江西省宜春市第九中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘；一、單選題（12小題，每小題5分，共60分）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．與 B．與C．與 D．與3．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．5．下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．6．在映射f：中，，，M中的元素對應(yīng)到N中的元素，則N中的元素的原象為（）A． B． C． D．和7．已知全集，集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則陰影部分所表示集合中的元素共有（）A．個 B．個 C．個 D．無窮多個8．函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．， D．，10．函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的最小值為（）A．6 B． C． D．212．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，，均有.且當(dāng)時，，，那么表達(dá)式（）A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則函數(shù)_____14．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：則滿足f(g(x))＝g(f(x))的x的值為________.x1234f(x)1313g(x)323215．已知是定義在上的偶函數(shù)，則等于_______.16．某同學(xué)在研究函數(shù)

f（x）=（x∈R）

時，分別給出下面幾個結(jié)論：①等式f（x）=f（x）在x∈R時恒成立；②函數(shù)f（x）的值域為（1，1）；③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；④方程f（x）=x在R上有三個根．其中正確結(jié)論的序號有______．（請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）三、解答題（共70分）17（10分）．已知集合，，.（1）若，求；．（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18（12分）．設(shè)函數(shù)，.（1）寫出時分段函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)亩x域為時，畫出圖象的簡圖并寫出的單調(diào)區(qū)間.19（12分）．已知函數(shù)，（1）若，求在區(qū)間上的最小值；（2）若在區(qū)間上有最大值3，求實數(shù)的值.20（12分）．已知函數(shù)，.（1）判定函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21（12分）．已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間（2）求時，函數(shù)的最大值.22（12分）．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）求的值；（2）求此函數(shù)在上的解析式；（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.23（12分）．函數(shù)的定義域為,且對任意,有,且當(dāng)時.（1）證明:是奇函數(shù);（2）證明:在上是減函數(shù);（3）求在區(qū)間上的最大值和最小數(shù)學(xué)試卷參考答案1．C，，因此，.故選：C.2．B選項A：的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù).選項B：和函數(shù)的定義域、法則和值域都相同，故是同一函數(shù).選項C：的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù).選項D：的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù).故選：B【點睛】本題考查判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】【分析】首先求得定義域，根據(jù)分式和復(fù)合函數(shù)定義域的要求可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】定義域為，即定義域為由題意得：，解得：或定義域為：本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)定義域的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過復(fù)合函數(shù)定義域確定定義域，從而利用分式和復(fù)合函數(shù)定義域的要求構(gòu)造不等式.4．A【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式分別求得的值，然后求解兩者之差即可.【詳解】由題意可得：，，則.故選A.【點睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．5．C【解析】【分析】A，B可直接通過一次函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；C利用以及平移的思路去判斷；D根據(jù)的圖象的對稱性判斷.【詳解】A．在上是減函數(shù)，不符合；B．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，不符合；C．可認(rèn)為是向左平移一個單位所得，所以在上是增函數(shù)，符合；D．圖象關(guān)于軸對稱，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不符合；故選C.【點睛】（1）一次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性直接通過的正負(fù)判斷；（2）二次函數(shù)的單調(diào)性判斷要借助函數(shù)的對稱軸和開口方向判斷；（3）復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性判斷還可以通過平移、翻折等變換以及圖象進(jìn)行判斷.6．C【解析】【分析】由題意得，再由，能求出中元素的原像.【詳解】由題意得，解得或，∵，∴中元素的原像為，故選：C.【點睛】本題考查象的原象的求法，考查映射等基礎(chǔ)知識，考運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A，再化簡B，最后根據(jù)交集與補集定義得結(jié)果.【詳解】因為，，所以陰影部分所表示集合為,元素共有4個，故選B【點睛】本題考查分式不等式以及交集與補集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．C【解析】【分析】配方即可得到，從而得出0≤≤2，即得出y的范圍，從而得出原函數(shù)的值域．【詳解】∵，∴0≤≤4；∴0≤≤2；∴函數(shù)的值域為[0,2].故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的值域，利用配方法即可，屬于簡單題.9．D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】∵當(dāng)時，函數(shù)f（x）的對稱軸為，又在上為增函數(shù)，∴，即，得1a，故選D．【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意分段處保證單調(diào)遞增．10．D【解析】【分析】易判斷f（x）在（∞，0）上的單調(diào)性及f（x）圖象所過特殊點，作出f（x）的草圖，根據(jù)圖象可解不等式．【詳解】∵f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，由f（3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，作出f（x）的草圖，如圖所示：由圖象，得解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集為：（﹣3，0）∪（0，3），故選D．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，靈活作出函數(shù)的草圖是解題關(guān)鍵．11．D【解析】【分析】用絕對值三角不等式求得最小值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以．故選：D．【點睛】本題考查絕對值三角不等式，利用絕對值三角不等式可以很快求得其最值，本題也可以利用絕對值定義去掉絕對值符號，然后利用分段函數(shù)性質(zhì)求得最值．12．C【解析】【分析】由是定義在，上的奇函數(shù)，且，推出，，再結(jié)合當(dāng)時，，推出，，，，由題意可得對任意的，，，均有，進(jìn)而得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)算出最終結(jié)果．【詳解】解：由，令，得，令，則﹐當(dāng)時，，，即，，且，，，對任意的，，均有，，同理.是奇函數(shù)，，故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值計算，屬于中檔題．13．2【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點代入求出，即可求解.【詳解】設(shè)，的圖象經(jīng)過，.故答案為:2.【點睛】本題考查冪函數(shù)的定義以及函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14．2或4【解析】【分析】對于的任一取值，分別計算和的值若兩個值相等，則為正確的值.【詳解】當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，符合題意.故填或.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的對應(yīng)法則，考查復(fù)合函數(shù)求值.在計算這類型題目的過程中，往往先算出內(nèi)部函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，再計算外部函數(shù)的函數(shù)值.屬于基礎(chǔ)題.15．6【解析】【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點對稱、即可求出參數(shù)、的值；【詳解】解：已知是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得，又，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16．①②③【解析】【分析】由奇偶性的定義判斷①正確，由分類討論結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性求解②；根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)區(qū)間上的值域說明③正確；由只有一個根說明④錯誤．【詳解】對于①，任取，都有，∴①正確；對于②，當(dāng)時，，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知時，，且時，，②正確；對于③，則當(dāng)時，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)知，在上是增函數(shù)，且；再由的奇偶性知，在上也是增函數(shù)，且時，一定有，③正確；對于④，因為只有一個根，∴方程在上有一個根，④錯誤．正確結(jié)論的序號是①②③．故答案為：①②③．【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.17．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)，求出集合，按交集、并集和補集定義，即可求解；（2）對是否為空集分類討論，若，滿足題意，若，由確定集合的端點位置，建立的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】（1）若時，，∴，由或，所以（2）由知當(dāng)時∴當(dāng)時或∴或綜上：的取值范圍是.【點睛】本題考查集合間的運算，以及集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍，不要忽略了空集討論，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）圖見解析；單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】(1)代入求解即可.(2)根據(jù)一次函數(shù)與分式函數(shù)的圖像畫圖,再根據(jù)圖像判斷單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）；（2）的圖象如下圖所示：單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與一次函數(shù)、分式函數(shù)的圖像與性質(zhì)等.屬于基礎(chǔ)題.19．（1）；（2）或.【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)對稱軸，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最小值取法（2）根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系三種情況分類討論最大值取法，再根據(jù)最大值為3，解方程求出實數(shù)的值試題解析：解：（1）若，則函數(shù)圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，有又，（2）對稱軸為當(dāng)時，函數(shù)在在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，則，即；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，則，解得，不符合；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則，解得；綜上所述，或點睛：(1)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；(2)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.20．（1）單調(diào)遞增,證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)求得的值,得函數(shù)解析式.進(jìn)而利用作差法證明函數(shù)單調(diào)性即可.（2）構(gòu)造函數(shù).根據(jù)（1）中函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合的單調(diào)性,可判斷的單調(diào)性,求得最小值后即可求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù),代入可得,則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明:任取滿足,則因為,則所以,即所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）若在恒成立則,令由（1）可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以所以即可滿足在恒成立即的取值范圍為【點睛】本題考查了利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解決恒成立問題,屬于基礎(chǔ)題.21．（1）單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最大值為.，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．【解析】【分析】（1）對函數(shù)去絕對值，表示成分段函數(shù)模型并作出圖像，由函數(shù)圖像進(jìn)行判斷．（2）令（），解出，對實數(shù)的范圍分類討論求解．【詳解】（1），由分段函數(shù)的圖象知,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，函數(shù)的最大值為當(dāng)時，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時，函數(shù)的最大值為.【點睛】（1）考查了分段函數(shù)單調(diào)性問題，結(jié)合分段函數(shù)圖像可直接判斷單調(diào)區(qū)間.（2）主要考查了分類討論思想，結(jié)合分段函數(shù)圖像，對區(qū)間端點的范圍討論，自變量的范圍不同，對應(yīng)的函數(shù)的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：(1)利用奇函數(shù)的特性,定義在的奇函數(shù)必過原點,易得值；(2)當(dāng),則,根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及當(dāng)時,,可得函數(shù)在時的解析式,進(jìn)而得到函數(shù)在上的解析式；(3)根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì),可分析出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而將原不等式變形,解不等式可得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）為上的奇函數(shù)，；（2）設(shè)，則，，又為奇函數(shù)，，即，.（3）在上為增函數(shù)，且，為上的奇函數(shù)，為上的增函數(shù)，原不等式可變形為：即，對任意恒成立，（分離參數(shù)法）另法：即，對任意恒成立，∴解得：，取值范圍為.考點：函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的解析式；解不等式.【方法點晴】(1)由奇函數(shù)的特性,在時必有，，故定義在的奇函數(shù)必過原點；(2)當(dāng),則,根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及當(dāng)時,,可得函數(shù)在時的解析式,進(jìn)而得到函數(shù)在上的解析式；(3)根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì),可分析出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而將原不等式變形,解不等式可得實數(shù)的取值范圍.23．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)最大值是6,最小值是6.【解析】【分析】（1）令x＝y(tǒng)＝0，則可得f（0）＝0；y＝﹣x，即可證明f（x）是奇函數(shù)，（2）設(shè)x1＞x2，由已知可得f（x1﹣x2）＜0，再利用f（x+y）＝f