN-2cos∕+tanN=l,則/e

()

A.(0個)B.%?)C.e,y)D-(f.f)

【答案】C

【分析】設(shè)/(x)=SinX-2cosx+tanx-l,則/。)=0,根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間;

【詳解】解:A為銳角”3C的內(nèi)角,滿足sin4-2cos4+tanZ=l,

i?∕(x)=sinx-2cosx÷tanx-1,即/(4)=Sin4一2cos4+tan4-l=0,XE(O,?^),則函數(shù)在(0,、)I:為

連續(xù)函數(shù),又P=SinX在(0,9上單調(diào)遞增,V=tanX在(0,9上單調(diào)遞增,V=cosx在(θ,∣?)上單調(diào)遞減,

所以/(x)=SinX-2cosx+tanx-l在(O,5)上單調(diào)遞增;

在(0,W)中取X=得f(―)=sin--2cos—+tan--1=,

24八44442

在(0,工)中??;,得f(-)=sin?-2cos-+tan—-1=--,/(0)=sin0-2cos0÷tanθ-l=-3,

46‘66662

/(y)=si∏y-2cos^-+tan~^?=~~>θ,?!眞(不§?故選:ɑ

3.(2021?江蘇鹽城?高三期中)若函數(shù)y=sin2x與y=sin(2x+p)在(0,£)上的圖象沒有交點,其中

Pe(0,2可,則9的取值范圍是()

A.g2∕r)B.y,∕rC.(∕r,2ττ)D.雷通

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移即可求解.

【詳解】解:N=Sin2x是周期為〃的正弦函數(shù),

y=sin(2x+p)=sin2。,pe(0,2")是由y=sin2x向左平移?個單位得到

①當o<K時,如下圖所示,

②當卜]時,如下圖所示

此時函數(shù)N=sin2x與V=sin(2x+3)在(0,向上無交點,符合題意

③當IqV",如下圖所示

上無交點,符合題意

綜上所述,y≤∣<∕r,2“故a的取值范圍是[“,2”)故選:A.

【點睛】本題的關(guān)鍵是通過對三角函數(shù)平移的過程利用數(shù)形結(jié)合找到相交的臨界位置.

4.(2021?廣東佛山?模擬預測)sin40。1an10。-百卜()

A.2B.-2C.1D.-I

【答案】D

【分析】利用切化弦,三角恒等變換,逆用兩角差的正弦公式,二倍角公式,誘導公式化簡求值.

【詳解】

sin40°.卜an10。-6)

../sinl0oer

=sιn40λo?(------------√3)

CoslOo

oo

..λosinl0-Λ^cosl0

=sin40----------------------------

CoslOo

2(isinl00--cosl0o)

=sin40°-二--------------Z----------

CoslOo

_Sin40。2(cos60°?sinl00-sin60°?cosl00)

CoslO0

.2sin(10o-60o)

=sin4yt0no°----------------------

CoslOo

.-2sin50°

=sin4z10ao0--------------

CoslOo

_-2sin40o?cos40°

cosl0o

二-sin80。

cosl0o

=-1

故選:D

5.(2021?山東?嘉祥縣第一中學高三期中)對于角α("g,AwZ)的正切的倒數(shù),記作Cota=」一=空漢

2tanQsina

稱其為角Q的余切.在銳角三角形Z8。中,角4氏C所對的邊分別為。,b,J若滿足4+2。CoSB=J

則COtA-COt6的取值范圍是()

A.B.(1,2)C,D.(l,+∞)

【答案】C

[分析]根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得到B=2A,根據(jù)角度的范圍得到Sin8e(*,1),化簡得到

cotZ-cotB=—1,得到答案.

sm8

【詳解】因為α+2αcos8=c,根據(jù)正弦定理得Sin4+2SinNCOS6=sinC,

由SinC=Sin(Z+8),sin4+2sin4cos8=SinZCOS8+cos4sin8,即SinZ=Sin(JS-N),

三角形為銳角三角形,可得/=B-Z,即8=2%,

0<B<-

2

所以,可得f<8<g,可得sin8∈(9,l),所以」一e(l,

B

O<rτ-A-B<-322sin

2

’CcosJcosθsinBcosA-cosBsinASm(B-4)sm41

貝IJcotA-cotB==-----------------=------------------------------=--------------=--------------=-------

sin4sinBSin4sin8sinAsinBsin4sin8SinB

所以COt力一COtBW故選:C.

6.(2021?四川?綿陽中學實驗學校模擬預測)某城市要在廣場中央的圓形地面設(shè)計一塊浮雕,彰顯城市積極

向上的活力.某公司設(shè)計方案如圖,等腰APMN的頂點P在半徑為20m的大O。上,點N在半徑為IOm

的小。。上,點0,點尸在弦Λ∕N的同側(cè).設(shè)NMON=2α(0<α<]),當APMN的面積最大時,對于其它區(qū)

域中的某材料成本最省,則此時CoSCl=

Q?/?~1

2

【答案】C

【分析】用α表示出APMN的面積為S(α),求導S'(α),令S'(α)=0求得極值點,從而求得APMN面積最

大時對應(yīng)的COSa值.

【詳解】如圖所示,等腰AP∕N中,ZMOTV=20(0<o<∣)設(shè)APWN的面積為S(α),

=2×;x20x10XSin(汗一Q)+→10×10×sin2(7=200sina+50sin2<7,(0<a<

則S(α)=2XSSOPN+SQMN

29

求導

S,(a)=200cosσ+2×50cos2σ=200COSQ+100cos2σ

=200cos0,+100(2cos2<7-1)=100(2cos2a+2cosσ-1)

令S'(c)=O,即2COS2Q+2COSQ-1=0,解得:CoSa?-?i-(舍去負根)記CoSq0=」+正,QO

22022k2J

當ae(0,0°),S'(α)>O,函數(shù)單調(diào)遞增;當αe(α°,'),5l(a)<0.函數(shù)單調(diào)遞減;

故當"的時,即CoSa=」+YLS(a)取得極大值,即最大值.故選:C

22

7.(2021?河南平頂山?高二期中)在鈍角“8C中,。,瓦。分別是“BC的內(nèi)角4氏C所對的邊,點G是"8C

的重心,若/G18G,貝IJCOSC的取值范圍是()

D.p?

【答案】C

3

【分析】延長CG交力B于。,由重心性質(zhì)和直角三角形特點可求得CD=,。,由CoSNBQC=-CoSNzQC,

利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到"+∕=5C2,由此確定。為銳角,則可假設(shè)A為鈍角,得到〃2+°2<∕,

a2+c2>b?a>b,由此可構(gòu)造不等式組求得2的取值范圍,在A4BC利用余弦定理可得COSC=Il

a5?baJ

利用-的范圍,結(jié)合C為銳角可求得CoSC的取值范圍.

a

【詳解】延長CG交/8于O,如下圖所示:

I33

?.'G為AiBC的重心,為/8中點且C0=3OG,':AG1BG,:.DG=-AB,.-.CD=-AB=-Ci

AD-+CD2-AC15c2-2b2

在“。C中,cosZADC=

2ADCD~3d-

BD2+CD2-BC25c2-2/

在A8Z)C中,cosZ.BDC=

2BDCD3^^-

c

2

.,ABDC+Z.ADC=n,.,.cosZ.BDC=-cosZ-ADC,

即『=一『,整理可得:人心5八口;。為銳角:

解得:僅]<-,?.-a>b>O,.?.o<-<-,

IaJ3a3

又C為銳角,.?.當<cosC<l,即CoSC的取值范圍為(當,1J.故選:C.

【點睛】本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解,解題關(guān)鍵是能夠由兩角互補得到余弦值互為相反數(shù),

由余弦定理得到/+〃=5/,確定C為銳角,從而得到三邊之間的不等關(guān)系,求得2的范圍.

a

8.(2019?全國高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=Sin(ωx+∣)(ω>0),已知/(x)在[θ,2∕r]有且僅有5個零點,

下述四個結(jié)論:

①/(x)在(0,2TT)有且僅有3個極大值點②/(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點

③/(x)在(0,R)單調(diào)遞增④3的取值范圍是[£,蚤)

其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①④B.②③C.③D.①③④

【答案】D

【分析】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題,難度大,通過整體換元得5〃V2/73+(<6〃,結(jié)合正弦函數(shù)

的圖像分析得出答案.

ππ_π

【詳解】當Xi[0,2內(nèi)時,ωx+-e-,2∕τω+-

555

(X)在[0,2"]彳j?且僅有5個零點,.?.5"≤2%+?∣?<677?,.?.∕≤s<W故④正確,

由5"≤'2HojA—<6TT.知LUXH—∈—,2JTCO??—時,

令3X3=—,,時取得極大值,①正確;

5222

極小值點不確定,可能是2個也可能是3個,②不正確;

因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,

,(?TT?,ππ(ω+2)∕z?,,.√?

當了£(0,而)時,cυx+-E―,——---,若/(外在7∣0,5J單倜遞增,

則即乜竺,故③正確.故選

W2"Y1C7<3,≤g<D

102510

【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的,易錯,③正確性考查需認真計算,易出錯,本題主要考查了整體換元的思

想解三角函數(shù)問題,屬于中檔題.

二、多選題

9.(2021?江蘇?海門中學高三期中)已知某物體作簡諧運動,位移函數(shù)為/(f)=2sin(f+0)(fNθ,網(wǎng)</,且

477

/(y)=-2,則下列說法正確的是()

A,該簡諧運動的初相為今B.函數(shù)/(,)在區(qū)間(O,])上單調(diào)遞增

C.若/[O,5],則/⑴e[l,2]D.若對于任意4月>0,有/(4)=.他),貝WU+%)∣=2

【答案】AC

【分析1根據(jù)題意得f(f)=2sin(f+「|,再依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解:因為/(t)=2sin(f+夕)(f>O,∣d<g,且“爭=-2,

所以一2=2Sin(W+w),即¥+3=當+2Aττ,AeZ,所以3=j+2而,4eZ,

\3J326

因為例<g,所以W=F所以〃f)=2sin(f+M,所以對于A選項,筒諧運動的初相為£故正確;

26\o√。

對于B選項,函數(shù)/(,)在區(qū)間(0,5)上單調(diào)遞增,(9,5J上單調(diào)遞減,故錯誤;

MLITn2rτ.(TiA.π.ETI.(

對于C選項,當te0,∣?時,T-,τ,≡sm-≤smh÷-≤sm-,Bp-≤sm^+-≤1,所以

f(t)e[?,2],故正確;對于D選項,取4=J"2=R滿足"G=∕G),但|/&+幻|=峰2,故錯誤

62

故選:AC

10.(2021?福建?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sin0zr+石cos3x(3>0),若函數(shù)/(x)的圖象在區(qū)間[0,2司上

的最高點和最低點共有6個,下列說法正確的是()

A.f(x)在[0,2“]上有且僅有5個零點B.〃x)在[0,2可上有且僅有3個極大值點

C.3的取值范圍是含粉D.3的取值范圍是借期

【答案】BC

【分析】借助于函數(shù)圖象,得到/(x)在[0,2可上有5或6個零點有口僅有3個極大值點,另外

日兀W2兀3+W<葭兀得到3的取值范圍.

【詳解】/(x)=sinCdx+yficosωx=2sin?ωx+?j,當x∈[θ,2"],則ωx+ge^,2πω+^,借助圖象

可知/(x)在[o,2“]上有5或6個零點有且僅有3個極大值點.故A錯誤.B正確;

函數(shù)/(x)的圖象在區(qū)間[0,2〃]上的最高點和最低點共有6個,所以5π≤27i3+g<羨兀,

3137

解得五≤∕<W?故C正確,D錯誤.故選:BC

11.(2021?江蘇淮安?高三期中)在^ABC中,角4民。的對邊分別為,則下列的結(jié)論中正確的是()

A.若sin4cosZ=sinBcosB,則△43C一定是等腰三角形

B.若CoS4>cos8,則sinAvsinB

C,若^ABC是銳角三角形,則sin4+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

D,已知△/8C不是直角三角形,則tan力tanBtanC=tan4+tanB+tanC

【答案】BCD

【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合誘導公式以及正切函數(shù)的兩角和公式,逐個選項進行判斷求解即可

【詳解】對于A,由SinZCOS力=SinBCoSB,sinAcosJ-sin5cosB=Ot

即sin24=sin28,因為在zjk48C中,令∕=g,B=*,此時,仍有sin2/=sin28,所以,C不一定

63

是等腰三角形,A錯誤;對于B,因為V=COSX在x∈(0∕)上是減函數(shù),cosA>cosB,所以0<力v4v〃,

所以O(shè)vavb,由正弦定理得SinNVSinB,B正確;

對于C,若“BC是銳角三角形,則4瓦。均為銳角,所以,/+得力>0和]>8>0,nz>5-8,

得SinZ>sin(]-8)=COS8,同理,可證得,sinB>cosC,sinC>cosA,所以

sin力+sin8+sinC>cosA+cosB+cosC成立,C正確;

對于D,已知△ABC不是直角三角形,4+8+C=〃,

則有tanC=-tan(∕+8),所以tan(J+8)=tan'+tan3,

1—tanAtanB

得tan4+tan8=tan(J+5)(1-tanJtan=tan(J+B)-tan(J+B)tanAtanB

tan√4+tanβ÷tanC=-tan(^+B)tanAtanB=tanAtanBtanCiD正確;故選:BCD.

12.(2021?江蘇揚州?模擬預測)在三角函數(shù)部分,我們研究過二倍角公式cos2x=2cos2χ-l,實際上類似

的還有三倍角公式,則下列說法中正確的有()

A.cos3x=4COS3X-3COSXB,存在IXWI時,使得∣4∕-3乂>1

C.給定正整數(shù)〃,若∣X,∣W1,(i=l,2,…,〃),且之X,3=0,則之X,U

/=1/=I?

D.設(shè)方程8χ3-6x-l=0的三個實數(shù)根為x∣,x2,??,并且再<》2<當,則2(?√-?√)=X3-玉

【答案】ACD

【分析】利用兩角和的余弦公式及二倍角公式展開化簡cos3x即可判斷選項A;令CoSe=X,則

cos30=4√-3x,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到|4丁-3無卜1,進而判斷B選項;令z,=x,+l,其中卜∣wl,

z,>0,問題轉(zhuǎn)化為Z4W丁,根據(jù)二次函數(shù)的最值M明I:式成立即可;求解方程8c(√α-6CoSa-I=O得

i=?3

到a=g或|■或",比較大小得到XI=COSZ=Cos/,X3=cos-^1再驗證2①一年)=4一%是否

9V9999

成立即可.

[詳解]cos3x=cos(2x+?)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-l)cosx-2sin2XCoS龍=2cos3x-cosx-2(l-cos2R)COSX=4cos3x-3cosx,A對

令COSe=X,則k∣≤l,COS30=4X3-3X,則卜OS38∣W1,B錯;

令z,=x,+l,其中k∣Wl,z;>0£(4-1)3=0,B[JJ(Z,3-3Z,2+3Z,.-1)=O(z,2-3?+3)=//

f=lZ=I/=I

由z,2-3z,.+3=fz,.-∣λ∣+卜]可得〃=之式z;-3?+3)?∣∑Zi

12/44.=]4∕=ι

“4"4,,n',n

2z,W1”,即2(x,+l)W1",∑X,≤-..∑x,≤-.C對;

∣≈ι?∕=j3/=13/=1?

令X=CoSQ,Q∈[θ,3^),x∈[-l,l]8COS3α-6cos<7-1=0,即2COS3Q=1即cos3a=;

?.?o≡[θ^],「.α=g或羨或[令/(x)=8χ3-6x-I,/(T<0,?f-??0'/(0)<0?/(l)>0

9,9V2.)

75n

.?J(x)的根都在[T,l],.?.M=COSg",X=COS-TT.X,=cos—

1-939

L)=C。SH8SI^=YOS%+C。Sπ

尸小D對故選:ACD.

9;999

【點睛】本題主要考查學生三角函數(shù),二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的問題,主要考察學生分析問題解決問題的能

力,對學生的要求比較高,屬于難題,在做此類目時不要慌張,靜下心來,慢慢分析就可以找到題目的突

破口.

三、填空題

13.(2021?福建省泉州第一中學高三期中)拿破侖是十九世紀法國偉大的軍事家、政治家,對數(shù)學也很有興

趣,他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破倉定理:“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形,則這三個

等邊三角形的中心怡為另一個等邊三角形的頂點”,在A∕8C中,以AB,BC,。為邊向外構(gòu)造的三個等邊

三角形的中心依次為。E,F,若N8∕C=60t5,DF=2√3,利用拿破侖定理可求得/8+/C的最大值

【答案】4√3

【分析】設(shè)8C=a,4C=b,∕3=c,連接/凡BD,49.在4。48中,乙ABD=乙B4D=3Q°,乙ADB=I20°,

由余弦定理表示出=j?和ZE*.在△W中,由余弦定理和基本不等式解得AB+AC的最大值.

【詳解】設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,如圖,連接4尸,5。,4?

由拿破侖定理知,ADEF為等邊三角形.

因為。為等邊三角形的中心,所以在AXB中,乙ABD=乙BAD=30°,?ADB=?20o.

^AD=BD=x,由余弦定理得C?=由+f-2χ2COSI20。,即¢2=31,解得£=筋,

X

即塔==上同理""=ξ?,又2"C=60o'?CAF=30°,所以"D4戶="BAD+?BAC+ΔCAF=120°.

在ZUOF中,由余弦定理可得DF2=AD2+AF2-2AD?AF?cosl20o,

g∣I12=y+y-2y×^Y化簡得優(yōu)+蛾=兒+36,由基本不等式得他+≤(等)+36,解得

6+c≤4√3(當且僅當b=c=2√J時取等號),所以(Z5+ZC)niin=46.故答案為:4√3

【點睛】在解三角形中,選擇用正弦定理或余弦定理,可以從兩方面思考:(1)從題目給出的條件,邊角關(guān)

系來選擇;(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇.

14.(2021?四川?內(nèi)江市教育科學研究所一模)如圖,某小區(qū)有一塊扇形OP0空地,現(xiàn)打算在P。上選取一

點C按如圖方式規(guī)劃一塊矩形力8。土地用于建造文化景觀.已知扇形OPQ的半徑為6米,圓心角為60°,

則矩形ZBCO土地的面積(單位:平方米)的最大值是.

【答案】6√3

Tr

【分析】設(shè)NCOP=8,0<θ<∣,求出8C,在AOCD中,求出8,然后表示出矩形面積,然后利用兩

角和與差的正弦公式,二倍角公式,化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,最后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值.

TTJT

【詳解】ZPOQ=600=-i設(shè)NCO尸=8,O<θ<y,則BC=OCSin8=6Sin8,

△OC。中,NODC=容由正弦定理OCCD

SinNoZ)CSinNZ)OC

6_CDesin(?-e)

Fr=.產(chǎn)小,所以CO=——?—=4√JSinG毋),

smTSin空3

??3

邑8CT)=BC?CD=6sine?4VJsin(?^-6)=24>∕3sinθ(~cos}in⑨

=12Λ∕3(?/?sinθcos0-sin2θ)=e?/?[?/?sin2θ-(?-cos20)]

hI

=12√3(?sin÷-∣cos)-6/3=13/3sin(20也)-√^2,

所以28+m=g,即8=/時,S./)取得最大值12√J-6√J=6√L故答案為:6√3.

626

15.(2021?上海?一模)已知函數(shù)/(x)=COSX,若對任意x∣,W,方程∣∕(X)-∕(X∣)∣+∣∕(X)-∕(X2)∣=WJ("7WR)

有解,方程|/(》)-/(再)|-|/(》)-/(々)|=〃("€?也有解,則機+〃的值的集合為.

【答案】⑵

【分析】根據(jù)題意,不妨設(shè)CoSX[≤COS%,分類討論當COSX≥COS工2,COSX≤cos*,cosxi<COSX<COSX2H

種情況下,結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),從而求出加和〃的值,即可得出機+〃的值的集合.

【詳解】解:由題可知/(x)=COSX,不妨設(shè)CoSXI≤COSX?,

對于叫對任意實數(shù)玉,X2,方程∣∕(x)-∕(xJ∣+∣∕(x)-∕(x2)∣=w÷eR)有解,

≠icosX≥cosX2∏j,方程可化為機=2CoSX-(COS玉+COSX?)有解,所以,"≥COSX?-COS為恒成立,所以加22;

當COSX≤CoS芭時,同上;當COSM<COSX<COSX2時,方程可化為加=COSX2--COSXI有解,所以∕W∈[0,2],

綜上得:m=2i對于〃,對任意實數(shù)項,x2,方程∣∕(x)-∕(XJHy(X)-/(匕)|=〃(〃€滅)也有解,

當COSX≥COSW時,方程可化為“=COS%-cosx∣有解,所以"W[0,2];

當CoSX≤COSX∣時,同上;當CoSXlCCOSXCCoS/時,方程可化為〃=2COSX-(COSX2+COSXJ有解,

所以CoSXI-COSX2<“<COSX2-cosx∣恒成立,所以〃=0,所以加+〃的值的集合為{2}.故答案為:{2}.

【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題,考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),通過設(shè)cosx∣≤cos七,以及分類討

論COSX與COSXI,COSZ的大小情況,并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵,考查學生的分類討論思

想和邏輯分析能力.

16.(2022?浙江?模擬預測)已知在ZU8C中,是Z8/C的角平分線,與BC交于點D,M是/。的中點,

延長交/C于點,,HC0,tanNZλ4C=g,則喝=___________,啕=___________.

2IADIIACI

【答案】華?

【分析】(1)由tanND4C=J,求出COSC=述,在△/£>C中,利用余弦定理即可求得;(2)在AZBC中,

25

利用正弦定理,求出H=τ?=瞿,利用平面向量基本定理和三點共線建立方程組,解出幽=京.

CB4√516IAC\21

11

C

【詳解】

D

B

在A∕18C中,是N8/C的角平分線,所以N8∕0=ND4Ce(θ,∣J.

因為IZOI=ICQI,所以NC=NQ∕c.因為tanNQ4C=;,又siι√NO/C+cos?NDZC=1,

解得SinNTλ4C=,cosNTMC=2^.所以COSC=COSNZD4C=冬叵

555

222

△4。。中,設(shè)/C=九則Co=〃,由余弦定理得:AD=AC+CD-2AC?CDcosCf即

w2=7W2+n2-2mn×^^-,LΨm=n×,所以IACI_w_4^5

55?AD?n5

在4/8C中,sinZC=sinZ-DAC=—,cosC=COSNZMC_2y[^

55

因為力。是乙8力C的角平分線,所以SinNe∕3=sin2ND4C

所以SinNe=2sinZD4CcosZCUC=2χ更?4,3

2,cosZCJB=l-2sin2ZZ)^C=l-2×

5555

過.由正弦定理得:ACBC

所以SinNC8Z=sin(N3ZC+NC)=→~~i'^x~~^=

25sinZ.CBAsinZ.CAB

4

rc-l.,力八s\nZ.CAB?4圓?/?▼,CD4_11

所以BC=――77^Γ1AC=Tim=~ΓΓm.而CQ=40=—w'所以司二市=m?

sinZ.CBA???114

25V

11

取刀,就為基底,則由〃、區(qū)8三點共線可得:石7=(lf)正+w前①;、

由C、£),8三點共線可得:AD=[?-μ)AC+μAB:

B∣J∑O-JC=√(Zs-^c),所以麗=江瓦所以〃=二即而=2正+3萬②.

'/161616

因M是的中點,所以而=2萬7,①式化為:2AM=2(i-λ)AH+2λAB,即而=2(IT)屈+2/1存③

、「、11

2λ=-H久=—

16解得,32,即圜Q案尋?

設(shè)=',則麗=Z祀②③對照得:5,

I力Cl5

2(i)f=nt=—

I21

【點睛】在解三角形中,選擇用正弦定理或余弦定理,可以從兩方面思考:

(1)從題目給出的條件,邊角關(guān)系來選擇;(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇.

四、解答題

,4一.-.rsin∕-sin8+sinCsin^

17VH

?(202「黑龍江.高二期中)已知UBC的內(nèi)角4反C滿足一菽一=sitvf+s,ng-sinc

(1)求角出(2)若C的外接圓半徑為1,求445C的面積S的最大值.

【答案】(1)£(2)空

34

■八LL?,、“sinyi-sinB+sinCSinB

【分析】(1)將,轉(zhuǎn)化為/+02一/=兒,再由余弦定理求解;

sinCSirL4+sinB-SinC

⑵根據(jù)A∕8C的外接圓半徑為1,得到α=2Rsin/=百,再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得從≤3,

再由S,=Jbcsin/求解.

SinJ-Sin8+sin。SinB,所以""Cb.

(1)解:因為

sinCsinJ+sinB-sinCca+b-c

b2+c2-a

BP?2+c2-a2=be所以cos4=?,因為∕e(0,1),所以∕=g;

t2bc

(2)因為zU8C的外接圓半徑為1,所以α=2HsinN=√L

222

由余弦定理得Q=〃+(?-26ccos4,=b+c-be≥bet所以bcw3,當且僅當b=c時,等號成立,

所以S-BC=LcSinZjX3x9=迎,故AXBC的面積S的最大值是邁?

△we22244

18.(2021?廣西玉林?高三期中)已知函數(shù)/(x)=2COS2x+2gSinXeosx.(1)若xeR,求/(幻的單調(diào)遞

增區(qū)間;(2)若/(x)在[0,M上的最小值為2,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)Γ-→^,→^^l"eZ)⑵(θ,g

L??JI3」

【分析】⑴先化簡得到/(x)=2sin(2x+3)+l,利用復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”列不等式求出/(X)的

遞增區(qū)間;.(2)利用單調(diào)性實數(shù)加的取值范圍.

(1)/(x)=2cos。x+2V5sinxcosx=cos2xW?sin2x+1=2si∕2x看)+.

令一?∣?+2Z"≤2x+/≤?∣?+2A”,(ZWZ)解得一(+%"≤X≤?+,(AWZ)

:.f(x)的遞增區(qū)間為一g+%",g+A”(AeZ).

36_

(2)X∈[θ,w]得2XH—∈—,—F27w.

f666_

???∕(X)在[0,m]上的最小值為2,.?.%2m≤孚,解得me(θ,g,

6613」

19.(2021?上海普陀?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=0sin(3x+r)(3>O,O<3<"),該函數(shù)圖像上相鄰兩個最高點之

間的距離為4”,且/(x)為偶函數(shù).⑴求3和0的值;(2)在“BC中,角4氏C的對邊分別為。、Ac,

若(2〃-c)cos5=?cosC,求/2(⑷+尸(C)的取值范圍.

【答案】⑴ω=∣,<p=y⑵(?∣,3

【分析】⑴由題可得生=4",ip=kn+R,kcZ,即求;

ω2

(2)利用正弦定理可得(2SinZ-SinC)CoSB=SinBcosC,進而可得8=$/+C=,,再利用二倍角公式、

和差角公式及輔助角公式可得尸㈤+尸(C)=Sin。+/+2,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即求.

(1)?.?函數(shù)圖像上相鄰兩個最高點之間的距離為4”,.?.至=4",解得3

又/(X)為偶函數(shù),.[*=版^+?∣,%eZ,又Q<φ<ττ,.?.√>=y.

(2)?,?(2。-C)CoS8=6COSC,.?.(2sin√4-sinC)co

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論