第6講 函數(shù)的概念及其表示（解析版）

第6講函數(shù)的概念及其表示基礎知識1.函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義一般地,給定兩個A與B,以及對應關(guān)系f,如果對于集合A中的,在集合B中都有的實數(shù)y與x對應,則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù),記作,x∈A.

(2)函數(shù)的三要素函數(shù)由、和對應關(guān)系三個要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中,范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的,組成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法:、、.

3.分段函數(shù)如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的,則稱其為分段函數(shù).

1.(1)非空實數(shù)集每一個實數(shù)x唯一確定y=f(x)(2)定義域值域自變量取值的定義域所有函數(shù)值2.解析法圖象法列表法3.對應關(guān)系常用結(jié)論1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.(6)y=logax(a>0且a≠1)的定義域為{x|x>0}.(7)y=tanx的定義域為xx≠kπ+π2,k∈Z.2.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為4ac-+∞;當a<0時,值域為-∞,4ac-b2(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.分類訓練探究點一函數(shù)的定義域角度1求給定解析式的函數(shù)的定義域例1(1)函數(shù)y=-x2+3x+4A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4]C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞)(2)函數(shù)f(x)=x+1+(2-x)0的定義域為[總結(jié)反思](1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成的,則定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對解析式化簡變形,否則易出現(xiàn)定義域錯誤.例1[思路點撥](1)根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負、分母不為零、對數(shù)的真數(shù)大于零列不等式組求解,即得結(jié)果;(2)根據(jù)偶次根式下的代數(shù)式不小于0、零次冪的底數(shù)不為0列不等式組求解即可.(1)A(2){x|x≥-1且x≠2}[解析](1)由題意得-x2+3x+4≥(2)由x+1≥0,2-x≠0,解得x≥-1且x≠2,∴函數(shù)f(x)=x+1+(2-x)變式題我們知道一天的溫度y(℃)隨時間t(h)的變化而變化,圖2-6-1是某地一天4:00~12:00的溫度變化情況,則溫度y與時間t的函數(shù)中定義域為.

圖2-6-1變式題[4,12][解析]由題知t∈[4,12],則定義域為[4,12].角度2求抽象函數(shù)的定義域例2(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0),則函數(shù)y=f(x-1)x+1的定義域為A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)∪(-1,1)(2)已知函數(shù)y=f(2x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)y=f(log3x)的定義域是.

[總結(jié)反思](1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式組a≤g(x)≤b求出;(3)若復合函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b],則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在[a,b]上的值域.例2[思路點撥](1)根據(jù)f(x)的定義域以及分母不為零列不等式組,即得定義域;(2)由題意可得出12≤log3x≤2,進而可求得函數(shù)y=f(log3x)的定義域(1)D(2)[3,9][解析](1)由函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)可知,若y=f(x-1)x+1有意義,則x-1<0,x+1≠0,解得x(2)由題意可得12≤2x≤2,所以12≤log3x≤2,解得3≤x≤9,故所求定義域為[3變式題(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),則函數(shù)g(x)=f(2x)+1-lgx的定義域為 A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x<10}C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<1}(2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(-2,2),函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x),則函數(shù)g(x)的定義域為.

變式題(1)C(2)12,52[解析](1)由題得-2<2x<2,1-lgx≥0,x>0,解得0<x<(2)∵f(x)的定義域為(-2,2),∴由-2<x-1<2得x∈(-1,3),由-2<3-2x<2得x∈12,52,∴g(x)=f(x-1)+f(3-2x)的定義域為12,52.探究點二函數(shù)的解析式例3(1)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)-2x]=3恒成立,則f(3)= ()A.1 B.3 C.5 D.7(2)已知函數(shù)f(x+1)=x-4,則f(x)=.

(3)若f(x)+3f1x=x+3x-2log2x,且對任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,則m的取值范圍為.

[總結(jié)反思]求函數(shù)解析式的常用方法:(1)換元法:已知復合函數(shù)f[g(x)]的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍.(2)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法.(3)配湊法:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程組法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).例3[思路點撥](1)設出一次函數(shù)的解析式,利用待定系數(shù)法,根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù),即得解析式,然后再求f(3)的值;(2)利用換元法求解析式(或用配湊法求解);(3)先利用解方程組法求解f(x)的解析式,再由對任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,可得m的取值范圍.(1)D(2)x2-2x-3(x≥1)(3)(-∞,3][解析](1)設f(x)=ax+b,a≠0,則f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b.因為f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,所以f(x)=2x+1,則f(3)=7.故選D.(2)方法一(換元法):令t=x+1≥1,則x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),故f(x)=x2-2x-3(x≥1).方法二(配湊法):由題可知x+1≥1,f(x+1)=x-4=(x+1)2-2(x+1)-3,故f(x)=x2-2x-3(x≥1).(3)由f(x)+3f1x=x+3x-2log2x①,可得f1x+3f(x)=1x+3x-2log21x②,由②×3-①得f(x)=x+log2x.又對任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,f(x)=x+log2x在(2,4)上單調(diào)遞增,∴m≤f(2)=3變式題(1)已知f1x=x1-x,則f(x)的解析式為 (A.f(x)=1-xx(x≠0且xB.f(x)=11-x(x≠0且xC.f(x)=1x-1(x≠0且x≠D.f(x)=xx-1(x≠0且x≠(2)已知f(x)滿足3f(x)+2f(-x)=4x,則f(x)=.

(3)若一次函數(shù)f(x)滿足f[f(x)]=x+4,則f(-1)=.

變式題(1)C(2)4x(3)1[解析](1)令t=1x,則x=1t,∵x≠1且x≠0,∴t≠1且t≠0,∴f(t)=1t1-1t=1t-1(t≠1且t≠0),∴f(x(2)因為3f(x)+2f(-x)=4x①,所以3f(-x)+2f(x)=-4x②,①×3-②×2,得5f(x)=20x,所以f(x)=4x.(3)因為f(x)是一次函數(shù),所以可設f(x)=kx+b(k≠0),則f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+4,所以k2=1,kb+b=4,解得k=1,b=2,所以f(x)探究點三以分段函數(shù)為背景的問題 微點1分段函數(shù)的求值問題例4(1)已知函數(shù)f(x)=2-x,x≥-1,log2(1-x),x(2)設函數(shù)f(x)=ax,x≥0,f(x+4a),x<0(a>0且a≠1),若f(2[總結(jié)反思]求分段函數(shù)的函數(shù)值時務必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應關(guān)系.對于復合函數(shù)的求值問題,應由里到外依次求值.例4[思路點撥](1)根據(jù)x的取值,先計算f(0),再計算f(-3),然后相減即可;(2)根據(jù)給出的f(2)的值求出分段函數(shù)的解析式,然后根據(jù)周期性求出函數(shù)值.(1)-1(2)16[解析](1)由題意得f(0)=20=1,f(-3)=log2[1-(-3)]=log24=2,∴f(0)-f(-3)=1-2=-1.(2)由題意得4=f(2)=a2,因為a>0,所以a=2,則f(x)=2所以f(-2020)=f(-2012)=…=f(-4)=f(4)=24=16.微點2分段函數(shù)與方程例5(1)函數(shù)f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x≥0,若實數(shù)a滿足f(a)=f(a-1),A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知函數(shù)f(x)=log2(3-x),x≤0,2x-1,x>0,[總結(jié)反思](1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進行分類討論,再求值.例5[思路點撥](1)對實數(shù)a按0<a<1和a≥1進行分類討論,根據(jù)自變量的取值范圍代入相應的解析式計算即可得到答案;(2)分a-1≤0與a-1>0兩種情況,利用分段函數(shù)列出方程,轉(zhuǎn)化求解即可.(1)D(2)log23[解析](1)由題知,f(x)的定義域是(-1,+∞),所以a>0.①當0<a<1時,-1<a-1<0,則f(a)=f(a-1)可化為2a=a,可得a=14,所以f1a=f(4)=8;②當a≥1時,a-1≥0,則f(a)=f(a-1)可化為2a=2(a-1),該方程無解.故選D.(2)當a-1≤0,即a≤1時,可得log2(3-a+1)=12,解得a=4-2>1,不符合題意,舍去;當a-1>0,即a>1時,可得2a-1-1=12,解得a=log23>故a=log23.微點3分段函數(shù)與不等式問題例6(1)已知f(x)=cosπx,x∈[0,12],2(2)已知函數(shù)f(x)=3(x<12),1x(x≥12),則不等式x[總結(jié)反思]涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題,主要表現(xiàn)為解不等式.當自變量的取值不確定時,往往要分類討論求解;當自變量的取值確定但分段函數(shù)中含有參數(shù)時,只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應解析式求解.例6[思路點撥](1)分x∈0,12和x∈12,+∞兩種情況討論求解,結(jié)果取并集;(2)分x<12和x≥12兩種情況進行討論,然后取兩種情況中解集的并集.(1)x13≤x≤34(2){x|-1≤x≤1}[解析](1)當x∈0,12時,由f(x)≤12,得cosπx≤12,則πx∈π3,π2,所以x∈13,12;當x∈12,+∞時,由f(x)≤12,得2x-1≤12,解得x≤34,所以x∈12,34.故不等式f(x)≤12的解集為x13≤x≤(2)由題意有x<12,3x2+x-2≤0或x≥12,x2?應用演練1.【微點3】設函數(shù)f(x)=log2(-x),x≤-2,1,x>-2,則滿足f(x+1A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,-1)1.D[解析]∵函數(shù)f(x)=log2(-x),x≤-2,1,∴由f(x+1)<f(2x)得2x<x+1,2x2.【微點3】已知函數(shù)f(x)=2x+1,x≤1,lnx+1,x>1,則滿足f(x)+f(x+1A.(-1,+∞) B.-34,+∞C.(0,+∞) D.(1,+∞)2.B[解析]當x≤1,x+1≤1,即x≤0時,由f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1,得-34<x≤0;當x>1,x+1>1,即x>1時,因為lnx+1>1,ln(x+1)+1>1,所以當x>1時,f(x)+f(x+1)>1恒成立;當x≤1,x+1>1,即0<x≤1時,1<x+1≤2,所以f(x)+f(x+1)=2x+1+3.【微點2】已知函數(shù)f(x)=-x2+ax,x≤2,2ax-5,x>2,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1A.(-∞,4) B.-∞,14C.(-∞,3) D.(-∞,8)3.A[解析]由題意知,y=-x2+ax圖象的對稱軸方程為x=a2.當a2<2,即a<4時,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,一定存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x當a2≥2,即a≥4時,由題意知-22+2a>4a-5,解得a<12,不符合題意.綜上所述,a∈(-∞,4).4.【微點2】已知f(x)=log2x,x>0,-2-x+1,4.8[解析]當x>0時,由log2x=3,得x=8;當x≤0時,由-2-x+1=3得-2-x=2,無解.故方程f(x)=3的解是x=8.5.【微點1、微點3】若函數(shù)f(x)=lgx,x>0,|x2+2x|,x≤0,則ff1010=,不等式f(x+15.34-3+32,-32∪[0,+∞)[解析]f1010=lg1010=lg10-12=-12,f-12=-122+2×-12=34,故ff1010=34.作出函數(shù)y=f(x)的圖象(實線)和y=f(x+1)的圖象(虛線),如圖所示.若f(x+1)≥f(x),則圖中虛線在實線上方即可.①當x≥0時,顯然符合題意;②當x≤-3或-1≤x<0時,顯然不符合題意;③當-3<x<-1時,由二次函數(shù)圖象的對稱性可知xA=-32,由x2+2x=-[(x+1)2+2(x+1)],解得x1=-3+32,x2=-3-32>-2(舍去),∴xB=-3+32,若f(x+1)≥f(x),則-3+32≤x≤-32.綜上所述,原不等式的解集為同步作業(yè)1.函數(shù)f(x)=1x2-2xA.(0,2) B.[0,2]C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞)1.C[解析]由x2-2x>0,得x<0或x>2,∴函數(shù)f(x)=1x2-2x的定義域為(-∞,0)∪(2,+∞2.已知集合A={x|y=x-2},B={x|y=ln(x-1)},則A∩B= (A.{x|x≥2} B.{x|1≤x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|x>2}2.A[解析]由題意得,A={x|y=x-2}={x|x≥2},B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},則A∩B={x|x≥2}.故選A3.已知函數(shù)f(x)=-ex,x≥0,ax2,x<0,A.1 B.0 C.-1 D.23.A[解析]因為f[f(0)]=f(-e0)=f(-1)=a(-1)2=1,所以a=1.故選A.4.下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是 ()A.y=-2x3與B.y=(x)2與y=|x|C.y=x+1·x-1與D.f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-14.D[解析]選項A中,兩個函數(shù)的對應關(guān)系不同,不符合題意;選項B中,兩個函數(shù)的定義域不同,對應關(guān)系也不同,不符合題意;選項C中,兩個函數(shù)的定義域不同,不符合題意;選項D中,兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系都相同,符合題意.故選D.5.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)=2f1xx-1,則f(x)=.

5.23x+13[解析]在f(x)=2f1xx-1中,用1x代替x,得f1x=2f(x)1x-1,由f(x)=2f(1x6.已知fx-1x=x2+1x2,則f(3)=6.11[解析]∵fx-1x=x-1x2+2,∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f(3)=32+2=11.7.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0,若fA.[-1,0) B.[0,1]C.[-1,1] D.[-2,2]7.C[解析]若x<0,則-x>0,f(-x)=x2-2x=f(x),若x>0,則-x<0,f(-x)=x2+2x=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且當x≥0時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.不等式f(-a)+f(a)≤2f(1)等價于2f(a)≤2f(1),即f(a)≤f(1),∴|a|≤1,∴-1≤a≤1,故選C.8.汽車的燃油效率是指汽車每消耗1L汽油行駛的路程,圖K6-1描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列說法中正確的是 ()圖K6-1A.消耗1L汽油,乙車最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程,三輛車中甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1h,消耗10L汽油D.某城市機動車限速80km/h,相同條件下在該市用丙車比用乙車更省油8.D[解析]對于A,由圖可知,當速度大于40km/h時,乙車的燃油效率大于5km/L,∴當速度大于40km/h時,消耗1L汽油,乙車行駛的路程大于5km,故A錯誤;對于B,由圖可知,當速度相同時,甲車的燃油效率最高,即當速度相同時,消耗1L汽油,甲車的行駛路程最遠,∴以相同速度行駛相同路程,三輛車中甲車消耗汽油最少,故B錯誤;對于C,由圖可知,當速度為80km/h時,甲車的燃油效率為10km/L,即甲車行駛10km時消耗1L汽油,故行駛1h,路程為80km,消耗8L汽油,故C錯誤;對于D,由圖可知,當速度小于80km/h時,丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率,∴用丙車比用乙車更省油,故D正確.故選D.9.下列函數(shù)中值域是[1,+∞)的是()A.y=x3+1 B.y=10-x+1C.y=log2x+1 D.y=2|x|9.D[解析]選項A中,函數(shù)y=x3的值域為R,故函數(shù)y=x3+1的值域為R;選項B中,函數(shù)y=10-x的值域為(0,+∞),故函數(shù)y=10-x+1的值域為(1,+∞);選項C中,函數(shù)y=log2x的值域為R,故函數(shù)y=log2x+1的值域為R;選項D中,函數(shù)y=|x|的值域為[0,+∞),故函數(shù)y=2|x|的值域為[1,+∞).故選D.10.(多選題)已知函數(shù)f(x)=lg(-x),x<0,ex-1,x≥0.若fA.1 B.-1 C.10 D.-1010.AD[解析]∵f(x)=lg(-x),x<0,ex-1,x≥0,∴f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.當a≥0時,由f(a)=1,可得a=1;當a<0時,由f(a11.(多選題)中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學》中首次將“function”譯為“函數(shù)”,沿用至今.為什么這么翻譯,書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者,則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數(shù)定義.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},給出下列四個對應關(guān)系,請由函數(shù)的定義判斷,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是 ()A.y=log2|x| B.y=x+1C.y=2|x| D.y=x211.CD[解析]對于A,當x=-1時,y=0,集合N中不存在;對于B,當x=-1時,y=0,集合N中不存在;對于C,當x=-1時,y=2,當x=1時,y=2,當x=2時,y=4,當x=4時,y=16,所以C選項符合題意;對于D,當x=-1時,y=(-1)2=1,當x=1時,y=12=1,當x=2時,y=22=4,當x=4時,y=42=16,所以D選項符合題意.故選CD.12.已