人教版七年級數(shù)學(xué)上冊《絕對值的三種化簡方法》訓(xùn)練-附帶答案

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊《絕對值的三種化簡方法》專題訓(xùn)練-附帶答案

絕對值版塊的內(nèi)容在我們這學(xué)期比重較大尤其是絕對值的化簡。并且在壓軸題中常見的題型是

利用數(shù)軸化簡絕對值和利用其幾何意義化簡絕對值本專題就這兩塊難點(diǎn)詳細(xì)做出分析。

【知識點(diǎn)梳理】

1.絕對值的定義

一般地?cái)?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)。的絕對值記作同

2.絕對值的意義

①代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；。的絕對值是0;

②幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)絕對值越大；離

原點(diǎn)的距離越近絕對值越小。

a(a>0)

3?絕對值的化簡：⑷=0(?=0)

-a(a<0)

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值

例1.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖則|。一。|一心+4+自一4的值為()?

IIII.

bc0

A.2aB.2a+26-2cC.0D.—2c

【答案】A

【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b<c<O<a且同〈同

則〃一。>0a+b<0b—c<0

則+0—c|—ci—c+a+Z?—Z?+c=2a.

故選A.

例2.有理數(shù)ab在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示那么代數(shù)式忖+—一忖叫的值是()

ab-1a+b

-4ri

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：一l<a<00<b<l\a\<\b\

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h—a1—ba+b_

回原式=—+1一7------r=-i-i-i=-3.

ab-1a+b

故選：D.

【變式訓(xùn)練1】已知數(shù)。、b、。的大小關(guān)系如圖所示：化簡式+c|—|6-a|-2|a-c|+3g—cb

b0ac

【答案】2a-2b+2c

【詳解】由數(shù)軸可得：b<00<a<c

國(a+c)>0(b-a)<0(a-c)<0(b-c)<0

^\\ci+c\—\b-a\—21a—c|+31Z?—c|=a+c-(a-b)-2(c-ci)+3(c-b)

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b=2a-2b+2c

故答案為：2a-2b^2c.

【變式訓(xùn)練21有理數(shù)o、b、c在數(shù)軸上的位置如圖.

___III_______I_>,

a__0b_____c

(1)判斷正負(fù)用">"或填空：…0a+b0-a+c0.

(2)化簡：\b-c\+\a+b\+\—a+c\

【答案】(1)<<>；(2)2c-2b-2a

【詳解】解：由圖可知a<0b>0c>0且|b|<|a|<?

(1)b-c<0a+b<0-a+c>0；故答案為：<<>；

(2)\b-c\+\a+b\-A-a+c\=c-b-a-b-a+c=2c-2b-2a.

【變式訓(xùn)練3】有理數(shù)ab在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示：

(1)填空：b-a0；b-\0；a+\0；(填“<"、">"或"=")

(2)化簡:|/?—a|—-1|+|a+1|

，■」I」,

b-10a1

【答案】(1)<<>;(2)2a

【詳解】(1)從數(shù)軸可知：-2<6<T<0<O<1.^-a<0^-l<0,?+l>0故答案為：<<>；

(2)-2</?<-1<0<a<1,|￡>|>|a|

-a|-|b-1|+|a+1|=-(&-?)-(1-fe)+(o+1)=-b+a-l+b+a+l=2a.

【變式訓(xùn)練4】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：

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a0bc

⑴用">"或填空a0b0c-b0ab0.

(2)化簡：|a|+1b+c|-\c-a\.

【答案】⑴<>><；(2)6

【解析】⑴解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可知a<0<b<c

0c-b>0ab<0

故答案為：<>><;

(2)由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可得

b+c>0c-a>0

El|a|+|6+c|-\c-a\=-a+b+c-c+a=b.

類型二、利用幾何意義化簡絕對值

例L同學(xué)們都知道|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩

點(diǎn)之間的距離.試探索

(1)求|5-(-2)|=；

(2)同樣道理卜+1008|=卜-1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)*所對點(diǎn)到-1008和1005所對的兩點(diǎn)距離相等則

x=；

(3)類似的|x+5|+|x-2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點(diǎn)到-5和2所對的兩點(diǎn)距離之和請你找出所有符合條件

的整數(shù)x使得|x+5|+|x-2|=7這樣的整數(shù)是.

(4)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有寫出最小值；如果沒有說

明理由.

3

【答案】(1)7；(2)--；(3)-5-4-3-2-1012；(4)有最小值最小值為3.

【詳解】⑴|5-(-2)|=|5+2]=7故答案為:7

(2)國卜+1008|=/；005|表示數(shù)軸上有理數(shù)*所對點(diǎn)到；008和1005所對的兩點(diǎn)距離相等

取所對點(diǎn)為-1008和1005所對點(diǎn)的中點(diǎn)取+1008>0x-1005<0

33

El|x+1008|=|x-1005|0x+lOO8=-(x-1005)解得：x=--答案為：

(3)當(dāng)x+5=0時(shí)x=-5當(dāng)x-2=0時(shí)x-2

當(dāng)x<-5時(shí)|x+5|+|x-2|=-(x+5)-(x-2)=7-x-5-x+2=7解得：x=5(范圍內(nèi)不成立舍去)

當(dāng)-5Vx<2時(shí)(3|x+5|+|x-2|=(x+5)-(x-2)=7x+5-x+2=77=7

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取為整數(shù)0x=-5-4-3-2-101

當(dāng)X22時(shí)EJ|x+5|+|x-2|=(x+5)+(x-2)=7x+5+x-2=72x=4解得：x=2

綜上所述：符合條件的整數(shù)為-5-4-3-2-1012

故答案為：-5-4-3-2-1012

(4)國|x-3|+|x-6|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點(diǎn)到3和6所對的兩點(diǎn)距離之和

自由(2)得3女46時(shí)|x-3|+|x-6|的值最小

El|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3E]|x-3|+|x-6|有最小值最小值為3.

【變式訓(xùn)練1】閱讀下面的材料：

點(diǎn)4、3在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b43兩點(diǎn)之間的距離表示為0A7迥當(dāng)A、3兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)不

妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)如圖1朋8回=回。施=團(tuán)6國=團(tuán)a-6回；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：

O(A)BOABBAoBOA

0b0ab，ba0'b0a

圖1圖2圖3圖4

①如圖2點(diǎn)A、8都在原點(diǎn)的右邊:

RL48回二回03回-回04團(tuán)二團(tuán)?；?回?；囟豎-Z?回；

②如圖3點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：

0AB[a=[3(9BEI-[a(9A0=ElZ?0-[aa[a=-Z>-Ga)=團(tuán)。-〃3；

③如圖4點(diǎn)A、8在原點(diǎn)的兩邊：

M3團(tuán)二團(tuán)。4團(tuán)+團(tuán)03團(tuán)二團(tuán)〃團(tuán)+勖回二。+(-Z?)二團(tuán)施

綜上數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之間的距離13A3回=加功回.

回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是數(shù)

軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；

⑵數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和8之間的距離是如果她施=2那么x為.

⑶當(dāng)代數(shù)式取+1國+配-2回取最小值時(shí)相應(yīng)的x的取值范圍是.

【答案】⑴334；(2)|x+l|1或-3；(3)-14x42

【解析】(1)解：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離為|5-2|=3

數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離為卜2-(-5)|=3

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數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離為1-(-3)|=4；

故答案為：334；

⑵解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,-(-l)|=|x+l|

根據(jù)題意得|無+1|=2即尤+1=土2所以x=l或-3

故答案為卜+1|1或3

⑶解：代數(shù)式取+1團(tuán)+盟-2團(tuán)可以看成x到-1和2的距離和只有在：和2之間才會(huì)有最小距離3所以x的

取值為-14尤V2

故答案為：-l<x<2.

【變式訓(xùn)練2］結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

-4-3-2-101234567

(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是;數(shù)軸上表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是;一般地?cái)?shù)

軸上表示數(shù)m和數(shù)"的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為那么數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的距離可

以表示為表示數(shù)y與-1兩點(diǎn)之間的距離可以表示為.

(2)如果表示數(shù)a和-2的兩點(diǎn)之間的距離是3那么a=；若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2

之間求|a+4|+|a-2|的值;

(3)當(dāng)。=時(shí)|a+5|+|a-l|+|a-4|的值最小最小值是.

【答案】(1)35|x-5||y+l|；(2)1或-5；|a+4|+|a-2|=6；(3)19.

【詳解】(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是4-1=3；表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是2-(-3)=5；一

般地?cái)?shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)。的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|m-n|.那么數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的

距離可以表示為Ix-51表示數(shù)y與-1兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|y+11.

故答案為：35|x-5||y+l|；

(2)如果表示數(shù)。和-2的兩點(diǎn)之間的距離是3那么|a-(-2)|=3

即a+21=3回。+2=3或a+2=-3解得a=1或a=-5；

國|a+41+1a-21表示數(shù)a與-4的距離與。和2的距離之和

若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間則|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之間的距離等于6.

即|a+4|+|a-2|=6故答案為：1或-5；

(3)|。+5|+|。-1|+|。-4|表示一點(diǎn)到-514三點(diǎn)的距離的和

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團(tuán)當(dāng)a=l時(shí)該式的值最小最小值為6+0+3=9.

團(tuán)當(dāng)。=1時(shí)|。+5|+|°-1|+仆4|的值最小最小值是9.故答案為：19.

【變式訓(xùn)練3】（問題提出）I。一』+|。-2|+k一3|+…+|〃-2021|的最小值是多少?

（閱讀理解）為了解決這個(gè)問題我們先從最簡單的情況入手.14的幾何意義是。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離那么可以看作。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；斗就可以看作。這

個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和.下面我們結(jié)合數(shù)軸研究-2|的最小值.

我們先看。表示的點(diǎn)可能的3種情況如圖所示：

11.1I1I1.]_________11________I?1_______I_______].

-2-1a01234-2-10la234

圖①圖②

-2-1~0~1~2~3a4^

圖③

（1）如圖①。在1的左邊從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和大于1.

（2）如圖②。在12之間（包括在12上）看出。到1和2的距離之和等于1.

（3）如圖③。在2的右邊從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和大于1.因此我們可以得出

結(jié)論：當(dāng)。在12之間（包括在12上）時(shí)有最小值1.

（問題解決）

（1）4|+k-7|的幾何意義是請你結(jié)合數(shù)軸探究：4|+|a-7|的最小值是.

（2）請你結(jié)合圖④探究|"l|+|"Z+|a-3|的最小值是由此可以得出“為.

II1II11.

-2-101234

圖④

（3）+|a-2|+|a-3|+,-4|+|a-5|的最小值為.

（4）|a-l|+|a-2|+p-3|+…-n|a-2021|的最小值為.

（拓展應(yīng)用）如圖已知。使到-12的距離之和小于4請直接寫出。的取值范圍是

-5-4-3-2-10I2345

圖⑤

【答案】（1）a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到4和7兩個(gè)點(diǎn)的距離之和3；（2）22；（3）6；（4）1021110；

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拓展應(yīng)用—1.5<a<2.5.

【詳解】(1)-7|的幾何意義是。這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)到4和7兩個(gè)點(diǎn)的距離之和;

當(dāng)。在4和7之間時(shí)(包括47上)

4-±_=46123567t

可以看出a到4和7的距離之和等于3此時(shí)|。-4|+卜-7|取得最小值是3；

故答案為：a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最小值是3.

(2)當(dāng)a取中間數(shù)2時(shí)絕對值最小|"T|+|”2|+|a-3|的最小值是1+0+1=2；

如圖所示：

a

-2-10~r~i34>

故答案為：22；

(3)當(dāng)a取最中間數(shù)時(shí)絕對值最小

|<2—1|+|<2—2|+|a—3|+|tz—4|+|a—5|的最<］、值是2+1+0+1+2=6；

(4)當(dāng)。取中間數(shù)1011時(shí)絕對值最小|。-1|+|。-2|+k-3|+…+|a-2021|的最小值為:

1010+1009+1008+1007+......+1+0+1+2+3+......+1010=1010x(1010+1)=1021110；

拓展應(yīng)用

如使它到-12的距離之和小于4ffl|a-(-l)|+|a-2|<4

田①當(dāng)時(shí)則有a-(一1)+a-2<4解得：a<2.502<a<2.5；

(2)當(dāng)—1<a<2時(shí)則有a—(—1)+2—a=3<40—7<a<2

③當(dāng)aW—1時(shí)則有—1—a+2-a<4解得：a>-1.50-1.5<a<-1

綜上：-L.5<a<2.5數(shù)軸上表示如下：

;*IIIII1

-5-4-3-2-10123456

0B⑤

類型三、分類討論法化簡絕對值

例L化簡：|x—2|—|x+l|+|x—4|.

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7—x,x<-1

,???II5-3x,—1Wx<2

【答案】歸_2|++[+卜-4]={；

1-X,1〈今

x—7,x>4

【解析】試題解析：①當(dāng)％<—1時(shí)原式=（2—尤）—（—1—1）+（4-幻=7—兄

（2）當(dāng)一1<兄v2時(shí)原式=（2—%）—（x+l）+（4—%）=5—3x

當(dāng)2<xv4時(shí)原式=（九一2）—（x+l）+（4—尤）=1—%

0）當(dāng)％24時(shí)原式=（x-2）-（X+1）+（JV-4）=%-7

7—x,x<—1

,,,,,,5-3x,-1<x<2

綜上所述：|x-2|-|x+l|+|x-4|={

1—A,4

x—7,x>4

a2ab3abc

【變式訓(xùn)練1】若4+HC<0,MC>。貝|1同+南+'[^|■的值為-

【答案】0或2或4

【詳角軍】^\a+b+c<0,abc>0

團(tuán)〃、。、c三個(gè)數(shù)中必定是一正兩負(fù)

團(tuán)當(dāng)〃<0*<0,。>。時(shí)ab>0此時(shí)?+;―~~--1+2+3=4

|a\|ab\|abc\

當(dāng)Q<0,Z?>0,c<0時(shí)ab<0此時(shí)7^7+^^+；^^=—1—2+3=0

|a\|abIIabc\

當(dāng)Q>0,Z?<0,C<0時(shí)ab<Q止匕時(shí)~~-+T~T~.+f=l-2+3=2

故答案為：0或2或4

【變式訓(xùn)練2】⑴數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若ab均不為零求x=@+例的值.

ab

請補(bǔ)充以下解答過程（直接填空）

①當(dāng)兩個(gè)字母ab中有2個(gè)正0個(gè)負(fù)時(shí)x=；②當(dāng)兩個(gè)字母ab中有1個(gè)正1個(gè)負(fù)時(shí)

x=；③當(dāng)兩個(gè)字母ab中有0個(gè)正2個(gè)負(fù)時(shí)x=；綜上當(dāng)ab均不為零求x的值

為.

（2）請仿照解答過程完成下列問題：

①若abc均不為零求.忖+也-目的值.

abc

…b+ca+ca+b

②若abc均不為零且a+b+c=O直接寫出代數(shù)式丁廠+B+B的值.

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【答案】(1)①2②0③-22或0或-2；(2)①1或3或-3或-1；②：或1

【詳解】⑴①團(tuán)a、b都是正數(shù)