吉林省長春實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

吉林省長春實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊,

在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是O

22

A——B.—

1133

11

C._D.一

36

UUU1i

2.如圖在平行六面體ABC。—A4G。中，AC與6D的交點記為設(shè)你=a,AB=b，AO=c，則下列向

量中與加4相等的向量是（）

1111

A.a—b7H—cB.aH—bz—c

2222

1111

C.ciH—b7H—cD.ci—b7—c

2222

3.已知向量。=（-1,2,；）,B=（—3,x,2）,則實數(shù)苫等于（）

A1B.2

C.-2D.-l

2

r

4.已知雙曲線C：/—二=1,則該雙曲線的實軸長為（）

2

A.lB.2

C.00.272

5.函數(shù)/（幻=/一2犬的圖像在點（1,7（I））處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

6.在空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz中，A3=(L—1,0),5C=(-2,0,1),平面1的一個法向量為根=(—1,0,1),則平面a

與平面ABC夾角的正弦值為()

正

7.圓元2+y2+2%-4y-6=0的圓心和半徑分別是。

A.(—1,—2),11B.(-l,2),11

C.(-l,-2),D.(-l,2),

y<x

8.已知x,y滿足約束條件<%+y<1,則z=2x+y的最大值為()

y>—1

B.-3

9.等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若。2，%，。8成等比數(shù)列，則$9二()

10.已知數(shù)列｛4｝滿足。1=1，4+1=4^,則滿足%>士的”的最大取值為()

11.若a>b,C>d,則下列不等式中一定正確的是()

A..a+d>b+cB.a-d>b-c

C.ad>bc

12.若數(shù)列｛a“｝滿足％=2,氏+1=匚法〃wN,則該數(shù)列的前2021項的乘積是()

A.-2B.-l

C.2D.l

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

|x-l|,x<0

13.已知函數(shù)/(x)={1,則/(/(—3))=

X2,x>Q

14.若點M到點/(4,0)的距離比它到定直線x+5=0的距離小1,則點M滿足的方程為

15.圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，。為底面中心，加為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓

周).若則點P形成的軌跡的長度為

16.已知雙曲線的一條漸近線被圓必+V一4x+2=0所截得的弦長為2,則雙曲線的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知a>0,b>0,a+b—1,求證：，+工+

18.(12分)設(shè)p：關(guān)于x的不等式爐-4x+,wv0有解，q-m2-6m+5<0.

(1)若P為真命題，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若。八4為假命題，Pvq為真命題，求實數(shù)，”的取值范圍.

19.(12分)已知橢圓尸：斗+￡=1(?！?〉0)經(jīng)過點(1,呼0且離心率為個，直線4和4是分別過橢圓廠的左、

右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點4、3和C、D,。為坐標(biāo)原點，直線A3和直線相交于記直

線OA,OB,OC,OD的斜率分別為kAO,kB0,kco,kD0,且^AO+^BO=kco+kpo

(l)求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)是否存在定點P,Q,使得為定值.若存在，請求出P、。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(爐一2%)靖+2ex-e21nx

(1)求/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)求證：/(x)>0

21.(12分)已知圓+y2—8y+12=0,直線/:依+y+2a=0

(1)當(dāng)直線/與圓C相交，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)直線/與圓C相交于A、B兩點,且|A4=20時，求直線/的方程

22.（10分）已知橢圓￡：三+衛(wèi)=1（?！?〉0）過點（0,、歷），且離心率e=Y2.

a~廳2

（1）求橢圓￡的方程；

9

（2）設(shè)直/：%=陽-l（meR）交橢圓E于A,B兩點，判斷點G（——,0）與以線段A3為直徑的圓的位置關(guān)系，并說

4

明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.

【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有C；+C；=30種情況，

取到3塊月餅都是五仁月餅有C；=10種情況，

所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是義=g.

故選：C.

2、B

【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出MB1關(guān)于〃、b、c的表達式.

【詳解】MBX=MB+BBX=3DB+BBi=；（AB—AD）+e=a+

故選：B.

3、C

【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解

—

【詳解】因向量〃=(―1,2,/),b-(3,X,2)9BL.a-Lb9貝！I〃?/?=3+2x+l=2x+4=0，解得％=—2,

所以實數(shù)x等于-2.

故選：C

4、B

【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.

2

【詳解】雙曲線C：V—L=1的實半軸長。=1,

-2

所以該雙曲線的實軸長為2.

故選：B

5、B

【解析】求得函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(力，計算出/。)和/'(1)的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.

詳解】/(X)=X4-2X3,:.f'(x)=^-6x2,.-./(1)=-1,r(l)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=—2(x—1),即y=—2x+l.

故選:B.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

6、A

【解析】根據(jù)給定條件求出平面ABC的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.

—\n-AB-x—y=Q

【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為〃=(%,y,z),貝,令x=l,得〃=(1』,2),

n?BC=-2x+z=0

令平面a與平面A3。夾角為氏則cose=|cos〈w〉|=^^=廠1「=昱，sin￡=Jl—cos?6=典,

\m\\n\V2xV666

所以平面a與平面ABC夾角的正弦值為叵.

6

故選：A

7、D

【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.

【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x+1)2+(y-2『=11,故圓心為(-1,2),半徑為萬.

故選：D.

8、A

【解析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，

聯(lián)立直線方程：〈，，可得點A的坐標(biāo)為：A(2,-l,

x+y=l

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：=2x2—1=3.

故選：A

【點睛】方法點睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z=ox+勿(a〃wO)的最值，當(dāng)匕>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時,

z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距

最小時，z值最大.

9、B

【解析】由題意結(jié)合出，%，。8成等比數(shù)列，有&2=(&-4)(為+8)即可得。4,進而得到。1、%，即可求S”

【詳解】由題意知：a2=a4-4,%=%+8,又生，。4，%成等比數(shù)列，

，=(%-4)(%+8),解之得為=8,

?，?〃]=%—3d=8—6=2,則4=。]+(〃—l)d=2〃,

9x(2+2x9-o,

2

故選:B

【點睛】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進而得到等差數(shù)列的基本量

1、由a,0,可成等比，即aJ=aman；

2、等差數(shù)列前n項和公式S,,="(&*的應(yīng)用.

10、B

【解析】首先地推公式變形，得二——1=4,-=lf求得數(shù)列｛〃〃｝的通項公式后，再解不等式.

an+\ana\

an14a+1

【詳解】因為氏+1=7^7,兩邊取倒數(shù)，得———，

4%+1%an

11,1,

整理為：--------=4,—=1,

aa

4+1n\

所以數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,

—=l+(n-l)x4=4n-3,%=--—,

"4〃一3

因為%>二"，即」一〉」-,得4〃—3<29,

294〃-329

解得：1<?<8>nwN*,

所以〃的最大值是7.

故選：B

11、B

【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.

【詳解】因為c>d,所以—d>—c,所以a—d>b—c,所以B正確;

a=-l,b=-2,c=2,d=l時，a+d=b+c不滿足選項A；

nh

a=O,b=—2,c=—1,d=—2時，ad<be,且一<—，所以不滿足選項CD；

dc

故選：B

12、C

【解析】先由數(shù)列｛4｝滿足q=2,a?+1=-^(ne^,),計算出前5項，可得4+4=4,且6=葭再

利用周期性即可得到答案.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝滿足q=2,a"+i=pL("eN*),

1+〃]1+211

所以生=：[3—=二7=—3，同理可得色=一彳，&=彳，。5=2，..

-ciyi—z23

所以數(shù)列｛?！保克捻椫貜?fù)出現(xiàn)，即4+4=4，且=1，

而2021=505x4+1,

所以該數(shù)列的前2021項的乘積是q?&?%…a2021=1505x4=2.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】利用函數(shù)/（%）的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得了（/（-3））的值.

|x-l|,x<0I

【詳解】「/(X)=<1>?1?/(-3)=|-3-1|=4,因此,/(/(一3))=/(4)=4萬=2.

,九之0

故答案為：2.

14、y2=16x

【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動點的軌跡方程

【詳解】點尸到點E（4,0）的距離比它到直線x+5=0的距離少1,

所以點P到點網(wǎng)4,0）的距離與到直線％+4=0的距離相等,

所以其軌跡為拋物線，焦點為E（4,0）,準(zhǔn)線為x+4=0,

所以方程為y2=16x,

故答案為：y2=16x

15、a

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)4(0,—1,0),8(0,1,0),s(o,o,G),M\0,0,,P(x,y,0)

/

于是，AM=0,1,9，MP=x,y,-

2J

因為所以，I0,1,=0

從而，y=j,此為點P形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為=乎

16、冬叵或2

3

【解析】由圓的方程有圓心(2,0),半徑為廠=0，討論雙曲線的焦點分別在x或y軸上對應(yīng)的漸近線方程，根據(jù)已

知及弦長與半徑、弦心距的幾何關(guān)系得到雙曲線參數(shù)的齊次方程，1卻可求離心率.

【詳解】由題設(shè)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％-2)2+黃=2,即圓心(2,0),半徑為r=后，

若雙曲線為二―1=1時，漸近線為y=±'x且a/>0,

ab-a

2b

,T2b

所以圓心到雙曲線漸近線的距離為d=I,=c~7，

j+昌2Ji

Va

4b2

由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：d2+l=r2=2,故一^=1,得：cr=3b\又〃+/=02,

a+b

r-r-|,|4tZ~244r2"\/3

所以——=c,故e=」一〉1.

33

22

若雙曲線為之—】=1時，漸近線為丁=±3》且a/>0,

abb

2a

,h2〃

所以圓心到雙曲線漸近線的距離為d=一一=~

%(鏟,+。

由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：［2+1=/2=2,故孚F=l,得：廿=3/，又〃+/=。2,

a+b

所以4/二，，故e=2>l.

綜上，雙曲線的離心率為其?或2.

3

故答案為：2叵或2.

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、見解析

【解析】將。+仁1代入式子，得到1+^=1+",1+-=1+^,進而進行化簡，最后通過基本不等式證明問題.

aabb

【詳解】：?！?。，b＞0,a+b^l,Al+-=l+^=2+-,l+-=l+^=2+-

aaabbb

訃5[2+[=5+2〔：+*5+4儲=9,

當(dāng)且僅當(dāng):哈即好人；

時取“=”

18、(1)(—0,4]

⑵(fl)u(4,可

【解析】根據(jù)題意，解出P和g里面機的范圍即可求解?其中V—4%+m40有解，則A20?

【小問1詳解】

。為真命題時，A=16-4m＞0＞解得

所以的取值范圍是(-oo,4]；

【小問2詳解】

g為真命題時,BP(m-l)(m-5)＜0,解得1＜加＜5,

所以q為假命題時，加＜1或m＞5,

由(1)知，P為假時加＞4,

因為〃八4為假命題，為真命題，所以p,q為一真一假,

當(dāng)〃真4假時，相＜4且"相＜1或相＞5",解得加＜1；

m＞4

當(dāng)P假4真時，vu，解得445；

l＜m＜5

綜上：機的取值范圍是(-8,1)口(4,5]

(2)存在點尸(0,—1),2(0,1),使得|尸網(wǎng)+回國為定值2a.

【解析】(1)設(shè)。=?，c=t,b=⑸,結(jié)合條件即求；

4/724/72

(2)由題可設(shè)直線方程，利用韋達定理法可得kA0+kBO=-一六，kco+kD0=—一壬再結(jié)合條件可得點

叫一2m?-2

2

加(％?)的軌跡方程為］+必=1,然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.

【小問1詳解】

22

設(shè)a=，c=t,b=y/2.t,Z>0>橢圓方程為：§。+2。=1,

橢圓過點

12,?

獷+獷=1,解得Q1,

22

所以橢圓F的方程是L+匕=1

32

【小問2詳解】

由題可得焦點耳，鳥的坐標(biāo)分別為(-1,0)，。,0),

當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為(—1,0)或(1,0),

當(dāng)直線45和CD的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為叫，加2,點4(5,%)，5(%,%)，

直線45為丁二町(x+1),

[22

Ui

聯(lián)立32,得(2+3若)%2+6若1+3鬲一6=0

y=mi(x+1)

r,6〃/3鬲_6

則%+%=-57藐萩'A>0,

/、

=叫2+^^4班

^AO+^BO=~+~=,1tl+=YY\2-

XX

/XBIAB7I/一2

4tti

同理可得，kc°+kD0=一式3

因為^AO+^BO=k(jo+kDO,

所以n^-[i=n^2'化簡得(四"+2)("%-"4)=°

由題意，知，％片加2，所以附?+2=0

設(shè)點Af(x,y),貝1]7々=△-,也=二一,

x+1x-1

2

所以上?上+2=0,化簡得匕+f=i(xw±l),

x+1x-12''

當(dāng)直線4或4的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0),也滿足此方程

2

所以點在橢圓]+必=1上，

根據(jù)橢圓定義可知，存在定點P(O,-1),e(o,i),使得為定值2&

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達定理法及題設(shè)條件求出點M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題

得到解決.

20、(1)(e2-e)x+y-e2^0；(2)證明見解析

2

【解析】(D求導(dǎo)/(%)=(/—2)/+2e—進而得到尸(l)=e—f(l)=e9寫出切線方程；

x

(2)將(%之一2%)e"+2e%-/ln%>0轉(zhuǎn)化為(%一2)，+2e,^g(x)=(x-2)ex+2e,〃(%)=^丁,

xx

利用導(dǎo)數(shù)法證明.

【詳解】(1)函數(shù)解■的定義域是(0,+8)

2

尸(%)=(/—2)/+2e—三，可得/6=e—e?

X

又/⑴=e,

所以/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y-e=(e-e2)(x-l)

整理得(e2-e)x+y-e2=0(或斜截式方程y=(e-e2)x+e2)

(2)(x2-2x)ex+2ex-e2Inx>0

只需證只2-2x)ex+2ex>e21nx

因為％>0,所以不等式等價于(x-2)靖+20〉支皿

x

設(shè)g(x)=(x—2)el+2e,h(x)=------

x

g'(x)=(x—l)e",0<x<l,g'(x)<0；x>l,g'(x)>0

所以g(x)在(OH單調(diào)遞減，在工+8)單調(diào)遞增

故g(x)1nm=g6=e

又丸T(x)=°Q—Jn"),。<%卜,勿(%］0；x>e,h\x)<0

所以/z(x)在(o,e］單調(diào)遞增，在［e,+8)單調(diào)遞減

故"(x)max='(e)=e

因為g(X)mm=丸(X)max且兩個函數(shù)的最值點不相等

所以有g(shù)(x)〉〃(x),原不等式得證

21、(1)卜00,-|}

(2)x-y+2=0或7x-y+14=0

【解析】(1)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用幾何法可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，由此可解得實數(shù)。的取值范圍；

(2)根據(jù)勾股定理求出圓心到直線/的距離，再利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于實數(shù)。的值，即可求出直線/的

方程.

【小問1詳解】

解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(y—4)2=4,圓心為。(0,4),半徑為r=2,

12(7+4|3

因為直線/與圓。相交，則匕^^<2,解得

V7714

【小問2詳解】

解：因為|AB|=2夜，則圓心C到直線/的距離為d=9=&，

由點到直線的距離公式可得1=￡竺±=行，整理得a2+8a+7=0,解得a=—1或-7.

力2+1

所以，直線/的方程為X—y+2=0或7x—y+14=0.

22、（1）—+-^=1（2）點C在以四為直徑的圓外

42

【解析