中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)練習(xí)真題-一元二次方程及其應(yīng)用解析版

第六講一元二次方程及其應(yīng)用

命題點(diǎn)1一元二次方程及其解法

類型一解一元二次方程

1.（2021?赤峰）一元二次方程7-8χ-2=0,配方后可變形為（）

A.（X-4）2=18B.（X-4）2=14C.（X-8）2=64D.（X-4）2—1

【答案】A

【解答】解：..?∕-8xA-2=0,

.,.Jt2-8x=2,

貝I」，-8X+16=2+16,即（X-4）2=18,

故選：A.

2.（2021?西藏）已知一元二次方程7-10x+24=0的兩個(gè)根是菱形的兩條對角線長，則這

個(gè)菱形的面積為（）

A.6B.10C.12D.24

【答案】C

【解答】解：法I：方程7-10x+24=0,

分解得：（X-4）（X-6）=0,

可得X-4=0或X-6=0,

解得：X=4或x=6,

菱形兩對角線長為4和6,

則這個(gè)菱形的面積為工X4X6=12；

2

法2：設(shè)”,b是方程r-10x+24=0的兩根，

.?.ob=24,

則這個(gè)菱形的面積為工必=12.

2

故選：C.

3.（2021?新疆）一元二次方程7-4x+3=0的解為（）

A.Xi=-1,X2=3B.xι=l,X2=3

C.Xi=I,X2=-3D.xι=-l,Xi=-3

【答案】B

【解答】解：.../-4x+3=0,

???（χ-l）（X-3）=0,

則X-I=O或X-3=0,

解得Xl=1,X2=3,

故選：B

4.(2020?揚(yáng)州)方程(x+l)2=9的根是

【答案】xι=2,X2=-4

【解答】解：(x+l)2=9,

x+1=±3,

x?-2,Xi--4.

故答案為；xι=2,X2=-4.

5.（2012?永州）解方程：（χ-3）2-9=0.

【答案】xι=6,x2=0.

【解答】解：移項(xiàng)得：（χ-3）2=9,

開平方得：X-3=±3,

則X-3=3或X-3=-3,

解得：XI=6,X2=O.

6.(2021?蘭州)解方程：X2-6X-1=0.

【答案】Xi-3+√10,x2=3-'10.

【解答】解：/-6χ-1=0,

移項(xiàng)得：X2-6x=1,

配方得：?2-6x+9=10,即(X-3)2=10,

開方得：%*3=+Λ∕1Q,

貝IJXI=3+Λ∕10>.m=3-Λ∕1Q.

7.(2018?蘭州)解方程:37-2%-2=0.

1+五一ι-√7

【答案】

XIL

【解答】解：。=3,b--2,c=-2,

則a="2-4"C=(-2)2-4×3×(-2)=28>0,

P∣∣J=2土寸(-2)2-4X3X(X)—1±√7

'x-2×33

即_"C_『近

xI323

???原方程的解為x,上互.1√7

xI3X2^-3^-

8.（2021?齊齊哈爾）解方程:XQX-I)=8(7-%).

【答案】xι=7,X2=-8.

【解答】解：X(X-7)=8(7-x),

X(X-7)+8(%-7)=0,

(X-7)(x+8)=0,

x?=l,X2=-8.

9.（2021?嘉興）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（X-3）2的過程如下框:

小敏：小霞：

兩邊同除以（χ-3）,得移項(xiàng)，得3(X-3)-(X-3)2=0,

3=K-3,提取公因式，得(X-3)(3-%-3)=0.

貝1IX=6.則X-3=0或3-X-3=0,

解得Xi=3,X2=O.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“J”；若錯誤請?jiān)诳騼?nèi)打“X”，并寫

出你的解答過程.

【答案】Xxι=3,JC2=6.

【解答】解：小敏：×;

小霞：×.

正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（X-3）-（X-3）2=0,

提取公因式，得（X-3）（3-x+3）=0.

則X-3=0或3-x+3=0,

解得Xl=3,X2—6.

類型二一元二次方程解的應(yīng)用

10.（2021?聊城）關(guān)于X的方程x2+4fcv+2?2=4的一個(gè)解是-2,則k值為（）

A.2或4B.0或4C.-2或0D.-2或2

【答案】B

【解答】解：把X=-2代入方程/+4履+2?2=4得4-8%+2必=4,

整理得F-4k=0,解得∕ι=0,fo=4,

即A的值為0或4.

故選：B.

命題點(diǎn)2一元二次方程根的判別式

類型三已知方程判斷根的情況

11.（2021?河池）關(guān)于X的一元二次方程/2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由，〃的值確定

【答案】A

【解答】解：,.?Δ-4(-/n-2)

=m"+4m+S

=(m+2)2+4>0,

，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

12.(2020?濰坊)關(guān)于X的一元二次方程/+(4-3)x+1-Z=O根的情況，下列說法正確

的是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】A

【解答】解：Δ=(?-3)2-4(1-?)

=Ic-6k+9-4+4A

=必-2k+5

=(Jl-I)2+4,

/.(?-∣)2+4>0,即?>0,

方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

13.(2021?青海)已知m是一元二次方程?-6=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2+m的值等

于—.

【答案】6

【解答】解：將X=W7代入方程W+χ-6=0,

得m2+m-6=0,

即m2+m-β,

故答案為：6

類型二根據(jù)方程根的情況求字母的取值(范圍)

14.(2021?畢節(jié)市)已知關(guān)于X的一元二次方程0χ2-4χ-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

”的取值范圍是()

A.心-4B.a>-4C.心-4且“≠0D.a>-4?α≠0

【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意得α≠0且A=（-4）2-4a×（-1）>0,

解得a>-4且67≠O,

故選：D.

15.（2021?河南）若方程Λ2-2Λ+,"=0沒有實(shí)數(shù)根，則力的值可以是（）

A.-1B.OC.1D.√3

【答案】D

【解答】解：?.?關(guān)于X的方程/-2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，

二△=（-2）2-4×1X,τz=4-4∕n<0,

解得：加>1,

m只能為

故選：D.

16.（2021?郴州）關(guān)于X的一元二次方程7-5x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則∕n=.

【答案】25

4

【解答】解：???關(guān)于X的一元二次方程/-5x+∕n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

Λ?=b1-4αc=25-4∕n=0,

解得：加=空.

4

故答案為：25.

4

命題點(diǎn)3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

17.（2021?鹽城）設(shè)川、X2是一元二次方程X2-2χ-3=0的兩個(gè)根，則xi+赴的值為（）

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】C

【解答】解：?.?一元二次方程7-2χ-3=0的二次項(xiàng)系數(shù)是α=l,一次項(xiàng)系數(shù)6=-2,

,由韋達(dá)定理，得

XI+X2=2.

故選：C.

18.（2021?濟(jì)寧）已知m,n是一元二次方程x2+x-2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n

的值等于（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】B

【解答】解：Tm是一元二次方程/+x-2021=0的實(shí)數(shù)根，

.,.m2+m-2021=0,

.?."∕+m=2021,

.φ.nΓ-ir2tn+n=ιn2+m+m+n—2021+m+n,

:"I,n是一元二次方程Λ2÷Λ-2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，"?+/2=-1,

Λw2+2∕n+∕7=2021-1=2020.

故選：B.

19.（2021?南充）已知方程/-202￡+1=0的兩根分別為川,必則*2-空紅的值為（）

x2

A.1B.-1C.2021D.-2021

【答案】B

【解答】解：方法一：；方程7-2021x+l=0的兩根分別為Xi,X2,

ΛXI+X2=2021,Xi2-202ixι+l=0,xr-2021x2+1=0,

V^≠0,

.?.X2-2021+-L=O,

x2

--1-=X2-2021,

x2

ΛXI2-空2L=2021XI-1+2021Λ2-20212

x2

=2021（Xi+x2）-I-20212

=20212-1-20212

=-1.

方法二：；方程）-2021x+l=0的兩根分別為Xi,X2,

ΛX∣?JC2=I,Xi2-2021xι+I=0?

.".Xi2-2021xι=-1,

.2_2021=2_2021Xi

??AI-------ΛI(xiàn)，

x2xl*x2

=Xi2-202Ui

=-I.

故選：B.

20.（2021?十堰）已知關(guān)于X的一元二次方程f-4χ-2,"+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)〃1的取值范圍；

(2)若該方程的兩個(gè)根都是符號相同的整數(shù)，求整數(shù)的值.

【答案】(1)m>λ(2)1

2

【解答】解：(1)根據(jù)題意得A=(-4)2-4(-2w+5)>0,

解得〃?>工

2

(2)設(shè)XI,X2是方程的兩根，

根據(jù)題意得XI+X2=4>0,XlX2=-2〃?+5>0,解得〃?〈旦

2

所以m的范圍為■!<〃?<$,

22

因?yàn)?，〃為整?shù)，

所以m=1或m=2,

當(dāng),”=1時(shí)，方程兩根都是整數(shù)；當(dāng)m=2時(shí)，方程兩根都不是整數(shù)；

所以整數(shù)%的值為1.

命題點(diǎn)8一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

類型一變化率問題

21.(2021?內(nèi)江)某商品經(jīng)過兩次降價(jià)，售價(jià)由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次

降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為()

A.20%B.25%C.30%D.36%

【答案】A

【解答】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為X,

依題意得：25(I-X)2=16,

解得：Xl=O.2=20%,X2=1.8(不合題意，舍去).

故選：A.

22.(2021?張家界)2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文

化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要

的活動基地.據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增

力口至IJ12.1萬人.

(1)求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率；

(2)按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？

【答案】(1)10%(2)13.31萬人

【解答】解：(1)設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為X,

依題意得：10（l+x）2=12.1,

解得：Xi=OJ=10%,Λ2=-2.1（不合題意，舍去）.

答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為10%?

（2）12.1×（1+10%）=13.31（萬人）.

答：預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)為13.31萬人

類型二傳播、分裂問題

23.（2021?黑龍江）有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，

則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（）

A.14B.IlC.IOD.9

【答案】B

【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了X個(gè)人，依題意得1+x+x（1+x）=144,

即（l+x）2=144,

解方程得Xl=I1,X2=-13（舍去），

故選：B.

24?（2019?黑龍江）某校“研學(xué)”活動小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若

干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是43,

則這種植物每個(gè)枝干長出的小分支個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)枝干長出X個(gè)小分支，

依題意，得：l+x+∕=43,

解得：Xl=-7（舍去），Λ2=6.

故選：C.

類型三圖形面積問題

25.（2020?濟(jì)南）如圖，在一塊長15根、寬10，〃的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互

垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使綠化面積為126,"2,則修建的路寬應(yīng)為米.

【答案】1

【解答】解：設(shè)道路的寬為x∕n,根據(jù)題意得：

（IO-X）（15-%）=126,

解得：xι=l,X2=24（不合題意，舍去），

則道路的寬應(yīng)為1米；

故答案為：L

26.（2020?西藏）列方程（組）解應(yīng)用題

某駐村工作隊(duì)，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅(jiān)成效，決定在該村山腳下，圍一塊

面積為600,7的矩形試驗(yàn)茶園，便于成功后大面積推廣.如圖所示，茶園一面靠墻，墻

長35相，另外三面用69加長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1加寬的門（不包括籬笆）.求

這個(gè)茶園的長和寬.

B'-----------------C

【答案】長和寬分別為30/爪20m.

【解答】解：設(shè)茶園垂直于墻的一邊長為則另一邊的長度為（69+1-2r）m,根據(jù)

題意，得

X（69+1-2x）=600,

整理，得

X2-35JT+3OO=O,

解得Xl=I5,X2=20,

當(dāng)X=I5時(shí)，70-2A-=40>35,不符合題意舍去；

當(dāng)x=20時(shí)，70-2x=30,符合題意.

答：這個(gè)茶園的長和寬分別為30加、20∕n.

類型四每每問題

27.（2021?荷澤）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；

小李：當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷

售量將增加120千克.

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓

顧客得到實(shí)惠，求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元？

【答案】29元/千克

【解答】解：設(shè)降低X元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意得,

（38-X-22）（160+A×120）=3640,

3

整理得f-12Λ+27=0,

.?.χ=3或x=9.

：要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

?'?x=9,

.?.售價(jià)為38-9=29元/千克.

答：水果的銷售價(jià)為每千克29元時(shí)，超市每天可獲得銷售利潤3640元.

28.（2021?煙臺）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音上對一款成本價(jià)為40元

的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件.

（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元.為提高市場競爭力，

促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià),

則該商品至少需打幾折銷售？

【答案】（1）50元（2）8

【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為X元，則每件的利潤為（χ-40）元，日銷售量為20+

l0（60-χ）=（140-2X）件，

5

依題意，得：（X-40）（140-2x）=（60-40）×20,

整理，得：Λ2-110Λ+3000=0,

解得：?i=50,JQ=60（舍去）.

答：售價(jià)應(yīng)定為50元：

（2）該商品需要打“折銷售，

由題意，得，62.5×-?≤50,

10

解得：“W8,

答：該商品至少需打8折銷售.

類型五其他類型

29.（2021?山西）2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方

框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65,求這個(gè)最

小數(shù)（請用方程知識解答）.

2021年07月

B—三四五六

建％節(jié)23

45678910

1112131417

18192021∣2223∣24

252627282930