人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 28.1.2 余弦、正切（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

28.1.2余弦、正切基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在中，已知，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．以上均不正確2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，為第一象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，連接OP，則的值為（）A．a(chǎn) B．b C． D．3．如圖，在中，于D，若，，則的值為（）A． B． C． D．4．在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）A． B． C． D．25．如圖，是的直徑，，，則（

）A． B． C． D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，以CD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形CDE，使∠CDE＝∠A，則的值為（）A． B． C． D．2二、填空題：8．中，，，則的值為_(kāi)_____．9．已知中，，，，那么的長(zhǎng)是___________．10．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，，則的值是______．11．如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交BC于點(diǎn)D，設(shè)，則________．12．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD長(zhǎng)為_(kāi)____．13．如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以為邊在線段的同側(cè)作正方形，連接，則___________．14．如圖，在中，，，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AB交BC于E，作交BC于F．若AC＝AD＝3，則EF＝______．三、解答題：15．如圖，已知中，，，，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、．求線段的長(zhǎng)．16．如圖，在△ABC中，AD上BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：(1)CD的長(zhǎng)(2)cosB的值提升篇提升篇1．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．402．如圖，在中，，，將繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，且使得恰好落在AB邊上，與AC交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，是的直徑，，與相切于點(diǎn)，若，則的正切值為_(kāi)_____．5．如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．6．如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若，則k的值為_(kāi)__________．7．如圖，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AEBD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：AE=AC；(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面積．8．如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C在上，過(guò)點(diǎn)C作切線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)O作交切線DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求OE的長(zhǎng)．28.1.2余弦、正切基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在中，已知，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．以上均不正確【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷的形狀，再根據(jù)三角函數(shù)的定義依次分析各項(xiàng)即可【詳解】∵∴是直角三角形∴，，故選：B【點(diǎn)睛】直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)平面圖形中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合極為容易，是中考中的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，為第一象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，連接OP，則的值為（）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】A【分析】由計(jì)算可知，做于點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑相等，即可求解．【詳解】做于點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)在以為圓心的圓上點(diǎn)在第一象限，且故答案選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦值的求法、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)考查，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握余弦值的求法．3．如圖，在中，于D，若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理證明，求即可．【詳解】解：由勾股定理知，，∴，根據(jù)同角的余角相等，，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題利用了等角進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解，考查三角函數(shù)，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．4．在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】在直角中，利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，在直角中，，，∴，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長(zhǎng)的比．5．如圖，是的直徑，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，，所以求出，即可．【詳解】解：為直徑，，，又（同弧所對(duì)圓周角相等），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)：，利用轉(zhuǎn)化方法求解．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】首先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BOC的面積求得BD的長(zhǎng)，然后利用正切函數(shù)的定義求得OD的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于B，∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），∵反比例函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切值求邊長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，能夠求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，以CD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形CDE，使∠CDE＝∠A，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)cosA＝，求出AB=3AC，由直角三角形斜邊上的中線可得CD＝AD＝DB＝AB，然后證明△ECD∽△DAC，從而可得，整理即可得到解答．【詳解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，∴，即AB=3AC，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝DB＝AB，∴∠A＝∠DCA，∵∠CDE＝∠A，∴∠DCA＝∠CDE，∵△CDE是等腰三角形，CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECD=∠A，∴△ECD∽△DAC，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，靈活選用相似三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題：8．中，，，則的值為_(kāi)_____．【答案】##【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可用表示，根據(jù)勾股定理，可得表示，再根據(jù)余弦定理，可得答案．【詳解】解：在中，，得為斜邊．由，得．在中，，由勾股定理，得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角三角函數(shù)關(guān)系，利用正切函數(shù)的定義、勾股定理得出表示，表示是解題關(guān)鍵．9．已知中，，，，那么的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】根據(jù)余弦的定義：即鄰邊與斜邊的比，進(jìn)行解答即可．【詳解】在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟知余弦的定義是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，，則的值是______．【答案】##【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值．【詳解】解：，，，，由勾股定理得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟記三角函數(shù)的定義及勾股定理是解題關(guān)鍵．11．如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交BC于點(diǎn)D，設(shè)，則________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合已知條件，可求得，再運(yùn)用角的余弦的定義求得．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵，在中，，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角余弦的定義，準(zhǔn)確理解角的余弦的定義是解題的關(guān)鍵．12．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】將已知角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中，得到∠ADE=∠DCE=α，求出AC的值，再由勾股定理計(jì)算即可．【詳解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°∴∠DAE=∠CDE又∵∠DCE+∠CDE=90°∴∠ADE=∠DCE=α∴cosα＝=又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=在中滿足勾股定理有故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦長(zhǎng)求邊長(zhǎng)，將已知余弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中是解題的關(guān)鍵．13．如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以為邊在線段的同側(cè)作正方形，連接，則___________．【答案】##0.5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：連接，在正方形中，，∴，∵，∴設(shè)∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．如圖，在中，，，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AB交BC于E，作交BC于F．若AC＝AD＝3，則EF＝______．【答案】【分析】先求出∠B=30°，由此求出BD，DF，利用勾股定理求出BF，利用三角函數(shù)求出BE，由此得到答案．【詳解】解：在中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=6，∵AD＝3，∴BD=3，∵DF∥AC，∴∠DFB=∠C=90°，∴，∵DE⊥AB，∴∠BDE=90°，∴，∴EF=BE-BF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題：15．如圖，已知中，，，，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、．求線段的長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)A作，在中，因?yàn)椋?，得到，，在中，由，得到，從而得到，再結(jié)合垂直平分，得到，，在中，根據(jù)，得到，進(jìn)而根據(jù)圖形上線段關(guān)系得到．【詳解】過(guò)A作，垂足為點(diǎn)H，如圖所示：在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∵垂直平分，∴，，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求線段長(zhǎng)問(wèn)題，涉及含角的直角三角形性質(zhì)、正切函數(shù)、垂直平分線的性質(zhì)、余弦函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握三角函數(shù)求線段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AD上BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：(1)CD的長(zhǎng)(2)cosB的值【答案】(1)4(2)【分析】（1）直接在Rt△ADC中根據(jù)正切的定義求解即可；（2）先求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，，∴；（2）解：由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，在Rt△ABD中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇1．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)OA=a,通過(guò)解直角三角形找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點(diǎn)F在邊BC上，即可得出，結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖所示．設(shè)OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=，∴OM=OA?cos∠AOB=a，AM==a，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a）．∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a×a=24，解得：a=5，或a=-5（舍去）．∴OM=3，AM=4，OB=OA=5．∵四邊形OBCA是菱形，點(diǎn)F在邊BC上，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出．2．如圖，在中，，，將繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，且使得恰好落在AB邊上，與AC交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，先根據(jù)余弦三角函數(shù)得出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E在中，，可設(shè)，則，是等腰三角形（等腰三角形的三線合一）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，在中，，即解得在和中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，運(yùn)用余弦三角函數(shù)求出BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，分兩種情況①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)分類計(jì)算即可；【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四邊形ABCD是矩形，，由折疊可知，PD＝PD'，設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，PD的值為或；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是的直徑，，與相切于點(diǎn)，若，則的正切值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，與相切于點(diǎn)A、C，，，，，是的直徑，，，∴，在中，，

∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．【答案】3【分析】在BC上截取，構(gòu)造相似，可得出，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ可得出即可求出CE的長(zhǎng)【詳解】解：在BC上截取，則，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若，則k的值為_(kāi)__________．【答案】【分析】由，可設(shè)，表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，由反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E列出關(guān)于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，點(diǎn)D坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴點(diǎn)，∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，∴，解得：或（舍），則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積都等于反比例系數(shù)k．7．如圖，已知矩形ABC