新版高中數學人教A版選修2-2習題第一章導數及其應用檢測A

第一章檢測(A)(時間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1若曲線y=x2+ax+b在點(0,b)處的切線方程是xy+1=0,則()A.a=1,b=1 B.a=1,b=1C.a=1,b=1 D.a=1,b=1解析∵y'=2x+a,∴曲線y=x2+ax+b在(0,b)處的切線的斜率為a,切線方程為yb=ax,即axy+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函數f(x)=ax5+bx3+c滿足f'(1)=2,則f'(1)等于()A.1 B.2C.2 D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2為偶函數,∴f'(1)=f'(1)=2.答案C3若函數f(x)=alnx+x在x=1處取得極值,則a的值為()A.12 B.1 C.0 D.解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=a易知函數f(x)在x=a處取得極值.所以a=1.答案B4已知函數f(x)的導數f'(x)=a(x+1)(xa),且f(x)在x=a處取得極大值,則實數a的取值范圍是()A.(1,+∞) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,+∞)答案B5設f(x)=x2,x∈[0,1],1A.43 B.54 C.65解析e0f(x)dx=01x2dx+e11xdx=13x3|答案A6已知點P在曲線y=4ex+1上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是(A.0,π4C.π2,3解析因為0>y'=-4ex(ex+1)2=-4ex+2+1ex≥1,當且僅當x=答案D701(ex+2x)dx等于(A.1 B.e1C.e D.e+1解析∵(ex+x2)'=ex+2x,∴01(ex+2x)dx=(ex+x2)|01=(e1+12)(e0+答案C8設a∈R,若函數y=eax+3x,x∈R有大于零的極值點,則()A.a>3 B.a<3C.a>13 D.a<解析令y'=aeax+3=0,∴eax=3a設x=x0為大于0的極值點,∴eax0∴a<0,ax0<0.∴0<eax即0<3a<1.∴a<3答案B9設a<b,函數y=(xa)2(xb)的圖象可能是()解析y'=2(xa)(xb)+(xa)2=(xa)(3xa2b),令y'=0,得x=a或x=a+2∵a<b,∴a<a+2∴當x=a時,y取極大值0;當x=a+2b3時,y取極小值,且極小值小于零.答案C10若函數f(x),g(x)滿足-11f(x)g(x)dx=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間[1,1]上的一組正交函數.①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x1;③f(x)=x,g(x)=x其中為區(qū)間[1,1]上的正交函數的組數是()A.0 B.1 C.2 D.3解析對于①,-11sin12x·cos=-1112sinxdx=1=12(cosx)|-11=12=12(cos1+cos=0.故①為一組正交函數;對于②,-11(x+1)(x1)dx=-11=13x=232=43故②不是一組正交函數;對于③,-11x·x2dx=-11x3故③為一組正交函數,故選C.答案C二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11-2-11(解析取F(x)=110從而F'(x)=1(則-2-11(11+5=110答案712若函數f(x)在x=a處的導數為A(aA≠0),函數F(x)=f(x)A2x2滿足F'(a)=0,則A=.

解析由題知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)2A2x,且F'(a)=f'(a)2aA2=A2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12答案113已知函數f(x)在(0,+∞)內可導,且f(ex)=x+ex,則f'(1)=.

解析令ex=t,則x=lnt,∴f(t)=lnt+t,∴f'(t)=1t+1,∴f'(1)=2答案214設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點P處的切線垂直,則點P的坐標為.

解析曲線y=ex在點(0,1)處的切線斜率k=y'=ex|x=0=1;由y=1x,可得y'=1x2,因為曲線y=1x(x>0)在點P處的切線與曲線y=ex在點(0,1)處的切線垂直,所以1xP2=1,解得xP=1,由y=1x,得y答案(1,1)15已知函數f(x)為一次函數,其圖象經過點(3,4),且01f(x)dx=1,則函數f(x)的解析式為.解析設函數f(x)=ax+b(a≠0).∵函數f(x)的圖象經過點(3,4),∴b=43a.∴01f(x)dx=01(ax+43=12ax2+∴a=65.∴b=25.∴f(x)=65答案f(x)=65x+三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(8分)求定積分-10x2解-10x2=-10=-101dx=12-101x+2dx=12ln(x+2)|17(8分)已知曲線f(x)=2x33x,過點M(0,32)作曲線f(x)的切線,求切線的方程.解設切點坐標為N(x0,2x033x由導數的幾何意義知切線的斜率k就是切點處的導數值,而f'(x)=6x23,所以切線的斜率k=f'(x0)=6x02所以切線方程為y=(6x023)x+又點N在切線上,所以2x033x0=(6x023)x0+32,解得x故切線方程為y=21x+32.18(9分)求函數y=13x3+3lnx的單調區(qū)間.解函數的定義域為(0,+∞),y'=x21x令y'>0,則(x-1令y'<0,則(解得0<x<1.故函數的單調遞增區(qū)間為(1,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,1).19(10分)設f(x)=a(x5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6).(1)確定a的值;(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值.解(1)因f(x)=a(x5)2+6lnx,故f'(x)=2a(x5)+6x令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=68a,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y16a=(68a)(x1),由點(0,6)在切線上可得616a=8a6,故a=12(2)由(1)知,f(x)=12(x5)2+6lnx(x>f'(x)=x5+6x令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.當0<x<2或x>3時,f'(x)>0,故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,2),(3,+∞);當2<x<3時,f'(x)<0,故f(x)的單調遞減區(qū)間為(2,3).由此可知f(x)在x=2處取得極大值f(2)=92+6ln2,在x=3處取得極小值f(3)=2+6ln320(10分)已知f(x)=a(xlnx)+2x-1x2,(1)討論f(x)的單調性;(2)當a=1時,證明f(x)>f'(x)+32對于任意的x∈[1,2]成立解(1)f(x)的定義域為(0,+∞).f'(x)=aax當a≤0時,x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.當a>0時,f'(x)=a(①0<a<2時,2a>當x∈(0,1)或x∈2a,+∞時,f'(x)>0,f(當x∈1,2a時,f'(x)<0,f(x②a=2時,2a=1,在x∈(0,+∞)內,f'(x)≥0,f(x)單調遞增③a>2時,0<2a<當x∈0,2a或x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x當x∈2a,1時,f'(x)<0,f(x綜上所述,當a≤0時,f(x)在(0,1)內單調遞增,在(1,+∞)內單調遞減;當0<a<2時,f(x)在(0,1)內單調遞增,在1,2a內單調遞減,在當a=2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;當a>2時,f(x)在0,2a內單調遞增,在2a,1內單調遞減,在(2)由(1)知,a=1時,f(x)f'(x)=xlnx+2x-1x2-1-1x設g(x)=xlnx,h(x)=3x+1x2則f(x)f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=x-1可得g(x)≥g(1)=1,當且僅當x=1時取得等號.又h'(x)=-3設φ(x)=3x22x+6,則φ(x)在x∈[1,2]單調遞減,因為φ(1)=1