寧夏銀川市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題

銀川一中2020/2021學(xué)年度(上)高二期中考試數(shù)學(xué)(理科)試卷命題教師：一、選擇題（本大題共12題，共60分）1．已知命題p：，下列形式正確的是（）A．，使得 B．，使得C． D．2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|=5，則|PF2|=（）A．1 B．3 C．3或7 D．1或94．“3<m<4”是“方程表示橢圓”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要5．甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測(cè)試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示．若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是，則下列結(jié)論正確的是（）A．；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定 B．；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定C．；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定D．；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定6．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.在上述事件中，是對(duì)立事件的為（）A．① B．② C．③ D．④7．在數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（）A． B． C． D．8．在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”（如圖）證明了勾股定理，證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！边@里的“實(shí)”可以理解為面積。這個(gè)證明過(guò)程體現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系：“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和（朱實(shí)二），4個(gè)全等的直角三角形的面積的和（朱實(shí)四）加上中間小正方形的面積（黃實(shí)）等于大正方形的面積（弦實(shí)）”。若弦圖中“弦實(shí)”為16，“朱實(shí)一”為，若隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆（大小忽略不計(jì)），則其落入小正方形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．9．圓的半徑為4，圓心為是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．10．已知P為橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x3)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．6 B．7 C．10 D．1311．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若|QP|=|QF2|，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過(guò)F1，若的內(nèi)切圓面積為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,y2)，則|y2y1|的值為（）A．3 B． C． D．6二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____．14．某中學(xué)共有360名教師，其中一線教師280名，行政人員55人，后勤人員25人，采取分層抽樣，擬抽取一個(gè)容量為72的樣本，則一線教師應(yīng)該抽_(kāi)_____人．15．在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三天的下雨情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為_(kāi)_____．16．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過(guò)F2，且和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，，與的面積之比為3：1，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____________．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.（本小題10分）已知a<3，設(shè)p：，q：x2+4x5>0．

(1)若p是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．AOBF1AOBF1F2xy如圖，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，且滿足AF1⊥x軸，∠AF2F1=30°，直線AF2與橢圓C相交于另一點(diǎn)B．(1)求橢圓C的離心率e；(2)若的周長(zhǎng)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．分?jǐn)?shù)19.（本小題12分）分?jǐn)?shù)某校為了解學(xué)生對(duì)食堂的滿意程度，做了一次問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)三個(gè)年級(jí)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名同學(xué)進(jìn)行詢問(wèn)打分，將最終得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問(wèn)卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)若從打分區(qū)間在[60,70)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)，求抽出的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)來(lái)自打分區(qū)間[65,70)的概率．20.（本小題12分）某市2月份到8月份溫度在逐漸上升，因此居民用水也發(fā)生變化，如表顯示了某家庭2月份到6月份的用水情況.月份23456用水量（噸）4.55677.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程.（2）為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，該市自來(lái)水公司規(guī)定若每月每戶家庭用水不超過(guò)7噸，則水費(fèi)為2.5元/噸；若每月每戶家庭用水超過(guò)7噸，則超出部分水費(fèi)為3元/噸.預(yù)計(jì)該家庭8月份的用水量及水費(fèi).參考公式：，.21.（本小題12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的面積為1．求橢圓C的方程；若M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，記直線BM，AN的斜率分別為，，證明：為定值．

22.（本小題12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：x=ky+n與橢圓M相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C，求ΔABC面積的最大值．

高二期中數(shù)學(xué)(理科)參考答案(2020/2021上)112BBCBA,BBDCB,CA題號(hào)123456789101112答案BBCBABBDCBCA13.y=±13x14.5615.17.【答案】解：(1)因?yàn)閤2-(3+a)x+3a<0，a<3，

所以a<x<3，記A=(a,3)，

又因?yàn)閤2+4x-5>0，所以x<-5或x>1，

記B=(-∞,-5)∪(1,+∞)，

又p是￢q的必要不充分條件，所以有￢q?p，且p推不出￢q，

所以?RB?A，即[-5,1]?(a，3)，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(-∞,-5)．

(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，則有p?q，且q推不出p，

所以A?B，所以有(a,3)?(-∞,-5)∪(1,+∞)，即a≥1，18.【答案】解：(1)∵RtΔAF1F2中，，

∴AF2=2AF1,?F1F2=3AF1，(AF1>0)，

∴由橢圓的定義，2a=AF1+AF2=3AF1,2c=3AF1，

∴離心率e=ca=2c2a=3AF13AF1=33；

(2)ΔABF1的周長(zhǎng)=AF1+BF1+AB=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=43，

∴a=3，

∵e=ca=33，

∴c=1，

∴b2=a2-c2=2，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1.20.【答案】（1）；（2）9.2噸，24.1元.【詳解】（1），，，.∴，.∴關(guān)于的線性回歸方程為；（2）當(dāng)時(shí)，噸，水費(fèi)為元.∴預(yù)計(jì)該家庭8月份的用水量為9.2噸，水費(fèi)為24.1元.21.【答案】解：(1)由題意可得|OA|=a，|OB|=b，

所以a+b=3，且12ab=1，解得a=2，b=1，

所以橢圓的方程為x24+y2=1；

(2)證明：由(1)可得A(2,0)，B(0,1)，所以kMN=?12，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)直線MN的方程為y=?12x+t，

聯(lián)立直線MN與橢圓的方程22.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為B1(0,b)，B2(0,-b)，左焦點(diǎn)為F1(-c,0)，

則△B1B2F1是正三角形，所以2