2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.拋物線V=2y的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離是.

【正確答案】I.

【分析】寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可得到答案.

【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)為(0,；),準(zhǔn)線為x=-1,故拋物線X?=2)，的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線

/的距離是1.

故1.

本題考查拋物線的定義，注意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為P,本題是一道基礎(chǔ)題.

2.已知事件A發(fā)生的概率為0.3,則A的對(duì)立事件發(fā)生的概率為.

7

【正確答案】0.7/—

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，A的對(duì)立事件發(fā)生的概率為1-0.3=0.7.

故0.7

3.已知函數(shù)/(x)=∣nx,則吧J2+弋-/(2)=

【正確答案】∣∕0.5

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式可得結(jié)果.

【詳解】；g)=lnx

Λf'(x)=~

X

：.Iim/(2+&)-/⑵=1

Λ`→OAt2

故答案為?g

4.同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣，恰有1枚反面朝上的概率為.

【正確答案】卷/0.15625

【分析】求出拋擲5枚均勻硬幣的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出恰有1枚反面朝上的事件所

含基本事件數(shù)，利用古典概率計(jì)算作答.

【詳解】拋擲5枚均勻的硬幣的試驗(yàn)，有25個(gè)基本事件，它們等可能，

恰有1枚反面朝上的事件A含有的基本事件數(shù)為5,

所以恰有1枚反面朝上的概率P(A)=/=卷.

故

32

5.函數(shù)f(x)=x+5的駐點(diǎn)為X=

【正確答案】√2

【分析】導(dǎo)數(shù)為O的點(diǎn)為駐點(diǎn)，求導(dǎo)計(jì)算即可.

,

【詳解】∕(x)=l-∣r,令尸(X)=I-/=Onx=次.

故也

6.已知〃為正整數(shù)，且氏=IOPj,則〃=.

【正確答案】8

【分析】利用排列數(shù)公式，列式求解作答.

【詳解】依題意，〃為正整數(shù)，n≥3,

因?yàn)檫?10P；，則有2"(2"-1)(2"-2)=10"5-1)("-2),解得"=8,

所以"=8.

故8

7.已知拋物線V=4x的4B弦過(guò)它的焦點(diǎn)，直線AB的斜率為1,則弦AB的長(zhǎng)為.

【正確答案】8

【分析】由拋物線以及直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義求解即可.

【詳解】設(shè)4蒼，乂)，B(x2,y2),拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為點(diǎn)F(l,0),準(zhǔn)線方程為4-1,

則直線AB方程為y=χ-l如圖:

y-=4x,

由方程組，得：X*2-36Λ+1=0.貝U：%+%=6；

J=X-I

設(shè)A,B到準(zhǔn)線的距離分別為4，d2.

由拋物線定義可知IM=IAF1+1BFl=4+4=司+Λ2+2=8;

即弦A8的長(zhǎng)為8.

故8.

8.從O,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為

【正確答案】52

【分析】分個(gè)位為O和個(gè)位為2或4,再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】①個(gè)位為0,有A；=5x4=20種方法，

②個(gè)位為2或4,則有C；=2種方法，百位不能排O有C：=4種方法，十位有C：=4種方法,

故有2x4x4=32種方法.

一共有：20+32=52種方法.

故52.

9.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為J2和33,兩個(gè)零件是否加工

34

為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為.

【正確答案】?

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.

【詳解】?jī)蓚€(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為*21-；3）+（＞；2）X3L5

本題考查獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)y=∕(χ)的導(dǎo)函數(shù)為y=∕'(χ),且"χ)=%3+r⑴Y+1,則y="χ)的圖

象在X=3處的切線方程為.

【正確答案】y=3x—8

【分析】對(duì)給定的函數(shù)求導(dǎo)，并求出參數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.

【詳解】函數(shù)"x)=93+/'(I)X2+1,求導(dǎo)得：/(X)=X2+2/⑴X,貝IJF⑴=1+2/⑴,

解得/'(I)=-I,

因此/(x)=g∕-χ2+ι,y-(x)=√-2χ,則f(3)=1,-(3)=3,

所以所求切線方程為yT=3(x-3),即y=3x-8.

故y=3χ-8

II.點(diǎn)尸是曲線y=f-inX上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線y=X+。的距離的最小值是正，則

實(shí)數(shù)a的值是.

【正確答案】-2

【分析】首先確定點(diǎn)線距離最小時(shí)尸點(diǎn)的位置，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求尸點(diǎn)坐標(biāo)，最后應(yīng)用

點(diǎn)線距離公式表示出最小距離，列出方程即可求解.

【詳解】由題設(shè)y'=2x-L且χ>o,

X

令?**y'>0?,即χ>立；令y'<0,即0<x<正，

22

所以函數(shù)y=x-Inx在0,—上單調(diào)遞減，叫~y,+8上單倜遞增，

當(dāng)尸為平行于y=x+α并與曲線y=χ2-lnx相切直線的切點(diǎn)時(shí)，距離最近.

令y'=l,可得x=_；(舍)或x=l,

所以y∣z=ι,則曲線上切線斜率為1的切點(diǎn)為P(M),

所譚

=五即a=2(舍去)或—2,

故答案為.-2

12.若P,。分別是拋物線f=y與圓(X-3f+y2=l上的點(diǎn)，則IPQl的最小值為

【正確答案】√5-l∕-l+√5

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(馬,片)，圓心c(3,o),|圖的最小值即為IePl的最小值減去圓的半徑，求

出ICH的最小值即可得解.

【詳解】依題可設(shè)尸(事,x：)，圓心C(3,O),根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，

IPQI的最小值即為IcPl的最小值減去半徑.

222

0^?∣CP∣=(x0-3)+(xθ-0)=jc^+xθ-6j?+9,XGR,

設(shè)/(x)=χ4+/—6x+9,

32

?(Λ)=4X+2X-6=2(X-1)(2X+2X+3),由于2丁+2x+3=2(x+g[+∣>0恒成立,

所以函數(shù)〃尤)在(F,1)上遞減，在(1,M)上遞增，即幾11=/(1)=5,

所以ICPL=石>L即IPa的最小值為6-L

故6-1.

二、單選題

13.若函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)镽且可導(dǎo)，則“y=/(x)在χ=2處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)x=2時(shí),

y=∕(χ)取到極值''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】B

【分析】先驗(yàn)證充分性，不妨設(shè)/(X)=(X-2)。在x=2處有/'(0)=0,但/(x)為單調(diào)遞增函

數(shù)，x=2不是極值點(diǎn)；再驗(yàn)證必要性，即可得結(jié)果.

【詳解】充分性：不妨設(shè)/(x)=(x—2)3,則:(x)=3(x—2)2,

在x=2處有f(2)=0,

但是尸(x)≥0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故x=2不是極值點(diǎn)，故充分性不成立；

必要性：由當(dāng)X=2時(shí)，y=∕(x)取到極值，得八2)=0,

即y=∕(χ)在X=2處的導(dǎo)數(shù)為0,故必要性成立.

所以“y=∕(χ)在χ=2處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)x=2時(shí)，y="χ)取到極值”的必要不充分條件.

故選：B

14.已知實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足V+y2-4χ+6y+12=0,則2x-y-2的最小值是()

A.—1+?^5B.4—^5C.5->∕5D.5y/5

【正確答案】C

【分析】把給定方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用圓的意義借助三角代換求解作答.

【詳解】方程χ2+∕-4χ+6y+12=0化為：(x-2y+(y+3)2=1,表示以(2,-3)為圓心，1

為半徑的圓，

(X-2=Cos6I=CoSe+2

設(shè)｛2.口，0≤6<2兀，即“2，

(y+3=sin，Iy=Sln夕一3

因此21x—y—2=2(CoSe+2)—(sin6—3)—2=2cos6—sin。+5—y/sCc)S(6+(p)+5，

其中銳角夕由tan。=；確定，顯然g≤，+s<2π+e,于是當(dāng)，+9=n,即6?=兀一夕時(shí)，

石COS(9+*)+5取得最小值5-出，

所以2x-y-2的最小值是5-石.

故選：C

15.設(shè)定義在一萬(wàn),萬(wàn)上的函數(shù)〃X)=XSinX+cosx,則不等式/(2x)<∕(x-1)的解集是

)

π11π

A.B.

2,33,4

1π

C.D.

3,2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(x)=XSinX+cosX,

TtTt

/(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=∕(x),并且定義域f關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

f(x)是偶函數(shù),

/(X)=sin%+xcosX-SinX=XCOSx當(dāng)XW(Og時(shí),cosX≥O,X>Or")≥o,

f(χ)是增函數(shù),

∣2x∣<∣x-l∣.①

對(duì)于f(2x)<∕(x-l)有：，--<2x<-②，由①得-l<x<1,

--≤x-l≤-.③

22

1口兀//兀tZZX√∣-∣?兀/兀aTT{7CITC

由②得-1≤X≤1,由③得l-5≤X≤l+5,.?-l<--<l-y<-<-,

、π,1

1---<x<-；

23

故選：C.

16.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有

限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)

/(X),存在點(diǎn)與,使得/(xj=改)，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)''函數(shù).若函數(shù)/(x)=4e*-x

為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

(1](21/,1/1

A.I-∞,-B.I-∞,-C.(-∞,1]D.(-∞,e]

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于X。和。的等式，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).

【詳解】題意得若函數(shù)f(x)=αe*-x為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則滿(mǎn)足

〃而)=ɑe"-與=x0,即αeM=2∕,即〃=孕

e項(xiàng)

7γ,/\2e'—2,xe'2-2x

設(shè)g(x)T，g(?=T

令/(x)=0,解得x=l

當(dāng)Xe(T?』)時(shí)，g,(x)>(),所以g(x)在(-∞,1)上為增函數(shù)

當(dāng)尤w(l,+∞)時(shí),g,(x)<O,所以g(x)在(l,+∞)上為減函數(shù)

2

所以g(%)max=g⑴=Z

當(dāng)xe(-∞,0)時(shí)，g(x)<O

當(dāng)xe(0,+e)時(shí)，g(x)>O

所以g(x)的圖象為:

_2

max-ɑ

對(duì)應(yīng)區(qū)間為10°,?∣

故選：B.

三、解答題

17.柜子里有2雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號(hào)為田,。,，記第2雙鞋左右腳編號(hào)為偽,

br,如果從中隨機(jī)取出2只;

（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）求事件?！叭〕龅男邮且恢蛔竽_一只右腳的，但不是一雙鞋”的概率；

【正確答案】（I）答案見(jiàn)解析

⑵■

3

【分析】1）利用列舉法求得正確答案.

（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得事件。的概率.

【詳解】（1）記第1雙鞋左右腳編號(hào)為4,4,第2雙鞋左右腳編號(hào)為偽也.，則樣本空間為

。=｛（即可），3禽），&，〃），①，也），伍/也）｝

（2）事件力包括的基本事件為：3也）,&,偽），共2種，

?1

所以P（O）=W..

o3

18.班級(jí)迎新晚會(huì)有3個(gè)唱歌節(jié)目、2個(gè)相聲節(jié)目和1個(gè)魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單；

（1）3個(gè)中唱歌節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

（2）相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目，魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目，有多少種排法？

【正確答案】（1）144

（2）408

【分析】（1）利用捆綁法可求解即可；

（2）根據(jù)相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目等價(jià)于用6個(gè)節(jié)目的

全排列減去相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，再加

上相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)即可求解.

【詳解】（1）將3個(gè)唱歌節(jié)目捆綁在一起，看成1個(gè)節(jié)目有A；種，與其余3個(gè)節(jié)目一起排A：,

則共有A；A：=6x24=144種不同排法.

（2）若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目，則有C；A；種不同排法，

若魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目，則有A；種不同排法,

若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目，并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目，則有C；A：種不同排法,

則相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目等價(jià)于用6個(gè)節(jié)目的全排列減

去相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，

再加上相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，

所以共有A：-C；A；-A；+C；A：=720-240-120+48=408種不同排法.

19.求函數(shù)/(x)=e*sinx,x∈-?|的單調(diào)區(qū)間和極值；

【正確答案】單調(diào)遞減區(qū)間為1-3，-弓］,單調(diào)遞增區(qū)間為(4，1，極小值為一"e3,

L24jI42」2

無(wú)極大值

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義求極值即可.

【詳解】由/(x)=e'sinx,得/'(x)=e*(sinx+cosx)=0e"sin(x+E),

,ππ/r?！肛?兀

由Xe-2,2，得％+?y∈,

444」

九,兀C口∏兀,兀

令r(χ)<o,得——≤x+-<0,即——≤x<——,

4424

>0,↑?0<x+-≤-,BP-?<x<-,

4442

所以函數(shù)/(χ)單調(diào)遞減區(qū)間為-］，-：)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-：，：，

所以函數(shù)/(χ)得極小值為/，：)=-#二,無(wú)極大值.

20.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域OAeB,該場(chǎng)地由線段OA,OB,Ae及曲線段BC圍成；

經(jīng)測(cè)量，NAO3=90。，04=03=100米，曲線段8C是以O(shè)B為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分,

點(diǎn)C到。4,08的距離都是50米；現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂(lè)場(chǎng)OEAF,其中點(diǎn)。在

線段AC或曲線段BC上，點(diǎn)E,尸分別在線段0A,OBk,且該游樂(lè)場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于25

米；設(shè)DF=X米，游樂(lè)場(chǎng)的面積為S平方米；

(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段BC的方程;

(2)求面積S關(guān)于X的函數(shù)解析式S=f(x)；

(3)試確定點(diǎn)。的位置，使得游樂(lè)場(chǎng)的面積S最大(結(jié)果精確到0.1米)；

【正確答案】(l)y=-0.02/+100(0≤χ≤50)

-0.02Λ-3+100X,25≤X≤50

⑵“X)=，

-X2+100X,50<X<70

(3)當(dāng)點(diǎn)。在曲線段BC上且其到OA的距離約為66.7米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積S最大.

【分析】(1)先以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA.OB所在直線分別為X軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系,

然后根據(jù)題意求解析式即可；

(2)分別求出C在不同線段的解析式，然后計(jì)算面積；

(3)在不同情況計(jì)算最大值，然后比較兩個(gè)最大值就可以得到面積最大值，然后確定。的

位置.

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、OB所在直線分別為X軸、V軸建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則A(I(X),()),C(50,50),3((),I(X)),

設(shè)曲線段BC所在拋物線的方程為y=0χ2+/〃<()),

由題意可知，點(diǎn)3(0,HX))和C(5(),50)在此拋物線上，

代入可得：α=-0.02,?=1∞.

所以曲線段8C的方程為.y=-0.02x2+100(0≤x≤50)

(2)由題意，線段AC的方程為y=τ+100(50≤x≤100),

當(dāng)點(diǎn)。在曲線段BC上時(shí)，S=MT).02χ2+100)(25≤x≤50),

當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，S=x(-x+100)(50≤x≤70),

-0.02X3+100X,25≤X≤50

所以〃x)=?

-X2+1∞X,50<X≤70

(3)當(dāng)25≤x450時(shí)，∕'(X)=-0.06/+1OO,令-0.06f+1OO=O,得,%=-

(舍去).

當(dāng)x∈時(shí)，f↑x)>O;當(dāng)X∈時(shí)，r(χ)<o.

因此當(dāng)X=迎回時(shí)，S=f10000√6,

---是3極m大值，也是最大值.

3

當(dāng)50<x470時(shí)，/(Λ)=-(X-50)2+2500,

當(dāng)x=50時(shí)，S=/(50)=2500是最大值.

因?yàn)閮z巫>2500,

9

所以當(dāng)X=竽時(shí)，S取得最大值，止匕時(shí)。(綃,竽)，

所以當(dāng)點(diǎn)。在曲線段BC上且其到。4的距離約為66.7米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積S最大.

21.已知拋物線LV=2px的焦點(diǎn)為F(2,0)；

(1)求拋物線「的方程：

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在拋物線「上，線段尸F(xiàn)的中點(diǎn)為Q,求點(diǎn)。的軌跡方程；

(3)過(guò)點(diǎn)T(f,0W>0)作兩條互相垂直的直線心給直線乙交拋物線「于A,8兩點(diǎn)，直線

交拋物線r于C,。兩點(diǎn)，且點(diǎn)M,N分別為線段AB,8的中點(diǎn)，求△力WV的面積的最小

值；

【正確答案】(l)V=8x

(2)y2=4x-4

(3)16

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接得到拋物線方程;

(2)設(shè)點(diǎn)Q(X,y),p(??,%),由題意可得『二?一2,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在拋物線r上，代入化

IyO一分

筒即可得出點(diǎn)。的軌跡方程;

(3)設(shè)AB:X=沖+t,CD-.x=--y+t,與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得中點(diǎn)M,N

m

坐標(biāo)，進(jìn)而表示出∣7M∣,