2024年1月上海市春季高考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2024上海春考數(shù)學(xué)試卷完整回憶版

一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5

分)

1.log2%的定義域.

2.直線x-y+l=。的傾斜角.

3.已知二=i,則Z=

1+1

4.(%-I)6展開式中x4的系數(shù)為.

5.三角形ABC中，BC=2,4=￡,貝IJ4B=.

34

6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值為.

7.數(shù)列｛%｝，=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點,過另外一個頂點的雙

曲線的離心率為.

9.已知/(%)=x2,g(x)=n，求g(%)<2-%的％的取值范圍

10.已知四棱柱Z3CD底面ABCD為平行四邊形，AAt=3,BD=4且

AB^-BC-AD1-~DC=S,求異面直線A4i與BD的夾角.

11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8。CD距離為0.4,有個

圓形通道經(jīng)過E,F,且經(jīng)過4。上一點,求圓形通道的周長.（精確到0.01）

12.a1=2,a2=4,。3=8,。4=16,任意61,82,83,84eR,滿足{%+aj\l<i<

j<4]={bt+bj\l<i<y<4},求有序數(shù)列{%，%，/小J有對?

二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分，第15-16題每題

5分）

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>。2c

14.空間中有兩個不同的平面a,￡和兩條不同的直線Hl,M,則下列說法中正確的是

（）

A.若馥團6,m^a,n團6,貝（Jm?0MB.若馥團6,m^\a,m^\n,則it團6

C.若馥〃6,m//a,n//p,則D.若馥〃6,m//a,m//n,則n〃6

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記本本、筆袋，第四個禮盒里面

三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子,設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件B：所

選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（）

A.事件A與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨立

C.事件A與事件BUG互斥D.事件A與事件Bn。相互獨立

16.現(xiàn)定義如下：當(dāng)比G(n>n+1)時5eN),若/。+1)=，⑺,則稱/")為延

展函數(shù).

現(xiàn)有，當(dāng)尢e(0,1)時,g{x}=e"與九(%)=爐。均為延展函數(shù),則以下結(jié)論()

(1)存在y=kx+b(k，beR,k>b0)與y=。(化)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k>bERkb0)與y=九(尢)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(cox+co>0

(1)設(shè)co=1,求解:y=/(%),%e[8出的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期為兀,若在％e[ma]上恰有3個零點,求a的取

值范圍.

18.如圖,PZ、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=ZC.

⑴證明：PZ團BC；

(2)若圓錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

19.水果分為一級果和二級果,共136箱,其中一級果102箱,二級果34箱。

⑴隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

⑵進(jìn)行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一級果共120個,單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為

603.46;二級果48個,單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21;求168個水

果的方差和平均數(shù),并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.

Y2

20.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知點4為橢圓廠:^+囚

6

5=1上一點,&、F2分別為橢圓的左、右焦點。

⑴若點4的橫坐標(biāo)為2,求的長；------

(2)設(shè)廠的上、下頂點分別為M]、M2,記2M0F2的面積為

SL41MlM2的面積為S2,若Si>S2,求的取值范圍'

(3)若點4在％軸上方,設(shè)直線NF2與廣交于點B,與y軸交于點K,K0延長線與「交于

點C,是否存在％軸上方的點C,使得耳1+F^B+F^C=2(0+F^B+刀)(2e

R)成立?若存在，請求出點。的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

21.記M(a)={t|t=/(%)—fkvgvive>x>a},L(a)=[t\t=/(%)—f(d)>x<a]

(1)若/(%)=%2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對于任意aeR,都有M(a)G[-4^+°°),且存在a,

使得-4€M(a).

(3)已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數(shù)〃的充要條件是“對于任意

正實數(shù)c,均有M(—c)=L(c)”.

2024上海春考數(shù)學(xué)試卷解析

一、填空題（本大題共12題,滿分54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5

分）

1.10g2%的定義域.

【考點】函數(shù)定義域

【答案】（0,+8）

2.直線x-y+l=。的傾斜角.

【考點】直線的傾斜角

【答案】￡

【解析】k=tana=1

3.已知二=i,則Z=

1+1

【考點】夏數(shù)

【答案】-1-i

4.（%—1）6展開式中X4的系數(shù)為.

【考點】二項式展開

【答案】15

【解析】《x（—1/=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴乃=芻則ZB=____.

34

【考點】解三角形

【答案】注幽

【解析】在三角形中4+3+。=為。=工

由正弦定理壬二名,解得ZB=吟^

sm4sinC3

6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值為.

【考點】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4a2+9b2>2-2a-3b=12當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b,

即。==與或a-S,b—時取最小值12.

7.數(shù)列｛%｝,即=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

【考點】等差數(shù)列

【答案](-—4)

【解析】由即=ri+c,知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)歹/$7=型普=等=7a4V

0,。4=4+cV0,cV-4.故c的取值范圍為(一如一4).

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點,過另外一個頂點的雙

曲線的離心率為.

【考點】雙曲線的定義、離心率

【答案】3

【解析】由雙曲線的定義,2c=6,2a=2,e=2=3

a

9.已知/(%)=%2,g(%)=｛—J，，；求g(%)<2-％的％的取值范圍

【考點】分段函數(shù)運算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根據(jù)題意知g(%)=｛：?廣-°

xfx<U

所以當(dāng)%>。時,g(%)<2—x=^x2+x—2<0,解得%e[0,1]

同理當(dāng)％<。時,g(%)<2-%-%2+%-2<0,解得％e(-8,o)

綜上所述:%e(-血1］

10.已知四棱柱ABCD底面ABCD為平行四邊形，AA1=3,BD=4且

福?前-麗］反=5,求異面直線44］與的夾角______

【考點】立體幾何線線角

【答案】arccos—

【解析】AB.=AB+AAAD7=AD+AA

（AB+汨）?AD-（AD+西）.虎=5

=AAi-BD=3x4xcos6

11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8。,CD距離為0.4,有個

圓形通道經(jīng)過民凡且經(jīng)過4D上一點,求圓形通道的周長D

.(精確到0.01)一

【考點】解析幾何、數(shù)學(xué)建模

【答案】2.73

【解析】以4為原點建系，易知E(0.2,0.2),F(0.8,0.8),不妨“

設(shè)EF中點為M(050.5)直線EF中垂線所在直線方程為y-0.5=—(%-0.5),化

簡得y=-x+1

所以圓心為(a，—a+1),半徑為a,且經(jīng)過E,F點

即(a—0.2)2_|_(—0+1—0.2)2-Q2

化簡得a?-2a+0.68=0。=27m?2.73

12.a1—2,a?=4,。3=8,=16,彳壬后、b],Z)2，^3>力4CR,1兩足{%+a,114iV

；<4}={^+b7-|l<i<;<4},求有序數(shù)列{瓦，4，匕3,匕J有____對.

【考點】數(shù)列

【答案】48

【解析】以題易知{4+%?I6,10,12,18,20,24},

滿足{的_+cij\l<ij<4}={瓦+bj\l<i<.j<4],

不妨設(shè)瓦<b2<b3<匕4由單調(diào)性則必有比+。2=6,瓦+匕3=10,力2+。4=

20,b3+b4=24

(1)b2+^3—12,瓦+Z)4=18,解得瓦=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,b±+b4=12,解得比=-l,b2=7,b3=11,b4=13

所以2種.

綜上共有2Pf=48對

二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分，第15-16題每題5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考點】不等式的性質(zhì)

【答案】B

【解析】對于4若網(wǎng)V?，則爐＜。2,選項不成立，故人錯誤；

對于C、D,若a=0,則選項不成立，故C、D錯誤;故答案選B.

14.空間中有兩個不同的平面a,0和兩條不同的直線孫出則下列說法中正確的是

()

A.若仇團/?,刀1團a,ri團0,則m團?1B.若a團0,刀1團a,刀1團九，則九團/?

C.若仇〃0,m//a,n“則租〃nD.若仇〃0,m//a,m//n,則九〃0

【考點】立體兒何

【答案】A

【解析】對于A若打耶,?71團a,則m〃?；騧u/?,又幾耶，所以租團凡故A正確；

對于B,若a團/?,m團a,則租〃0或mu0,由m團幾則ri與0斜交、垂直、平行均有可

能，故B錯誤;

對于C,若口〃6,771〃口,則TH〃?；騎HU/?,由九〃/?,則TH與九相交、平行、異面均有

可能,故C錯誤；

對于D,若0〃6，加〃口,則粗〃6或muB，又m"n,則九〃0或九u0,故D錯誤.故

答案選A.

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記本本、筆袋，第四個禮盒里面

三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子,設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件B：所

選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨立

C.事件4與事件BUC互斥D.事件4與事件BnC相互獨立

【考點】事件的關(guān)系

【答案】B

【解析】對于A,事件A和事件B可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中既有中國結(jié),又

有記事本,所以A與B互斥,故A錯誤；

對于B,PQ4)=：,P(B)=；,PQ4nB)=；,符合P(AnB)=PQ4)?P(B),B正確；

224

對于c,事件4與事件BU。可以同時發(fā)生,所以C錯誤；

對于D,P(Z)=3P(BnC)=I，而P(4n(BnC))=：HPQ4)?P(BnC),所以A

與Bnc不獨立,故。錯誤。

故答案選B.

16.現(xiàn)定義如下：當(dāng)％e(wn+1)時(九eN),若/(%+1)=/(%),則稱/(%)為延

展函數(shù).

現(xiàn)有，當(dāng)％e(0,1)時,9(%)=靖與(%)=爐。均為延展函數(shù),則以下結(jié)論(

)

(1)存在y=kx+b(k，bER；k>b0)與y=g(%)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k>beR>k>bH0)與y=(%)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考點】圖像與導(dǎo)數(shù)

【答案】D

【解析】根據(jù)題目所給條件，畫出g(%)與(%)圖像即可，

因為kW0,所以(1)錯；當(dāng)k=10!時,存在b使得直線y=kx+b可以與(%)在區(qū)

間(9,10)的函數(shù)部分重合，因而有無窮個交點,所以(2)正確，故選D

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(3%+；)，to>0

(1)設(shè)3=1,求解:y=/(%),%e[0，兀]的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期為兀,若在％e[ma]上恰有3個零點,求a的取

值范圍.

【考點】三角函數(shù)周期與零點

【答案】(l)ye[—;

⑵aeK芳)

【解析】(1)3=1,/(%)=sin(%+§.因為%e[0，兀],所以令t=x+^,tE

一71f-4兀一

.33.

所以y=/Q)在再用上單調(diào)遞增,在臣裔上單調(diào)遞減

所以％nax-/Q)-Iymin=f~因此J7[-乎1

(2)由題知T=復(fù)=7，所以3=2,f(%)=sin(2%+

當(dāng)/(%)=0時，2%+g=kn,kEZ,即％=—￡+4,憶EZ.

當(dāng)k=3時,％=把>幾,所以如+T4aV空十三7,即衛(wèi)4aV因止匕,ae

333236

[?-)?

18.如圖,P4、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=ZC.

⑴證明：PZ團BC；

(2)若圓錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

【考點】圓錐體中的線面關(guān)系

【答案】（1）證明見解析（2）?！猘rccos：

【解析】（1）取BC中點。，連接4。、P0,

因為AB=AC,PB=PC,所以4。團BC,P。團BC,

又因為P。u面PAO,Z。u面PAO,P。dAO=0,

所以BC團面尸4。，因為PZu面PZ。，所以P4團BC.

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

因為圓錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

所以底面半徑為1,母線長為VX所以P。=WM2—402=

V2,

則可得P（S0,或）,4（0,1，0）,B（L0,0）,。（一1，0,0）,

故可=（0,］，-聞,而=（］，0，-&），麗=（-L0^-V2）,

設(shè)方=（%/%2）為面PZB的法向量,則但,上=°今

?乃尸Zi0令％1=72,則-=y/2,z1=1,所以居=

山-&zi=0'

（筋筋1）.

設(shè)五=（%2少2立2）為面24。的法向量,

則隹%=。=

y2-V2Z2=o

(n;-PC=0

、_%2_V2Z2—0

令%2=-V2,則丫2=V2,Z2-1，所以五=（一夜，企，1）.

則五底〉=瑞=京器1

設(shè)二面角B-PA-。為仇所以二面角B-PA-。的大小為7T-arccosj.

19.水果分為一級果和二級果,共136箱,其中一級果102箱，二級果34箱。

⑴隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

⑵進(jìn)行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一級果共120個,單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為

603.46;二級果48個,單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21;求168個水

果的方差和平均數(shù),并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.

【考點】概率、統(tǒng)計

【答案】⑴￡(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱；

45

(3)平均數(shù):285.44,方差:1426.46,預(yù)估平均287.69

【解析】

(1)古典概型:設(shè)4事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，⑷=盤°??廢4=

3468,

IQ=』6=9180,P(Z)=W

⑵一級果箱數(shù):二級果箱數(shù)=3:1,因此一級果抽取6箱,二級果抽取2箱.

(3)設(shè)一級果平均質(zhì)量為冗二級果質(zhì)量為y,總體樣本平均質(zhì)量為2

平均值：

11

x=而=303.45,y=品=240.21

z=—(￡/+￡力)=萼+4]=285.44

168J1311168

方差：

11

s*=訴￡(陽一元尸=—-CO?0E>=120?+(%)2)

11

sj=就￡(%-y)2=-(刃20=48⑶+(夕)2)

,4o48

Sz=高=⑵一習(xí)2=焉次一（習(xí)2=焉。*+￡*）-⑵2=1426.46

預(yù)估:平均質(zhì)量=I。?元+34夕=7.69

13628

22

20.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知點4為橢圓八^+一=1上一點,&、P2分別為

6Z

橢圓的左、右焦點。

(1)若點4的橫坐標(biāo)為2,求|40|的長；

(2)設(shè)廠的上、下頂點分別為Mi、M2,記44F/2的面積為Si，44MlM2的面積為S2,

若SiNS2,求|。4|的取值范圍

(3)若點4在％軸上方,設(shè)直線NF2與廣交于點B,與y軸交于點K,K0延長線與「交于

點C,是否存在％軸上方的點C,使得用7+F^B+F^C=2(0+F^B+短)(2e

R)成立?若存在，請求出點。的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【考點】解析幾何

【答案】⑴"(2)(V2^](3)C(—?亨)

【解析】(1)設(shè)4(2，y),因為點4為橢圓八]+<=1上一點，則3+(=L得

626L

22

y，。

又&(—2,0),所以[4川=J(2—(―2))2+(y—0)2=第

(2)設(shè)Z(%，y),%yH0,則S[=211yl=2\y\,S2=^\MrM2\\x\=V2|%|

因為Si>S2,即21yl>V2|%|,即2y2>

又總+[=1,所以2y2>6-3y2,得：<<2

所以I。川=J%2+y2-J(6-3y2)+y2-,6-2y2,所以|。4|的范圍是

K)

(3)設(shè)＞0,3(%2，乃)，由圖像對稱性,得從C

關(guān)于y軸對稱,所以C(—%，%),又&(—2,0),尸2(2,0),所

二一一一】

FM=+2，%),&8=(%2+2)2)，？1。=>

(一/+2，%),

所以FM+F1B+F1c=(x2+6，、2+2y1)；

同理方+F^B+F^C=(到-6,了2+2%)

因為冗彳+F\B+F\C=2(可+印+版)9eR),所以及了+F\B+

版/取+印+跖

向+6)(y2+2%)=(①2—6)(沙2+2勿)

所以為+2%=0,或｛%：，乏：°6(無解)

22

設(shè)直線NF2:%=my+2,與橢圓八二+—=1聯(lián)立得，(租？+3)y2+4my—2=0

62

y/2=-2yf=

m2+3得4日V54得曰】=V—5,

則,4m7n=y,J/

Vi+y?=-Vi-2z

-71)/八m+3

由％i=Tny1+2,得%i=['所以CB日)

21.記M(a)=(t\t=/(%)—f(a)>x>a],L{a)=(t\t=/(%)—f{a}>x<a}

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對于任意aeR,都有M(a)([-4^+°°),且存在a,

使得—4GM(a).

⑶已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數(shù)〃的充要條件是“對于任意

正實數(shù)c,均有M(—c)=L(c)”.

【考點】導(dǎo)數(shù)

【答案】見解析

【解析】(1)由題意得：

M⑴=(t\t=x2+1—2>x>1}=[0>+R)；L(l)=

{t\t=x2+1—2>x<1]=[—!>+°°);

(2)證明:由題意知M(a)=(t\t=x3—3x2—a3+3a2>x>a],

2

記g(%)=/—3/—。3+3a2,有°(%)_2x-6%=00％=?；?

X(一°°f0)0(0,2)2(2,+8)

g(%)正0負(fù)0正

g(%)7極大值、極小值7

現(xiàn)對a分類討論：

32

(1)當(dāng)a之2,有t=爐一3/-a+3a,%>a為嚴(yán)格增函數(shù)，因為g(a)=0,

所以此時M(a)—[0,+―)G[—4，+―)符合條件；

32

(2)當(dāng)0<a<2時，t=爐—3/—a+3a,x>a先增后減，。1M=g(2)=

—o?+3a2一4

因為—+3a2=a2(3—a)>0(a=。取等號)，所以兀仇=°(2)——a3+3a2—

4之一4,

則此時M(a)=[-a3+3a2-4,+8)。[-4^+8)也符合條件；

(3)當(dāng)a<0時,t=小一3八一+3a2,%>a,在[a，0)嚴(yán)格增,在[0,2]嚴(yán)格減,在

[2,+8)嚴(yán)格增,如皿=min{g(a)，g(2)}=min{0^-a3+3a2-4),

因為(a)=—a3+3a2—4,當(dāng)a<。時，(a)=-3a2+6a>0,則(a)>

(0)=-4

則此時M(a)=[tmin>+°°)G[-4,+8)成立;

綜上可知,對于任意aeR,都有M(a)C[-4,+且存在a=0,使得一4e

M(a).

⑶證明：

⑴必要性:若/(%)為偶函數(shù)，

則M(-c)={t\t=f(%)-f(-c)，x>-c],L(c)={t==/(%)-f(c)，x<c}

當(dāng)%>-c,t=/(%)-f(-c)=/(-%)-/(c),因為一％<c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若對于任意正實數(shù)c,均有M(-c)=￡(c),

其中M(-c)={t\t=/(%)-f(-c)，x>-c},L(c)={t\t=/(%)-f(c),x<c]

因為/(%)有最小值，不妨設(shè)/(a)=fm