2022-2023學(xué)年河北省石家莊市元氏縣音體美學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市元氏縣音體美學(xué)校高一（下）期

中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.復(fù)數(shù)Z滿足(C+i)z=∣q+i∣,則Z的共軌復(fù)數(shù)為()

A.?+夕B.權(quán)C.1+iD.1-i

2.設(shè)平面向量行=(X,2),b=(2,1)＞若五_L石，則X=()

A.1B.2C.-1D.3

3.如圖所示，平行四邊形ABCD中，而=2萬，點F為線段

4E的中點，則而=（）

31351

-

4-2-4-42-4

4.在△ABC中，b=c-cosA,則△4BC的形狀一定為（）

A.等邊三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

5.已知復(fù)數(shù)Z滿足（1一i）z=2,則Z的模IZl等于（）

A.1B.√^1C,2D.4

6.已知向量Z=6=（-1,3）,則（）

A.a∕∕bB.albC.a∕∕（a-b）D.α1（α-6）

7.下列命題：①向量云與石都是單位向量，則五=不

②在AABC中，必有而+沆f+=

③四邊形力BCD是平行四邊形，則同=萬？；

④若向量五與E共線，則存在唯一的實數(shù)4使石=A區(qū)

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

8.△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b2=ac,c=2a,則CoSB=()

d?4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.以下四種說法正確的是（）

B.復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為一2i

C.若z=(1+i)2,則復(fù)平面內(nèi)3對應(yīng)的點位于第二象限

D.復(fù)平面內(nèi)，實數(shù)軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實數(shù)

10.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z=Cr的四個命題，其中真命題為()

A.z2—21B.∣z∣=2

C.z的虛部為一1D.z的共扼復(fù)數(shù)為1+i

11.設(shè)7∏,n是兩條不同的直線，α,，是兩個不同的平面，下列說法正確的是()

A.若mJ.a,n1α,則π√∕τιB.若a-L0,m//a,貝∣Jτn_L。

C.若rnJ,α,mln,則n〃aD.若n1α,n1/?,則夕〃α

12.已知兩條直線m，n,兩個平面α,0.下列說法正確的是()

A.若m〃n,m∕∕a,貝IJji〃a

B.若α〃夕，mcor,nc/?,則m〃n

C.若m〃n,m1α,則n1a

D.若OJIB,m∕∕n,mLa,則n1￡

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量蒼=(m,-l),b-(1,1).若I2-石I=I方I+I石卜則實數(shù)m=-

14.若α為實數(shù)，則(α+i)(：+i)=23則∣l+αi∣=.

15.若復(fù)數(shù)(3+i)τn-(6+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是

16.已知向量五=(-1,2),b=(x,—6)>且4B=2N+3b,BC=a+2b>若4B,C二點

共線，則實數(shù)X的值為.

四、解答題(本大題共4小題，共48.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知復(fù)數(shù)ZI=i(l+i)2(i為虛數(shù)單位).

(1)求公;

⑵求IZJ

18.(本小題12.0分)

已知復(fù)數(shù)Z=(m2+m-2)+(2m2-m-3)i,m∈R其中i為虛數(shù)單位.

(1)若復(fù)數(shù)Z為實數(shù)，求小的值；

(2)若z?Z+3tz=16+12i,求Tn的值.

19.(本小題12.0分)

△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知α=∕7,b=2,A=60°.

⑴求SinB的值；

(2)求C的值.

20.(本小題12.0分)

化簡下列各式：

⑴頌+MS)+(-OB-MO);

(2)Aβ-λD-DC;

(3)(通-函-(AC-BD);

(4)OA-OD+ADi

(5')AB+DA+'BD-BC-CA.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因為(√"?+Qz=∣V~^3+i∣,

firr,∣<3+i∣2(yΓ3-i)√31.

所以Z=E^=(C+i)(Uτ?)=〒—V'

故Z的共軌復(fù)數(shù)為?+夕.

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的除法運算與復(fù)數(shù)模的計算，求出復(fù)數(shù)z,再利用共規(guī)復(fù)數(shù)的定義求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算，主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)模的計算，同時考查了共輒復(fù)數(shù)定

義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查向量垂直的性質(zhì)、向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題可以得到關(guān)于X的方程，解之即可得到結(jié)果.

【解答】

解：?.?平面向量五=(X,2),b=(2,1).

若五，石,則日i=2x+2=0,

?x=-l,

故選：C.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平面向量加減運算及基本定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

先求出6而=-5而+2而，3AE=AB+2AC,組成方程組即可求解.

【解答】

解：???點F為線段AE的中點，~BE=2~EC

11

=+

2-2-?+∣(AC-Aβ)=-?+?>

L5O?

即6而=-SAB+2AC①，

VBE=2EC，

.?.Λf=?β+∣βC=^4B+∣(ΛC-λβ)=∣ΛS+∣ΛC,

即3近=荏+2前②，

由①②得，AC=1AE+l^BF.

故選：C.

4.【答案】C

b2+c2a2

【解析】解：由余弦定理知：b=c--=廬+c?",整理得a?+爐=c2,

2bc2b

???△48C是直角三角形.

故選：C.

利用余弦定理的邊角關(guān)系，結(jié)合已知可得。2+爐=c2,即可知AABC的形狀.

本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)Z滿足(l-i)z=2,

I(IT)ZI=2.

BPKl-OIIzI=2.

?Λ∕-2∣z∣=2.

??z?=y∣~2?

故選：B.

復(fù)數(shù)方程兩邊同時求模，化簡即可.

本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，基本知識的考查.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4、向量"=(-2,1),e=(-1,3)，<1×(-1)≠(-2)×3,即五〃萬不成立,故A錯誤;

對于8、向量日=(一2,1),b=(-1,3).有五?3=(—2)X(—1)+1X3=6，即五！.E不成立，故B

錯誤；

對于C、向量W=(-2,1),E=(T3),B1Ja-K=(-1,-2).W(-2)×3≠1×(-1),即五〃G-W

不成立，故A錯誤；

對于D、向量α=(-2,1)>b——(—1,3)>則有一b—(—1,—2)>Wfl,(ɑ—b)=(—1)X(—2)+1×

(-2)=0,即五JL(五一及，故C正確；

故選：D.

根據(jù)題意，結(jié)合關(guān)鍵掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)公式依次分析選項，即可得答案.

本題考查向量的坐標(biāo)運算，關(guān)鍵掌握向量平行、垂直判定的坐標(biāo)公式.

7.【答案】B

【解析】解：由于所有的單位向量長度都等于1,但它們的方向是任意的，故①不一定成立；

在ATlBC中，必有而+耳？+Eξ=6,故②正確；

若四邊形ABCD是平行四邊形，則一定有荏=泥，故③正確；

若向量W與方共線，則存在實數(shù);I使E=AH當(dāng)E=五=6時，2的值有無數(shù)多個，故④錯誤.

故選：B.

由相等向量的定義，向量的加法法則，平面向量的共線定理，即可判斷出結(jié)果.

本題考查向量的基本概念，單位向量的定義，向量相等，及向量的共線定理等知識，考查學(xué)生對

概念的理解辨析能力，難度較易.

8.【答案】B

【解析】解：b2=ac,c=2a,則b2=2α2,

則由余弦定理得COSB=α2+c2~fc2=a*a212a2=3

2ac4az4

故選:B.

由余弦定理即可求出.

本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算法則、共舸復(fù)數(shù)的概念和幾何含義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，逐一分析即可.

【解答】

解：/-?！猧—?—i+2i=i,故4選項正確，

復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為一2,故B選項錯誤，

：z=(1+i)2=2i,z=-2i,復(fù)平面內(nèi)W對應(yīng)的點(0,-2)位于虛軸上，故C選項錯誤，

???復(fù)平面內(nèi)，實數(shù)軸上對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為0,???復(fù)平面內(nèi)，實數(shù)軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實數(shù)，故。

選項正確.

故選：AD.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，運用復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

.?.∣z∣=C,z2=(-l-t)2=2i,Z的虛部為-1,Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為一l+i.

故選：AC.

11.【答案】AD

【解析】解：若mlα,nlα,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得故A正確;

若αl∕?,m∕∕a,則?nu0或m〃口或m與口相交，相交也不一定垂直，故B錯誤；

若m_La,mln,貝加〃α或nua,故C錯誤；

若7ilα,nlβ,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得/V∕α,故。正確.

故選：AD.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】CD

【解析】解：對于4：若m〃n,m∕∕a,則n〃a或nuα.故A錯誤；

對于B：若α〃/?,mca,nuβ,則m〃n或m,n異面，故8錯誤；

對于C：因為mla,所以mla內(nèi)任意直線，

在平面ɑ內(nèi)取兩條相交直線α,b,則mla且m_Lb,

因為m〃n，所以nlα,nib,

又α,b為平面ɑ內(nèi)兩條相交直線，所以MIa,故C正確；

對于D：由選項C的證明可知：n?ɑ.

因為。〃0，所以nl∕?,故。正確.

故選：CD.

對于4、B：線面的位置關(guān)系直接判斷；對于C：利用線面垂直的判定定理證明出nJ.a；對于D：

由面面平行的性質(zhì)證明出nJ.6.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】-1

【解析】解：因為向量方=(m,—1),方=(L1)，若Ik—Bl=I五I+@,則W與方共線反向,

所以Wi——1.

故答案為：-1.

由條件得到弓與E共線反向，求出m的值即可.

本題考查向量的減法的幾何意義及向量共線的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】y∏.

【解析】解：由(。+。《+。=23得

(α+3)i=23即α+'=2.

解得α=1.

.?.∣1+αt∣=∣1+i∣=√-2.

故答案為：y∕~2?

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a值，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】(1,2)

【解析】解：,??(3+i)m-(6+O=(3m-6)+(m-l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,

二產(chǎn)二1：。,解得l<m<2.

—1>O

???實數(shù)Tn的取值范圍是(1,2).

故答案為：(1,2).

把已知復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再由實部小于O且虛部大于O聯(lián)立不等式組求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查向量平行的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

先求出近，BC,由4，B,C三點共線，得硒國,再求出實數(shù)X的值.

【解答】

解：向量3=(-1,2),b=(x,-6).且荏=2五+33，BC=a+2b>

.?.AB=(-2,4)+(3x,-18)=(-2+3x,-14),BC=(-1+2x,-10)>

???A,B,C三點共線，:近〃瓦r,

.?.-14(-1+2x)=-10(-2+3%),解得X=3.

故答案為：3.

17.【答案】解：(1)因為Zl=i(l+i)2=i(l2+2i+i2)=i×2i=-2,

所以Zl=—2;

(2)因為Zl=-2,

所以IZIl=2.

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)Z1，再根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義計算可得;

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義計算可得.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(1)因為Z為實數(shù),

所以2Z∏2—m—3=0.

解得m——1或Tn=

即m的值為一1或|；

(2)設(shè)z=%+yi(%y∈R),貝∣Jz?z=∕+y2,

又因為Z?z+3iz=16+123

所以/+y2+3f(χ+yi)=X2+y2-3y+3x1=16+123

所以已?e=i6,

解嘮：；嘮