2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第42講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系（講）

第42講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個(gè)平面的向量共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．4．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0題型歸納題型1空間向量的線性運(yùn)算【例11】（2019秋?龍巖期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，即可得出，然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：是的中點(diǎn)，．故選：．【例12】（2019秋?湘西州期末）如圖已知正方體中，是的中點(diǎn)，，，，，則A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)條件得解得，，．【解答】解：正方體，棱長為1，以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，0，，0，，，1，，，，，0，，0，，，因?yàn)?，所以?，，0，，，，0，解得，，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2019秋?咸陽期末）已知空間四邊形中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算法則，用，，表示出即可．【解答】解：如圖空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，，又為的中點(diǎn)，，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?濮陽期末）如圖，是三棱錐的底面的重心，若、、，則的值為A． B． C． D．1【分析】可想著再用，，表示，根據(jù)重心的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則，，從而便可得到，由此可求出．【解答】解：如圖，連結(jié)，是三棱錐的底面的重心，，，、、，，，．故選：．【名師指導(dǎo)】進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)結(jié)合圖形，明確圖形中各線段的幾何關(guān)系．(2)正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立．題型2共線、共面向量定理的應(yīng)用【例21】（2020春?和平區(qū)期中）已知空間向量，1，，，，，且，則實(shí)數(shù)A． B． C． D．6【分析】由，可設(shè)，可得，解出即可得出．【解答】解：，可設(shè)，，解得．故選：．【例22】（2019秋?吉安期末）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則A． B． C． D．【分析】利用向量共面基本定理即可得出結(jié)論．【解答】解：由共面知，，解得．故選：．【例23】（2019秋?駐馬店期末）已知空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是A．2 B．4 C． D．【分析】空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，可得存在實(shí)數(shù)，使得，即可得出．【解答】解：，2，，，4，，空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，則存在實(shí)數(shù)，使得，，解得，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2019秋?資陽期末）已知，，若，則A． B． C． D．【分析】由，可得存在實(shí)數(shù)使得，即可得出．【解答】解：，存在實(shí)數(shù)使得，，解得，，．則．故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2019秋?內(nèi)蒙古期末）已知點(diǎn)，2，，，4，，，，三點(diǎn)共線，則．【分析】利用向量共線定理即可的．【解答】1解：因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以可設(shè)．因?yàn)?，，解得，，．所以解得所以．故答案為?．【跟蹤訓(xùn)練23】（2020春?和平區(qū)期中）在下列條件中，使與，，一定共面的是A． B． C． D．【分析】利用空間向量基本定理進(jìn)行驗(yàn)證，可得時(shí)，、、是共面向量，從而可得、、、四點(diǎn)共面．【解答】解：在中，由，得，則、、為共面向量，即、、、四點(diǎn)共面；對于，由，得，不能得出、、、四點(diǎn)共面；對于，由，得，所以、、、四點(diǎn)不共面；對于，由，得，其系數(shù)和不為1，所以、、、四點(diǎn)不共面．故選：．【名師指導(dǎo)】共線、共面向量定理的類比三點(diǎn)P，A，B共線空間四點(diǎn)M，P，A，B共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))題型3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例31】（2019秋?岳麓區(qū)校級期末）棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）求．（3）求的長．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）利用，證明；（2）利用空間向量的數(shù)量積求出，；（3）利用空間向量的模長公式計(jì)算的值．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則，0，，，1，，，2，，，2，，，2，；（1），1，，，0，，，，；（2）由知，，2，，，，，，，，，，，，；（3）為的中點(diǎn)，，，，，1，，，，，，即的長為．【例32】（2019秋?天津期末）已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)A． B． C．1 D．2【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量公式，求得的值．【解答】解：空間向量，，若，，求得實(shí)數(shù)，故選：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2019秋?梅河口市校級期末）已知，1，，，，，，1，，則A．18 B． C． D．【分析】可以求出，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可．【解答】解：，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練32】（2019秋?秦皇島期末）在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）中，，，則的長為A．3 B． C．6 D．【分析】由，可得，即可得出．【解答】解：，則．．故選：．【名師指導(dǎo)】空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用求夾角設(shè)向量a，b夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)利用公式|a|2＝a·a，可將線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題題型4利用空間向量證明平行或垂直【例41】（2019秋?漢中期末）在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．（1）求的長（2）證明：平面；（3）證明：平面．【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)表示，代入長度公式求解；（2）求出的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷，再利用線面平行的判定定理證明；（3）利用，，可證直線垂直于、，再利用線面垂直的判定定理證明．【解答】解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，分別為，的中點(diǎn)，，1，，，1，，，0，，．（2），0，，，又平面，平面，平面．（3），，，，0，，，，，，又，平面．【跟蹤訓(xùn)練41】如圖，設(shè)為長方形所在平面外一點(diǎn)，在上，在上，若，用向量法證明：直線平面．【分析】建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，，三點(diǎn)坐標(biāo)，用此三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，，，然后觀察能否用表示出即可判斷線面是否平行．【解答】解：建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)，0，，，，，，，，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，．，，，．平面，平面，平面，平面．【跟蹤訓(xùn)練42】已知正方體的棱長為2，，分別是，的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，，，，，，的坐標(biāo)，求出，，．（1）利用向量的數(shù)量積為0求出平面的法向量，通過向量的數(shù)量積推出，利用直線與平面平行的判定定理證明平面．（2）求出平面的一個(gè)法向量．與平面的法向量，通過向量共線證明，平面平面．【解答】解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則有，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，0，，，2，，所以，2，，，0，，，2，．（1）設(shè)，，是平面的法