北京首都醫(yī)科大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

北京首都醫(yī)科大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)l，m是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，則下列命題正確的是

．①若l⊥m，m⊥α，則l⊥α或l∥α

②若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α③若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交

④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β參考答案：②【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；分析法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】對于四個選項利用線面平行與垂直以及面面平行與垂直的定理，公理逐個進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，則l?α或l∥α，故①錯；②由面面垂直的性質(zhì)定理知，若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α，故②對；③若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交，或l與m異面，故③錯；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β或l∥β或l?β，或l與β相交．故④錯．故答案為：②【點(diǎn)評】本題主要考查空間中直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系．是對課本定理，公理以及推論的考查，是基礎(chǔ)題．2.橢圓M：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且

的最大值的取值范圍是，其中.則橢圓M的離心率e的取值范圍是（

）.

A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）

A．

B．

C．

D． 參考答案：B4.已知三數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)為(

)A．沒有 B．1個 C．2個 D．不能確定參考答案：A【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知可得b2=ac＞0，進(jìn)而判斷判別式的符號，進(jìn)而可確定函數(shù)圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)．【解答】解：∵三數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，∴函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸無公共點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．5.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A

直角三角形

B

等腰或直角三角形

C

不能確定

D

等腰三角形參考答案：B略6.已知a，b都是實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，則“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)a＞0，b＞0時，若a＞b，則lna＞lnb，此時a+lna＞b+lnb成立，即充分性成立，設(shè)f（x）=x+lnx，當(dāng)x＞0時，f（x）為增函數(shù)，則由a+lna＞b+lnb得f（a）＞f（b），即a＞b，即必要性成立，則“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要條件，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7.若雙曲線的右支上一點(diǎn)P（a,b）到直線y=x的距離為，則a+b的值是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B錯解：C錯因：沒有挖掘出隱含條件8.已知，且是純虛數(shù)，則＝()A．

B．

C．

D．參考答案：B9.兩直線3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置關(guān)系是（

）

A．平行

B．相交

C．重合

D．視M而定參考答案：B10.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項和為Sn,則A.2B.4C.D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始終平分圓（x+1）2+（y﹣2）2=4的周長，則ab的最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由題意可得直線2ax﹣by+2=0過圓心（﹣1，2），即a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：∵直線2ax﹣by+2=0始終平分圓（x+1）2+（y﹣2）2=4的周長，∴直線2ax﹣by+2=0過圓心（﹣1，2），∴﹣2a﹣2b+2=0，∴a+b=1．∵求ab的最大值，∴a＞0，b＞0．由基本不等式可得1=a+b≥2，∴ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，故ab的最大值等于，故答案為．【點(diǎn)評】題主要考查基本不等式的應(yīng)用，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是

．參考答案：略13.已知，則=

。參考答案：0略14.對于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是___________。參考答案：15.直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為（-1，1），則直線l的方程為

.參考答案：3x-4y+7=016.已知向量，若，則等于

。參考答案：17.當(dāng)時，有當(dāng)時，有當(dāng)時，有當(dāng)時，有當(dāng)時，你能得到的結(jié)論是：

．參考答案：=略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，他們的對邊分別為a、b、c，且． （1）求A； （2）若，求bc的值，并求△ABC的面積． 參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的余弦函數(shù)． 【專題】解三角形． 【分析】（1）已知等式左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，求出B+C的度數(shù)，即可確定出A的度數(shù)； （2）利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積． 【解答】解：（1）∵A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=， ∴B+C=， 則A=； （2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣， ∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc， 解得：bc=4， 則S△ABC=bcsinA=×4×=． 【點(diǎn)評】此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵． 19.（本小題滿分10分）先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。（1）求點(diǎn)在直線上的概率；（2）求點(diǎn)滿足的概率。參考答案：所有可能的情況共有6×6=36種（如下圖）（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）（1）每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有種情況，所以基本事件總數(shù)為個.（3分）

記“點(diǎn)在直線上”為事件，有5個基本事件：，

（2）記“點(diǎn)滿足”為事件，則事件有個基本事件:當(dāng)時，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；當(dāng)時，

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

20.某高中為了解高中學(xué)生的性別和喜歡打籃球是否有關(guān)，對50名高中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡打籃球不喜歡打籃球合計男生

5

女生10

合計

已知在這50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為（Ⅰ）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（Ⅱ）判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)？附：K2=p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）計算喜歡打籃球的人數(shù)和不喜歡打籃球的人數(shù)，填寫列聯(lián)表即可；（Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K2，對照臨界值表得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，喜歡打籃球的人數(shù)為50×=30，則不喜歡打籃球的人數(shù)為20，填寫2×2列聯(lián)表如下：

喜歡打籃球不喜歡打籃球合計男性20525女性101525合計302050（Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算K2===3＜7.879，對照臨界值知，沒有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)．21.已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切。（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P，且傾斜角為的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)，A，B在直線上的射影是。求梯形的面積；（3）若點(diǎn)C是（2）中線段上的動點(diǎn)，當(dāng)△ABC為直角三角形時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。參考答案：解:（1）曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為.（2）由題意得，直線AB的方程為

消y得

于是，A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B（3，），所以，

（3）設(shè)C（－1，y）使△ABC成直角三角形，

，

，

.

(i)當(dāng)時，方法一：當(dāng)時，，

即為直角.C點(diǎn)的坐標(biāo)是方法二：當(dāng)時，得直線AC的方程為，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是。(ii)因?yàn)?，所以，不可能為直?(iii)當(dāng)時，方法一：當(dāng)時，，

即，解得，此時為直角。方法二：當(dāng)時，由幾何性質(zhì)得C點(diǎn)是的中點(diǎn)，即C點(diǎn)的坐標(biāo)是。故當(dāng)△ABC為直角三角形時，點(diǎn)C的坐標(biāo)是或

略22.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m．（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）求被橢圓截得的最長弦所在直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時，直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組有解，等價于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；（